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第一章
3.
已知
e=2.7182818..
，求以下近似值
x
A
的相对误差，并问它们各有多少位有效数字？
（
1
）
x
?
e
,
x
A
?
2.7
；
（
2
）
x
?
e
,
x
A
?
2.718
；
（
3
）
x
?
e
e
,
x
A
?<
/p>
0.027
；
（
4
）
x
?
,
x
A
?
0.02718
。
100
100
解：
（
1
）
x
?<
/p>
e
?
2.7182818..,
x
A
?
2.7
?
0.27
?
10
1
x
?
x
A
?
0.01828...
?
0.05
?
0.5
?
10
?
x
A
?
2.7
有
2
位有效数字
?
1
x
?
x
A
x
A
?
6.8
?
10
?
3
（
2
）
x
A
?
2.718
x
?
x
A
?
0.00028...
?
0.0005
?
0.5
?
10
?
3
x
A
?
2.718
有
4
位有效数字
x<
/p>
?
x
A
?
1.04
?
10
?<
/p>
4
x
A
（
3
）
x
?
e
?
0.027182
818...,
x
A
?
0.027
?
0.27
?
10
?
1
100
?
3
0.
5
1
0<
/p>
0.
?
0
0
?
0
5
x
?
x
A
?
0.
0
0
0
1
8
2
?
8...
?
x
A
?
0.027
有
2
位有效数字
x
?
x
A
x
A
?
6.8
?
10
?
3
（
4
）
x
A
?
0.02718
x
?
x
A
?
0.000
0028...
?
0.000005
?
0.5
?
10
?
5
x
A
?
2.718
有
4
位有效数字
x
?
x
A
?
1
.04
?
10
?
4
x
A
4.
正方形的边长大约为
100cm
，应怎样测量才能使其面积误差不超过
1
cm
2
?
[
解
]
由
?<
/p>
A
((
l
A
)
)
?
[(
l
A
)
]
?
?
A
(
l
A
)
?
2
l
A
?
A
(
l
A
)<
/p>
可知，若要求
?
A
((
l
A
)
2
)
?
1
，则
2
2
?
A
(
l
A
)
?
?
A
((
l
A
)
2
)
?
1
1
1
，即边长应满足
l
?
100
?
。
?
2
l
A
2
?
100
200
200
5(1)
①
1-cos2
°
=1-0.9994=0.0006
只有一位有效数字
②
1-cos2
°
=2sin
?
1
°
=2
×<
/p>
0.0175
?≈
0.6125
×
10
?
3
6
.
125
?
10
?
4
?
6
.
0917298
?
10
?
4
=0.3327
?
10
?
5
＜
0
.
5
?
10
?
5
?
0
.
5
?
10
?
3
?
2
?
0
.
6125
?
10
?
3
具有
2
位有效数字
x
A
?
?
0
.
a
1
a
2
a
3
?
?
< br>a
n
?
10
k
?
n
若
x
?
x
k
-<
/p>
n
A
?
0
.
5
?
10
则称
x
A
具有几位有效
数字
③
1
?
cos
2
?
?
?
sin
2
?
?
2
1
?
cos
2
?
?
?
0
.
0349
?
2
1
?
0
.
9994
?
6
.
0919<
/p>
?
10
?
4
?
0
.
60919
?
10
?
4<
/p>
6
.
0919
?
10
?
4
?<
/p>
6
.
0917298
?
10
?
4
?
0
.
0001702
?
10
?
4
＜
0
.
0005
?
10
?
4
?
0
.
5
?
10
?
7
?
0
.
5
?
10
?
3
?<
/p>
4
?
0
.
60919
?
10
?
3
有
4
位有效
数字
(2)
?
2
4
?
π
?
?
?
π
?
1<
/p>
?
cos
2
?<
/p>
?
?
90
?
?
90
?
2
！
?
?
?
4
！
?
6
.
092
?
10
?
4
6
.
< br>092
?
10
?
4
?
6
.
0917298
?
10
?
4
?
0
.
0002702
?
10
?<
/p>
4
＜
0
.
0005
?
10
?<
/p>
4
?
0
.
5
?
10
?
7
?
0
.
5
?
10
?
3
?
4
?
6
.
092
有
4
位有效数字
6.
求
解
方
程
< br>x
2
?
56
x
?
1
?
0
，
使
其
根<
/p>
至
少
有
四
位
有
效
数
字
，
738
?
27.982
。
计
算
中
要
求
用
?
b
?
b
2
< br>?
4
ac
2
a
解：利用求根公式
求得两个根为
x
?
?
28
?
783
，
由
x
?
28
?<
/p>
783
与
783
?
27
.
982
（五位有效数字）可知
x
1
?
?
28
?
783
?
?
55.98
2
（五位有效数字）
x
2
?
?
28
?
783
?
?
28
?
27
.
982
?
?
0
.
018
，只有两位有效数字，不符合题意。
由于两个相近数相减误差很大，所以利用韦达定理可知
1
x
2
?
a
?
?
?
0.017863
x
1
x
1
7.
设
f
(
x
)
?
x
(
x
?
1
?
x
)
，
g
(
x
)
?
c<
/p>
x
，用四舍五入的六位数字运算分别计算
x
?
1
?
x<
/p>
f
(
500
)<
/p>
和
g
(
500<
/p>
)
的近似值，并分析哪个结果计算比较准确，原因何在？
解：用四舍五入法保存
6
位有效数字可得
500
?
22.3607
501
?
22.3830
f
(
500
)
?
500
(
500
?
1
?
500
)
?
500
?
?
22
.
3830
?<
/p>
22
.
3607
?
?
11
.
1
500
；
g
(
500
)
?
500
?
500
?
?
22
.
3830
?
22
.
3607
?
?
11
.
1748
500
?
1
?
500
而
f
(
500
)
?
g
(
500
)
?
11
.
1747553
因此
g
(
500
)
比较准确，原因是相近数相减有效数字会有所损失，故
g
(
500
)
更加准确。
8.
下列公式要怎样变换才能使数值计算时能避免有效数字
的损失？
(1)
?
< br>N
?
1
N
1
dx
,
N
??
1
1
?
x
2
(2)
x
?
1
1
?
x
?
,
x
??
1
x
x
(3)
ln(
x
?
1
)
?
ln
x
,
x
??
1
2
2
(4)
cos
x
?
sin
x
,
x
?
?
4
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