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一维正态分布随机数序列产生的几种方法介绍
【摘要】正态分布在数理统计中具有基础性的作用，因此产生高质量的正态分布
有重要的
意义。
我们将介绍几种数值方法求正态分布：
中心极限定理，<
/p>
Hasiting
有
理逼近法，统计工
具箱，反函数法，舍选法，
R
软件及一维正态随机数的检验。<
/p>
【关键词】正态分布；一维；随机数。
一．利用中心极限定理
中心极限定理：
（一般
n≥10）
，
产生服从
N(
μ
,
< br>σ
)
的算法步骤：
（
1
）产生
n
个
RND
随机数：<
/p>
r
1
，
r
2
，…，
r
n
；
计算
x
?
(
?
r
i
?
n
（
< br>2
）
2
)
/
i
?
1
n
n
12
2<
/p>
;
2
(3)
计算
y
=<
/p>
σ
x
+
μ
，
y
是服从
N(
μ
,
σ
)
分布的随机数。
原理分析：
设
ζ
1
，
ζ
2
，…，
ζ
n
是
n
个相互独立的随机变量
,
且
ζ
i
～
U(0,1),
i
=
1,2,
…,
n,
有
E
(
?
i
)
?
1
2
，
D
(
?
i
)
< br>?
1
,
12
n
?
?
(
?
?
i
?
n<
/p>
由中心极限定理知
：
2<
/p>
)
/
12
，渐近
服从正态分布
N(0, l )
。
<
/p>
i
?
1
n
注意：我们现在已经能产生
[0
，
1]
均匀分布的随机数了，那么我们可以利用这个
定理来产生标准正态分布的随机数。
r
1
,
r
2
,
?
,
r
n
现在我们产生<
/p>
n
个
[0
，
1]
均匀分布随机数，
我们有：
?
1
n
1
?
u
?
< br>12
n
?
r
?
?
n
?
i
2
?
?
?<
/p>
i
?
1
?
为方便起见，我们特别选
n =
12
，则
：
u
?
?
r
i
?
6
i
?
1
12
这样我们很方
便地就把标准正态分布随机数计算出来了。
在
C
语言中表示为：
例
1
：利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验
% example 1
clc,clear
for i=1:1000
R=rand(1,12);
X(i)=sum(R)-6;
end
X=X';
m=mean(X)
v=var(X)
subplot(1,2,1),cdfplot(X)
subplot(1,2,2),histfit(X)
h=kstest(X, [X normcdf(X, 0,1)])
结果为：
H=0,
接受原假设，变换后的确为标准正态分布。
二．
Hasiting
有理逼近法
这是一种计算速度快，也能满足一定精度的算法。我们可以构造分布函数反
函数
的近似逼近公式，来产生标准正态分布的随机数。其计算公式为：
2
a
?
a
y
?
a
y
0<
/p>
1
2
x
?
y
?
1
?
b
1
y
?
b
2
y
2
?
b
3
y
3
y
?<
/p>
(
?
2
ln
r
)
1
/
2
,
r
~
U
(
0
,
< br>1
)
，系数为：
这里
a
0
=
2.515517
b
1
= 1.432788
a
1
= 0.802853
b
2
= 0.189269
a
2
=
0.010328
b
3
= 0.001308
三．利用统计工具箱
在
MATLAB
统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数发生器程序，
我们
只需要调用就可以产生我们想要的随机数。
四．反函数法
设连续型随机变量
Y
的概率函数为
f
(
x
),
需产生给定分布的随机数
.
算法
:
（
1
）产生
n
个
R
ND
随机数
r
1
，
r
2
，…，
r
n
；
从等式
r
i
?
?
f
(
y
)
dy
中解出
y
i
;
所得
（
2
）
?
?
y
i
y
i
,
i
=1,2,
…,
n
即所求
.
基本原理：
设随机变量
Y
的分布函数
F
(
y
)
是连续函数，
而且
随机变量
X
～
U
(0,1)
，
令
Z
< br>=
F
(
X
)
。
则
Z
与
Y
有相同分布。
证明
：
F
Z
(
z
)
=
P
{
F
(
X
) ≤
z
}=
P
{
X
≤
F
(
z
)}=
G
(
F
(
z
))
=
F
(
z
)
因
G
(
x
)
是随机变量
X
的分布函数：
?
0
,
?
G
(
x
)
?
?<
/p>
x
,
?
1
,
?
－
1
－
1
x
?
0
;
0
?
x
?
1
;
1
?
x<
/p>
.
－
1
Y
若
Y
的概率密度为
f
(
y
)
，由
Y
=
F
(
X
)
可得：
X
?
F
(
Y
)
?
?
f
(
y
)
dy
?
?
对给出定的
(0, 1)
上均匀分布随机数
< br>r
i
，则具有给定分布的随机数
y
i
可由方程
i
f
(
y
)
d
y
解出。
r
i
?
?
?
?<
/p>
y
五．舍选法
基本思想：
实质上是从许多
RND
随机数中选出一部分
,
使之成为具有给定分布的随机数。
设
随机变量
X
的概率密度函数为
f
(
x
)
，存在实数<
/p>
a
<
b
，使
P{
a
<
br>∈ (2)
b<
/p>
}=1
。
算法步骤：
(1)
选取常数
λ
，使
λ
f
(
x
)
＜
1
，
x
(a, b)
；
(2)
产生两个
RND
随机数
r
1
、
r
2
，令
y
=
a
＋
(<
/p>
b
－
a
)
r
1
；
(3)
若
r
2
≤
λ
f
(
y
)
，
则令<
/p>
x=y
；
否则剔除
r
1
和
r
2
,
重返步骤
，
重复循环
,
产
生的随机数
x
1
，
x
2
，…，
x
N
的分布由概率函数
f
(
x
)
确定。
舍选法算法原理分析：
设
P
{
a
＜
Z
＜
b
}=1
，
Z
的概率密度为
f
(
z
),
（
1
）选常数
λ
，使
λ
f
(
z
)≤1，
z
∈
(
a
，
b
)
；
（
2
）随机变量
X
1
，
X
2
相互独立
X
i
～
U
(0, 1),
令
Y
1
=
a
+(
b
－
a
)
X
1
～
U(
a, b
); <
/p>
（
3
）若
X
2
≤
λ
f
(
Y
1
)
，则令
X
=
Y
1
，否则剔除
X
1
，
X
2
重复到
(2)
；
则随机
变量
X
的分布与
Z
相同。
b
注：
若不
满足条件：
?
f
(
x
)
dx
?
1
,
a
可选取有限区间
(
a
1
,
< br>
b
1
)
，使得
?
a
1
f
(
x
)
dx
?
< br>1
?
?
（
ε
是很小的正数）
例如，取
a
1
=
μ
－
3<
/p>
σ
,
b
1
=
μ
＋
3
σ
(
x
?
?
)
2
?
1
e
2
?
2
dx
?
1
?
0
.
003
，
有
a
1
2
?
?
b
1
?
b
1
在区间
(
a
1
,
b
1
)
上应用舍选法
,
不会出现较大的系
统误差。
六．
R
软件
利用
R
软件，可方便地求各种常见概率
分布的分布函数，分位点及生成各种常见
分布的随机数等。在各种分布名称中加上不同的
前缀表示不同的意义如：
p-
求分
布函
数，
q-
求分位点，
r
产生随机数等。
七、一维正态随机数的检验
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