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园区初二数学
5.15
第二十一章
二次根式
1
．知识与技能
（
1
）理解二次根式的概念．
（
2
）理解
a
（
a
≥
0
）是一个非负数，
（
a
）
2
=a
（
a
≥
0
）
，
a
2
=a<
/p>
（
a
≥
0
）
．
（
3
）掌握
a
·
b
＝
ab
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
，
ab
=
a
< br>·
b
；
4.
使式子
?
(
x
?
5)
2
有意义的未知数
x
有（
）个．
A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．无数
5
.
已知
a
、
b
为实数，且
a
?
5
+2
10
?
2
a
=b+4
，求
< br>a
、
b
的值．
< br>
例
4
计算
1
．
（
例
5
计算
1
．<
/p>
（
x
?
1
）
2
（
x
≥
0
）
2
．
（
a
2
）
2
3
．
（
a
< br>2
?
2
a
?
1
）
2
4
．
（
4
x
2
?
12
x
?
9
）
2
例
6
在实数范围内分解下列因式
:
（
1
）
x
2
-3
（
2
）
x
4
-4
(3)
2x
2
-3
练习
1
．计算
（
1
）
（
9
）
2
（
2
）
-
（
3
）
2
（
3
）
（
(5) <
/p>
(2
3
?
3
2)(2
3
?
3<
/p>
2)
2
．把下列非负数写成一个数的平方的形式
:
（
1
）
5
（
2
）
3.4
（
3
）
a
a
a
a
=
（
a
≥
0
，
< br>b>0
）
，
=
< br>（
a
≥
0
，
b>0
）
．
b
b
b
b
（
4
）了解最简二次根式的概念并灵活运用
它们对二次根式进行加减．
2.
典型例题
例
1
．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2
、
3
3
、
-
2
、
例
2
< br>．
当
x
是多少时，
2
x
?
3
< br>+
例
3
(1)
已知
y=
< br>2
?
x
+
x
?
2
+5
，求
7
2
3
2
5
2
）
2
．
（
3
5
）
2
3
．
（
）
4
．
（
）
2
6
2
1
、
x
（
x>0
）
、
0
、
4
< br>2
、
x
1
、
x
?
y
（
x
≥
0
，
y?
≥
0
）
．
x
?
y
1
在实数范围内有意义？
x
?
1
x
的值．
y
1
2
6
）
2
（
4
）
（
-
3
2
2
）
3
(2)
若
a
?
1
+
b
?
1
=0
，求
a
2010
+b
2010
的值．
练习：
1
．
某工厂要制作一批体积为
1m
3
的产品包装盒，
其高为
0.2m
< br>，
按设计需要，
?
底面应做成正
方形，
试问底面边长应是多少？
2
．当
x
是多少时，
1
（
4
）
x
（
x
≥
0
）
6
3
．已知
x
?
y
?
1
+
< br>x
?
3
=0
，求
x
y
的值．
< br>
4
．在实数范围内分解下列因式
:
（
1
）
x
2
-
2
（
2
）
x
4
-9
3x
2
-5
例
7
化简
2<
/p>
x
?
3
2
+x
在实数范围内有意义？
x
?
2
3
．若
3
?
x
+
x
?
3
有意义，则
x
=_______
< br>．
（
1
）
9
（
2
）
(
?
4)
2
（
3
）
25
（
4
）
(
< br>?
3)
2
例
8
填空：当
a
≥
0
时，
a
=
_____
；当
a<0
时，
a
=_______
，
?
并根据这一性质回答下列问题．
（
1
）若
a
2
=a
，则
a
可以是什
么数？
（
2
）若<
/p>
a
2
=-a
，则
a
可以是什么数？
（
3
）
a
>a
，则
a
可以是什么
数？
例
9
当
x>2
，
化简
(
x
?
2
)
2
-
(1
?
2
x
)
2
．
练习
1
．先化
简再求值：当
a=9
时，求
a+
1
?
2
a
?
a
2
的值，甲乙两人的
解答如下：
甲的解答为：原式
=a+
(1
?
a
)
2
=a+
（
1-a
）
=1
；
乙的解答为：原式
=a+
(1
?
a
)
2
=a+
（
a-1
）
=2a-1=1
7
．
两种解答中，
_______
< br>的解答是错误的，错误的原因是
__________
．
2
．若│
1
995-a
│
+
a
?
2000
=a
< br>，求
a
-
1995
2
的值．
（提示：先由<
/p>
a-200
0
≥
0
，判断
199
5-a
?
的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3.
若
-3
≤
x
≤
2
时，
试化简│
x-2
│
+
< br>(
x
?
3)
2
+
x
?
10
x
?
25
。
例
10
．
观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
2
2
2
2
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（
例
11
．把（
a-1
< br>）
?
1
1
1
1
+
+
+
……
）
（
20
10
+1
）的值．
< br>2
?
1
3
?
2
4
?
3
2010
?
2009
< br>1
中根号外的（
a-1
）移入根
号内得（
）
．
a
?
1
A
．
a
?
1<
/p>
B
．
1
?
a
C
．
-
a
?
1
< br> D
．
-
1
?
a
练习
1
．已知
a
为实数，化简：
?
a
3
-a
?
?
请写出正确的解答过程：
解：
?
a
3
-a
?
1
，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，
a
1
1
=a
?
a
-a
·
a
a
?
a
=
（
a-1
）
?
a
x
2
< br>?
4
?
4
?
x
2
?
1
2
．若
x
、
y
为实数，且
y=
，求
x
?
y
x
?
2
3
．
a
?
x
?
y
的值．
a
?
1
化简二次根式号后的结果是
_________
．
2
a
x
2
?
5
x<
/p>
?
4
9
?
x
9
?
x
例
12
．
已知
，且
x
为偶数，求（
1+
x
）
的值．
?
2
x
?
1<
/p>
x
?
6
x
?
6
练习：
把下列各式的分母有理化
（
1
）
1
?
(
2<
/p>
?
1)
2
?
1
1
=
=
2
-1
，
?
2
?
1
2
?
1
(
2
?
1)(
2
?
1)
1
?
(
3
?
2)
3
?
2
1
=<
/p>
=
3
-
2
，
?
3
?
2
3
?
2
(
3
?
2)(
3
?
2)
< br>
同理可得：
2
3
3
?
4
2
1
1
；
（
2
）
；
（
3
）
< br>；
（
4
< br>）
．
1
?
2
3
5
?
1
6
?
2
3
3
?
4
2
n
n
=n
n
2
?
1
n
2
?
1
1
=
4
-
3
，……
4
?
3
4
．其它材料：如果
n
是任意正整数，
那么
n
?