-
借助
e
x
≥
x
＋
1
和
ln
x
≤
x
－
1
进行放缩
[
典例
]
<
/p>
已知函数
f
(
x
)
＝
mx
2<
/p>
＋
nx
－
x
ln
x
(
m
＞
0)
，且
f
(
x
)≥0.
n
(1)
求
m
的最小值；
n
(2)
当
m
取得最小值时，
若方程
e
x
－
1
＋
(1
－
2
a
)
x
－
af
(
< br>x
)
＝
0
无实根，
求实数
a
的
取值范围．
[
解析
]
<
/p>
(1)
令
g
(<
/p>
x
)
＝
f
?
x
?
＝
mx
＋
n
－
ln
x
，则
f
(
x
)≥0?
g
(
x
)≥0(
x
＞
0)
，
x
mx
－
1
1
又因为
g
′(
x
)
＝
x
，由
g
′(
x
)
＞
0
，得
x
＞
m
；
1
由
g
′(
x
)
＜
0
，得
0
＜
x<
/p>
＜
m
，
1
1
所以
g
(
x
)
在（
0
，
m
）上单调递减，在
（
m
，
+
∞）
上单调递增．
1
1
< br>1
n
1
1
n
1
1
1
此
时
g
(
x
)<
/p>
min
＝
g
（<
/p>
m
）＝
1
＋
n
－
ln
m
≥0?
m
＋
m
－
m
ln
m
≥0
，即
m
≥
m
ln
m
－
m
.
令
h
(
t
)
＝
t
ln
t
－
t
(
t
＞
0)
，则
h
′(
t
)
＝
l
n
t
，
由
h
′(
t
)<
/p>
＞
0
，得
t
＞
1
；由
h
′(
t
)
＜
0
，得
0
＜
t
＜
1
，
所以
h
(
< br>t
)
在
(0,1)
上单调递减，在
(1
，＋
∞
)
上单调递增，
n
< br>?
n
?
故
h
(
t
)
m
in
＝
h
(1)
＝－
1
，则
m
≥
－
1
，即
?
m
?
min
＝－
1.
?
?
n
1
(2)
由
(1)
知，当
m
< br>取得最小值－
1
时，
t
＝
m
＝
1
，
m
＝
< br>1
，
n
＝－
1.
则
e
x
－
1
e
x
－
1
＋
x
＋
(1
－
2
a
)
x
－
af
(
x
)
＝
0
?
a
< br>＝
，
x
?
x
＋
1
－
ln
x
?
e
x
－
1
＋
x
?
x
－
1
?
[
?
x
－
ln
x
?
e
x
－
< br>1
－
x
]
记
H
(
x
)
＝
(
x
＞
0)
，则
H
′
(
x
)
＝
，
x
?
x
＋
1
－
< br>ln
x
?
x
< br>2
?
x
＋
1
－
ln
x
?
2
由
(1)
知
x
－
1
－
ln
x
≥0?ln
x
≤
x
－
1
，即
e
x
－
1
≥
x
，
则
(
x
－
ln
x
)e
x
－
1
－
x
≥e
x
－
1
－
x
≥0(
当且仅当
x
＝
1
时取等号
)
，
所以当
x
?(0,1)
时，
H
′(
x
)
＜
0
，所以
H
(
x
)
在
(0
,1)
上为减函数；
当
x
?(1
，＋
∞)
时，
H
′(
x
)
＞
0
，所以
H
(
x
)
在
(1
，＋
∞)
上为增函数．
所以
< br>x
＝
1
时，
H
(
x
)
取得最小值，为
H
(1)
＝
1.
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