常见积分公式一元三次方程

一元三次方程、一元四次方程、一元五次以上方程
一元三次方程求根公式:
以下是传统解法
一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方 程系数直接把根表示出来的
公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。
南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400
多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。 （《数学
九章》等）
一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是 1545年由意大利的卡当发表在《关于
代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。可是事实 上，发现公式的人并不是卡
当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约1499~1557 ）.发现此公式后，曾据此与许多人进
行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生 兼数学家卡当得知塔塔利
亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常 不急于把自
己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，< br>以获取奖金。尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守
口如瓶 。可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539
年把他的发现写 成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。卡当并没
有信守自己的誓言，1545 年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在
此书中写道：这一解法来自于一位最值得 尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在
我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证 明。我找到了几种证法。证法很难，
我把它叙述如下。从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当 公式。塔塔利亚知道
卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡当的做法无异于 背叛，
而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡当在米兰市
的教堂进行了一场公开的辩论。许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元三次方程求根公式
问题上的争 论，可信的是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现
的；卡当没有遵守誓言， 因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡
当在公布这一解法时并没有把发现这一 方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利
亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自 己给出的，说明卡当也做了工作。卡当
用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把 秘密公之于世，加速了一
元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。不过，公 式的名称，
还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公式；称为卡当公式是历史的误会。一元三次方程应有< br>三个根。塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的
加深 ，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。
塔尔塔利亚 是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和
舌头，从此说话结结巴巴 ，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃
的意思)，真名反倒少有人叫了，他自 学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的
解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30 道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚
30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔 塔利亚大获全胜。这时，
意大利数学家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝 。后来卡当
对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三< br>次方程式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡当。六年以后，卡当不
顾原来 的信约，在他的著作《关于代数的大法》中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。
后人就把这个方法 叫作“卡当公式”塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃
以后被埋没了一样。
至于一元四次方程ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡当的学生弗拉利找到了。
关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，这里不介绍了。
一元三次、 四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年
过去了，但没有人成功，这些 经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。
后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n≥5)没有公式解。不过，
对这个问 题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那么
又是什么样的一元 n次方程才没没有求根公式呢？
不久，这一问题在19世纪止半期，被法国数学家伽罗华利用他创 造的全新的数学方法
所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。
一元三次方程的求 根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求
根公式的配方法只能将型如ax^3 +bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0
的特殊型。
第一步：
ax^3+bx^2+cx+d=0
为了方便，约去a得到
x^3+kx^2+mx+n=0
令x=y-k3
代入方程(y-k3)^3+k(y-k3)^2+m(y-k3)+n=0
(y-k3)^3中的y^2项系数是-k
k(y-k3)^2中的y^2项系数是k
所以相加后y^2抵消
得到y^3+py+q=0
其中p=(-k^23)+m
q=(2k^327)-(km3)+n
第二步：
方程x^3+px+q=0的三个根为
x1=[-q2+(q^24+p^327)^(12)]^(13)+
+[-q2-(q^24+p^327)^(12)]^(13)
x2=w[-q2+(q^24+p^327)^(12)]^(13)+
+w^2[-q2-(q^24+p^327)^(12)]^(13)
x2=w^2[-q2+(q^24+p^327)^(12)]^(13)+
+w[-q2-(q^24+p^327)^(12)]^(13)
其中w=(-1+√3i)2.
×推导过程：
1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-12+i√32=ω,x3=-12-i√32=ω^2
2、方程x^3=A的解为x1=A（13）,x2=A^(13)*ω,x3= A^(13)*ω^2
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同 时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0
的形式。再令x=y-a3,代入可消去次高项，变 成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①
如果u和v满足uv=- p3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3
是方程
y^2+qy-p^327=0的两个根。
解之得，y=-q2±(q^24+p^327)^(12)
不妨设A=-q2-(q^24+p^327)^(12),B=-q2+(q^24+p^327)^(12)
则u^3=A,v^3=B
u= A（13）或者A^(13)*ω或者A^(13)*ω^2
v= B（13）或者B^(13)*ω或者B^(13)*ω^2
但是考虑到uv=-p3，所以u、v只有三组解：
u1= A（13）,v1= B（13）
u2=A^(13)*ω,v2=B^(13)*ω^2
u3=A^(13)*ω^2,v3=B^(13)*ω
最后：
方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即
x1=u1+v1= A（13）+B（13）
x2= A^(13)*ω+B^(13)*ω^2
x3= A^(13)*ω^2+B^(13)*ω
这正是著名的卡尔丹公式。
△=q^24+p^327为三次方程的判别式。
当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；
当△<0时，有三个实根。
根与系数关系是：设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1,x2,x3,
则x1+x2+x3=-ba,x1x2+x2x3+x1x3=ca,x1x2x3=-da.
下面介绍一个三次方求根计算方法：
f{m}=m(k+1)=m(K)+{A㎡.(k)-m(k)}1n.
n是方次，A被开方数。
例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。我们可以随意代入一个数m，例如2，
那么：
第一步，2+[5（2×2）-2]×13=1.7;
第二步，1.7+[5(1.7×1.7)-1.7]×13=1.71;
第三步，1.71+[5(1.71×1.71)-1.71]×13=1.709;
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。

三次方程新解法——盛金公式解题法
Shengjin’s Formulas
and Shengjin’s Distinguishing Means
and Shengjin’s Theorems from the Writings
to introduce to you and to solving a problem in mathematics
盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方 程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判
别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛 金推导出一套直接用a、b、c、
d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新 判别法。
盛金公式
Shengjin’s Formulas
一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：
A=b^2－3ac；
B=bc－9ad；
C=c^2－3bd，
总判别式：
Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）：
X1=X2=X3=－b(3a)=－cb=－3dc。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B^2－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：
X1=(－b－(Y1^(13)＋Y2^(13)))(3a)；
X2，3=(－2b＋Y1^(13)＋Y2^(13)±3 ^(12)(Y1^(13)－Y2^(13))i)(6a)；
其中Y1，2=Ab＋3a (－B±((B^2－4AC)^(12)))2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B^2－4AC =0，Shengjin’s Formula③）：
X1=－ba＋K；X2=X3=－K2，
其中K=BA，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B^2－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：
X1= (－b－2(Acos(θ3))^(12) )(3a)；
X2，3= (－b＋((A)^(12))*(cos(θ3)±((3)^(12))*sin(θ3))(3a)；
其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)(2A^(32))，(A>0，－1 由于输入设备的原因，公式只能写成这样，可以自己再用数学符号写到纸上，这样会看
得更清楚些。
盛金判别法
Shengjin’s Distinguishing Means
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理
Shengjin’s Theorems
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时 ，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金
公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？
盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B= 0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛
金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理 7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金
公式③解题）。
盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④
解题）。
盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必
定是-1＜T＜1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金
公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula
is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。与卡
尔 丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金
判别法判别方程 的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的
式子 ，由A、B、C构成的总判别式Δ=B－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其
形状与一元 二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC))2具有一
元二次方程求 根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
以上结论，发表在《海南 师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年
12月，中国海南。国内统一刊号：CN 46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的
新求根公式与新判别法。（NATURA L SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan
Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new
distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91
—98 .
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一元四次方程的解法:
X^4+AX^3+BX^2+CX+D=0 (i)
把x=X+A4代入(i)，消去三次项，得
x^4+ax^2+bx+c (ii)
在(ii)左边加减(kx^2+k^24)，配方，得
x^4+kx^2+k^24+ax^2+bx+c-kx^2-k^24=0
(x^2+k2)^2-[(k-a)x^2-bx+(k^24-c)]=0 (iii)
令[(k-a)x^2-bx+(k^24-c)]为完全平方，就要满足
b^2=4(k-a)(k^24-c)
即k^3-ak^2-4ck+(4ac-b^2)=0 (iv)
(这是关于k的一元三次方程，参见KeyTo9的《一元三次方程的解法》)
设t是(iv)的一个根，则有b^2=4(t-a)(t^24-c)
即[(t-a)x^2-bx+(t^24-c)]是完全平方
(t-a)x^2-bx+(t^24-c)



_______
___ √t^2-4c
2
=(x√t-a + ---------)^2
这样(iii)就成为平方差，可以分解了

t
2


_______
___ √t^2-4c
2
(x^2+ ---)^2 -(x√t-a + ---------)^2=0 (v)
(v)分解成两个一元二次方程
_______




t ___ √t^2-4c
2 2
_______
t ___ √t^2-4c
2 2
x^2+ --- +x√t-a + ---------=0 (vii)
x^2+ --- +x√t-a + ---------=0 (vi)
分别解(vi)(vii)得到原方程的四个根
?
举个例子给大家看看。

一般的一元四次方程总可变换成来x^4+px^2+qx +r=0求解，因此只需要得到x4+px2+qx+r=0
的解法就可以得到一般一元四次方程的解。 下面就用例子来讨论x4+px2+qx+r=0的解法（注
意：要知道该方程的解法必须先懂得一般一 元三次方程的解法）。
例：解方程x^4+3x^2-2x+3=0。
解：方程变形为x4 =-3x^2+2x-3，两边加上2sx^2+s^2，使方程右边是一个完全平方数，那
么根据一元 二次的判别式，得到
2^2-4(2s-3)(s^2-3)=0，
即
2s^3-3s^2-6s+8=0
解这个一元三次方程，得到三个解s=2，s=(-1+√33)4，s=(-1-√33)4。 取s=2，两边加上4x^2+4后，得到(x^2+2)^2=(x+1)^2，因此原方程变为两个方程
x^2-x+1=0，x^2+x+3=0，
解这两个方程就可以得到方程x^4+3x^2-2x+3=0的解为
x=(1+√3i)2 ，x=(1-√3i)2，x=(-1+√11i)2，x=(-1-√11i)2。

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一般的一元五次方程为什么无公式法求解?
从方程的根式解法发展过程 来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够
用根式求解一元二次方程ax2+bx+c= 0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接
着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次 数字方程，但没有得到三次方程的一般解
法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大 利人解决。他们对一般的三
次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系
数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔 拉里又求解出一般四次方程
x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。
用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个
世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法
国数学家拉 格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键
所在，并利用拉格朗日预 解式方法，即利用1的任意n次单位根（ n =1）引进了预解式x1+
x2+ 2x3+?+ n -1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代
数方程论的进步。但是他 的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程
无根式解。并且他在寻求一般n次方程 的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上
代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究 根的置换方法给后人以启示。
1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的， 从而转证五次以上方
程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方 法，在
证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方
程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明
并 非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方
程的问题需进一 步查明。
随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手 考察可用
根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根
的有理数 。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求
解。接着他进一步思考 哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理
论的基础上，他解决了任意次的一类 特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一
个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有 理函数，并且任意两个根q1(x)与q2(x)
满足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2为 有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝
尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特 殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明
确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1 来表示成有理函数qj(x1)，
j=1,2,3,?,n，当用另一个根xi代替x1时，其中1〈i ≤n ，那么qj(xi)是以不同顺序排
列的原方程的根，j=1,2,?,n。实际上应说根xi= q1(xi),q2(xi),?,qn(xi)是根
x1,x2,?,xn的一个置换），而仅仅考虑 可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这
种性质，便可简化为低次的辅助方程， 辅助方程可依次用根式求解。
阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解 决判定已知方程是否可
用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未 竞的事业。
伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相 同，
也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准
则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之
为“群”的元 素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一
术语，把具有封闭性的置 换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是
解决方程理论的关键，方程是一个其对 称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论
问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引 入了不少有关群论的新概念，从而也产
生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。
对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+?+an-1x+an=0 （1）
假设它的n个根x1,x2,?,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它< br>们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某
些性质 中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质
的分析问题。现在把 与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它
是在某方程系数域中的群。一个方 程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的
多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可 以说成对于任一个取有理数值的关于根的多
项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。伽罗 瓦创立群论是为了应用于方程
论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可 惜的是，伽罗瓦
群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不 能
理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十
一 岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，
他的理论才终 于为人们所理解和接受。
伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可 解性问题提供了全
面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判 断几
何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都
是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计
算研究的思维 方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展
成为一门崭新的数学分支， 对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物
理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结 构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。