-
2013·
江苏卷
(
数
学
)
π
2
x
＋
?
的最小正周
期为
________
．
1
．
函数<
/p>
y
＝
3sin
?
4
?
?
2π<
/p>
1
．
π
[
解析
]
周
期为
T
＝
＝
π
.
2
2
．
设
z
＝
(2
－
i)
2
(i
为虚数单位
)
，则复数
z
的模为
________
．
2
．
5
[
解析
]
因
为
z
＝
(2
－
i)
2
＝
4<
/p>
－
4i
＋
i
2
＝
3
－
4i
，所以复数
z
的模
为
5.
x
2
y
2
3
．
<
/p>
双曲线
－
＝
1<
/p>
的两条渐近线的方程为
________
．
16
9
3
x
2
y
2
3
3
．
y
＝
±
x
[
解析
]
令
－
＝
0
，得渐
近线方程为
y
＝
±
x
.
4
16
9
4
4
．
集合
{
－
1<
/p>
，
0
，
1}
共有
________
个子集．
4
．
8
[
解析
]
集
合
{
－
1
，<
/p>
0
，
1}
共有<
/p>
3
个元素，故子集的个数为
8.
5
．
如图<
/p>
1
－
1
是一个算
法的流程图，则输出的
n
的值是
___
_____
．
图
1
－
1
5
．
3
[
解析
]
逐一代入可得
n
a
a
<20
1
2
Y
2
8
Y
3
26
N
当
a
＝
26>20
< br>时，
n
＝
3
，故最后输出
3.
6
．
抽样统
计甲、乙两位射击运动员的
5
次训练成绩
(
单位：环
)
，结果如下：
运动员
甲
乙
第
1
次
87
89
第
2
次
91
90
第
3
次
90
91
第
4
次
89
88
第
5
次
93
92
则成绩较为稳定
(
方差较小
)
的那位运
动员成绩的方差为
________
．
1
1
6
．
2
[
解析
]
由
题知
x
甲
＝
(
87
＋
91
＋
90
＋
89
＋
93)
＝
90
，
s
2
甲
＝
(
9
＋
1
＋
0<
/p>
＋
1
＋
9)
＝
4
；
x
5
5
乙
1
1
2
2
＝
< br>(89
＋
90
＋
91
＋
88
＋
92)
＝
90
，
s
乙
＝
(1
＋
0
＋
1
＋
4
＋
4)
＝
2
，所以
s
2
甲
>
s
乙
，故答案为
2.
5
< br>5
7
．
现有某类病毒记作
X
m
Y
n
，其中正整数
m
，
n
(
m
≤
7
，
n
≤
9)
可以任意选取，则
m
，
n
都取到奇数的概率为
_______
_
．
7.
20
[
解析
]
基
本事件共有
7
×
9
＝
63
种，
m
可以取
1
，
3
，
5
，
7
，
n
可以取
1
，
3
，
5
，<
/p>
7
，
63
20<
/p>
9.
所以
m
，<
/p>
n
都取到奇数共有
20
< br>种，故所求概率为
.
63
8
．
<
/p>
如图
1
－
1
，在三棱柱
A
1
B
1
C
1
－
ABC
中，
D
，<
/p>
E
，
F
分别是<
/p>
AB
，
AC
，<
/p>
AA
1
的中点，
设三棱锥
F
－
ADE
< br>的体积为
V
1
，三棱柱
A
1
B
1
C
1
－
ABC
的体积为
V
2
，则
V
1
∶
V
2
＝
________
．<
/p>
图
1
－
1 <
/p>
8
．
1
∶
24
[
解析
]
设
三棱柱的底面积为
S
，
高为
h
，
则
V
2
＝
Sh
，
< br>又
D
，
E
，
F
分别为
AB
，
1
1
1
1
1
1
1
AC
，
AA
1
的中
点，所以
S
△
AED
< br>＝
S
，且三棱锥
F
－
ADE
的高为
h
，故
V
1
＝
S
△
AED
·
h
＝
·
S
·
4
2
3
2
3
4
2
1
h
＝
Sh
，
所以
V
1
∶
V
2
＝
1
∶
24.
24
9
．
<
/p>
抛物线
y
＝
x<
/p>
2
在
x
＝
1
处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为
D
(
包含三角形内部
与边界
)
．若点
P
(
x
，
y
)
< br>是区域
D
内的任意一点，则
x<
/p>
＋
2
y
的取值范
围是
________
．
1
－
2
，
?
[
解析
]
由
y
＝
x
2
得
y
′
＝
2
x
，
则在点
x
＝
1
处的切线斜率<
/p>
k
＝
2
×
1
＝
2
，
切线方
9.
?
2
?
?
程为
y
－
1
＝
2(
x
－
1)
，即
2
x
－
y
< br>－
1
＝
0.
在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，
1
?
则
A
(0
，－
1)
，
B
?<
/p>
?
2
，
0
?
.
作直线
l
0
：
x
＋
2
y
＝
0.
当平移直线
l
0
至点<
/p>
A
时，
z
min
＝
0
＋
2(<
/p>
－
1)
＝－
2<
/p>
；
1
1
当平移直线
l
0
至点
B
时，
z
ma
x
＝
＋
2
×<
/p>
0
＝
.
2
2
1
－
2
，
?
.
故
x
＋
2
y
的取值范围是
?
2
?
?
1
2
→
→
10
．
设
D
，
E
分别是△
ABC
的边
AB
，
BC
上的点，
AD<
/p>
＝
AB
，
BE<
/p>
＝
BC
.
若
DE
＝
λ
1
AB
＋
2
3
→
λ
2
AC
(
λ
1
，
λ
2
为实数
)
，则
λ
1
＋
< br>λ
2
的值为
________<
/p>
．
1
2
?
→
2
1
→
→
→
2
→
1
→
2
→
→
1
→
10.
[
解析
]
如
图所示，
DE
＝
BE
< br>－
BD
＝
BC
< br>－
BA
＝
(
AC
－
AB
)
＋
AB
＝
?
?
2
－
3
?
AB
＋
3
2<
/p>
3
2
3
2
→
AC
，
→
→
→
→
→
又
DE
＝
λ
1
AB
＋
< br>λ
2
AC
，且
< br>AB
与
AC
不共线，
1
2
2
所以
λ
1
＝
< br>－
，
λ
2
＝
，
2
3
3
1
即
λ
1
＋
λ
2
＝
.
2
11
．
<
/p>
已知
f
(
x
)
是定义在上的奇函数．当
x
>0
时，
f
(
x
)
＝
x
< br>2
－
4
x
，则不等式
f
(
x
< br>)>
x
的解集
用区间表示为
________
．
11
．
(
－
5
，
0)
∪
(5
，
＋∞
)
[
解析
]
设
x
<0
，
则－
x
>0.
因为
f
(
x
)
是奇
函数，
所以
f
(
x
)
＝－
f
(
－
x
)
＝－
(
x
2
＋
4
x
)
．
又
f
(0)
＝
0
，于是不等式
f<
/p>
(
x
)>
x
等价于
?
?
?
x
≥
0
，
?
x
<0
，
?
或
?
2
?
x
－
4
x
>
x
?
?
－（
x
2
＋
4
x
）
>
x
.
?
解得
x
>5
或－
5<
x
<0
，
故不等式的解集为
(
－
5
，
0
)
∪
(5
，＋∞
)
．
x
2
y
2
12
．<
/p>
在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
的标准方程为
2
＋
2
＝
1(<
/p>
a
>0
，
b
>0)
，右焦点为
a
b
F
，右准线为
l
< br>，短轴的一个端点为
B
.
设原点
到直线
BF
的距离为
d
1
，
F
到
l
的距离为
d
2
< br>.
若
d
2
＝
6
d
1
，
则椭圆
C
的离心率为
________
．
3
a
2
x
y
12.
[
解析
]
由题意知
F
(
c<
/p>
，
0)
，
l
：
x
＝
，不妨设<
/p>
B
(0
，
b
)
，则直线
BF
：
＋
＝
1
，
3
c
c
b
即
bx
＋
cy
－
bc
＝
0.
|
－
bc
|
bc
于是
d
1
＝
2
2
＝
，
a
b
< br>＋
c
a
2
－
c
2
b
2
a
2
d
2
＝
－
c
＝
＝
.
c
c
c
b
?
?
bc
?
，
< br>由
d
2
＝
6
d
1
，得
?
＝
6
?
c<
/p>
?
?
a
?
化简得
6
c
4
＋
a
2
c
2
－
a
4
＝
0
，
即
6
e
4
＋
e
2
－
1<
/p>
＝
0
，
1
1
解得
e
2
＝
或
e
2
＝－
(
舍去
)
，
3
< br>2
故
e
＝
3
3
，故椭圆
C
的离心率为
.
3
3
2
2
2
1
< br>13
．
在平面直角坐标系
xOy
中，
设定点
A
(
a
，
a<
/p>
)
，
P
是函数<
/p>
y
＝
(
x
>0)
图像上一动点．
若
x
点
P
，
A
之间的最短距离为
2
2
，则满足条件的实数
a
的所有值为
________
．
13
．－
1
，
10
[
解析
]
由
题意知，若
a
<0
，则
a
＝－
1
满足题意；若
a
>0
，则圆
(
x
－
a
)
2
1
＋
(
y
－
a
)
< br>2
＝
8
与
y
＝
(
x
>
0)
相切．联立方程，消去
y
得
x
1
2
a
x
2
－
2
ax
＋
a
< br>2
＋
2
－
＋
a
2
＝
8
，
x
x
1
1
x
＋
?
－
2
a
?
x
＋
?
< br>＋
2
a
2
－
10
＝
0.
即
?
?
x
?
?
x
?
令<
/p>
Δ
＝
0
得
(2
a
)
2
－
4(2
a
2
－
10)
＝
0.(*)
解得
a
＝
10
.
此时方程
(*)
的解为
x
＝
10±
6
，满足题意．
2
2
综上，实数
a
的所有值为－
1
，
10.
1
14
．
<
/p>
在正项等比数列
{
a
n
}
中，
a
5
＝
，
a
6
＋
a
7
＝
3.
则满足
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
>
a
1
a
2
…
a
n
的最
2
大正整数
n
的值为
___
_____
．
1
1
14
．
12
[
解析
]
设
{
a
n
}
的公比为
q
.
由
a
5
＝
及
a
5
(
q
＋
q
2
)
＝
3
得
q
＝
2
，所以
a
1
＝
，所以
2
32
7
a
6
＝
1
，
a
1
a
2
…
a
11
＝
a
1
1
6
＝
1
，此
时
a
1
＋
a<
/p>
2
＋…＋
a
11
>1.
又
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
12
＝
2<
/p>
－
1
，
a
1
a
2
…
a
12
32
＝
2
6
<2
7
－
1
1
，所以
a
1
a
2
< br>…
a
12
>
a
1
a
2
…
a
12
，但
a
1
＋
a
2<
/p>
＋…＋
a
13
＝
2
8
－
，
a
1
a
2
…
a
13
＝
2
6
·
2
7
＝
32
32
1
2
5
·
2
8
>2
8
－
，所以
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
13
<
a
1
a
2
…
a<
/p>
13
，故最大正整数
n
< br>的值为
12.
32
15
．
已知＝
(cos
α
，
sin
α
)
，＝
(cos
β
，
sin
β
)
，
0<
β
<
α
<π.
(1)
若
|
－
|
＝
2
，求证
：
；
(2)
设＝
(0
，
1)
，若＋＝，求
α
，
β
的值．
15
．
解：
(1)
由题意得
|
－＝，即
(
－
)<
/p>
＝－＋
2
＝
2.
又因为＝＝＝＝，所以－＝，即＝，故
(2)
因为＋＝
(cos
α
＋
cos
β
，
sin
α
＋
sin
β
)
＝
(0
，
1)
，
?
?
cos
α
＋
cos
β
＝
0
，
所以
?
?
sin
α
＋
sin
β
＝
1
，
?<
/p>
由此得，
cos
α
＝
cos(
π
－
< br>β
)
，由
0<
< br>β
<π
，得
0<π
－
β
<π
，
1
5π
又
< br>0<
α
<π
，故
α
＝
π
－
β
.
代入
sin
α
＋
sin
β
＝
1
得，
s
in
α
＝
sin
< br>β
＝
，而
α
>
β
，所以
α
＝
，
2
6
π
β
＝
.
6
16
．
，
<
/p>
如图
1
－
2
，在三棱锥
S
－
A
BC
中，平面
SAB
⊥平面
SBC
，
AB
⊥
BC
，
AS
＝
AB
.
过
A
作
AF
⊥
SB
，垂足为
F
，点
E
，
G
分别是棱
SA<
/p>
，
SC
的中点．
求证：
(1)
平面
EFG
∥平面
ABC
；
(2)
BC
⊥
SA
.
图
1
－
2
16
．
证明
：
(1)
因为
AS
＝
AB
，
AF
⊥
SB
，垂足为
F
，所以
F
是
SB
的中点．又因为
E
是
SA<
/p>
的中点，所以
EF
∥
AB
.
因为
EF
?
平面
ABC
，
AB
?
平面
ABC
，
所以
EF
∥平面
ABC
.
同理
EG
∥平面
ABC
.
又
EF
∩
EG
＝
E
，
所以平面
EFG
∥平面
ABC
.
(2)
因为平面<
/p>
SAB
⊥平面
SBC
，且交线为
SB
，
又
AF
?
平面
SAB
，
AF
⊥
SB
，
所以
AF
⊥平面
SBC
. <
/p>
因为
BC
?
平面
SBC
，所以
AF
⊥
BC
.
又因为
AB
⊥
BC
，
AF
∩
AB
＝
A
，
AF
，
< br>AB
?
平面
SAB
，所以
BC
⊥平面
SAB<
/p>
.
因为
SA
?
平面
SAB
，所以
BC
⊥
SA
.
17
．
如图
1
－
3
，在平
面直角坐标系
xOy
中，点
A
(0
，
3)
，直线
l
：
y
＝
2
x
－
4.
设圆
C
的
半径为
1
，圆心在
l
上．
(1)
若圆心
C
也在直线
y
＝
x
－
1
上，过点
A
作圆
C
的切线，求切线的方程；<
/p>
(2)
若圆
C
上存在点
M
，使
MA
＝
2
MO
，求圆心
C
的横坐标
a
的取值范围．
图
1
－
3
17
．
解：
(1)
由题设，圆心
C
是直线
y
＝
2
x
－
4
和
y
＝
x
－
1
的交点，解得点
C
(3
，
2)
，于
是切线的斜率必
存在．设过
A
(0
，
< br>3)
的圆
C
的切线方程为
y
＝
kx
＋
3.
|3
k
＋
1|
3
由题意，
2<
/p>
＝
1
，解得
k<
/p>
＝
0
或－
，
4
k
＋
1
故所求切线方程为
y
＝
3
或
3
x<
/p>
＋
4
y
－
12
＝
0.
(2)
因为圆心在直线
y
＝
< br>2
x
－
4
上，所以圆
C
的方程为
(
x
－
a
)
2
＋
[
y
－
2(
a
－
2)]
2
＝
1.
设点
M
(
x
，
y
)
，因为
MA
＝
2
MO
，
所以
x
2
＋（
y
－
3
）
2
＝<
/p>
2
x
2
＋
y
2
，
化简得
x
2
＋
y
2
＋
2
y
－
3
＝
< br>0
，即
x
2
＋
(
y
＋
1)
2
＝
4
，
所以点
M
在
以
D
(0
，－
1)
为圆心，
2
为半径的圆上．
由题意，点
M
(<
/p>
x
，
y
)
在圆
C
上，所以圆
C
与圆
D
有公共点，
则
|2
－
1|
≤
CD
≤
2
＋
1
，
即
1
≤
a
2
＋（
2
a
－
3
）
2
≤
3.
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