-
.
习题
1.1
1
、
用列举法给出下列集合：
a)
小于
5
的非负整数的集合；
b)
10
到
20
之间的素数的集合；
c)
不超过
65
的
12
之正整数倍数的集合。
2
、
用命题法给出下列集合：
a)
不超过
100
的自然数的集合；
b)
E
v<
/p>
和
O
d
；
c)
10
的整倍数的集合。
3
、
用归纳定义法给出下列集合：
a)
允许有前
0
的十进制无符号整数的集合；
b)
不允许有前
0
的十进制无符号整数的集合；
c)
允许有前
0
和后
0
的有有限小数部分的十进制
无符号实数的集合；
d)
不允许有前
0
的十进制无符号偶数的集合；
e)
E
v
和
O
d
；
f)
集合
{0
，
1
，
4
，
9
< br>，
16
，
25
< br>，…
}
。
4
、
确定下列集合中哪些是相等的：
A<
/p>
={
x
|
x
为偶数且
x
2
为奇
数
}
B
={
x
|
有
y
∈<
/p>
I
使
x
=2
y
}
C
={1<
/p>
，
2
，
3} <
/p>
D
={0
，
2<
/p>
，
-2
，
5
，
-3
，
4
，
-4}
E
={2
x|
x
∈
I
}
.
F
={
3
，
3
，
2<
/p>
，
1
，
2} <
/p>
G
={
x
|
有
x
∈
I
且
x
3
-6
x
2
-7
x
-6=0}
5
、
确定下列关系中哪些是正确的，并简单说明理由。
a)
???
b)
???
c)
??
{
?
}
d)
??
{
?
}
e)
{
a
,
b<
/p>
}
?
{
a,
b, c,
{
a
,
b
,
c
}}
f)
{
a
,
b<
/p>
}
?
{
a
,
b
,
c
,{
a
,
b
,
c
}}
g)
{
a
,
b<
/p>
}
?
{
a
,
b
,{
a
,
b
}}
h)
{
a
,
b<
/p>
}
?
{
a
,
b
,{
a
,
b
}}
6
、
设
A
、
B
和
C
为集合。证明或用反例推翻以下的各个命题：
a)
若
A<
/p>
?
B
且
B
?
C
，则
A
?
C
。
b)
若
A<
/p>
?
B
且
B
?
C
，则
A
?
C
。
c)
若
A<
/p>
?
B
且
B
?
C
，则
A
?
C
。
d)
若
A<
/p>
?
B
且
B
?
C
，则
A
?
C
。
7
、
若
A
、
B
为集合，则
A
?
B
与
A
?
B
能同时成立
吗？请证明你的结论
。
8
、
列举出下列集合中每个集合的所有子集：
a)
{1
，
2
，
3}
b)
{1
，
{2
，
3}}
c)
{{1
，
{2
，
3}}}
d)
{
?
}
e)
{
?
,
{
?
}}
.
f)
{
{1
，
2}
，
{2
，
1
，
1
}
，
{2
，
1
，
1
，
2}}
g)
{ {
?
，
2}
，
{
2}}
9
、
给出下列集合的幂集：
a)
{a
，
{b}}
b)
{1
，
?
}
c)
{
x
,
y
,
z
}
d)
{
?
，
a,{
a}}
e)
?
({
?
})
10
、
设
?
(
A
)=
?
(
B
)
。证明
A
=
B
。
习题
1.2
1.
设
U=
{1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}
。试
求下列集合：
a)
A
?
~B
；
b)
(A
?
B)
?
~C
；
c)
~ (A
?
B)
；
d)
~A
?
~B
；
e)
(A
–
B)
–
C
；
f)
A
–
(B
–
C)
；
g)
(A
?
B)
?
C
；
h)
(A
?
B)
?
(B
?
C)
2.
设
A={n|n
?
I
+
且
n<12},B={
n|n
?
I
+
且
n
?
8},C={2n|n
?
I
+
},D={3n|n
?
I
+
}
且<
/p>
E={ 2n-1|n
?
I
+
}
试用
A
，
B
，
C
< br>，
D
和
E
表达下列集合：
.
a)
{2
，
4
，
6
，
8}
；
b)
{3
，
6
，
9}
；<
/p>
c)
{10}
；
d)
{n|n
为偶数且
n>10}
；
e)
{n|n
为正偶数且
n
?
10
，或
n
为奇数且
n
?
9}
。
3.
证明：
a)
如果
A
?
B
且
C
?
D
，则
A
?
C
?
B
?
D
且
A
?
C
?
B
?
D
；
b)
A
?<
/p>
(B-A)=
?
;
c)
A
?<
/p>
(B-A)=A
?
B;
d)
A
–
(B
?
C)= (A
–
B)
?
(A
–
C)
；
e)
A
–
(B
?
C)= (A
–
B)
?
(A
–
C)
；
f)
A
–
(A
–
B) = A
?
B
；
g)
A-(B-C)=(A-B)<
/p>
?
(A
?
C)<
/p>
。
4.
证明
a)
A=B
当且仅当
A
?
B=
?
；
b)
A
?
B=
B
?
A
；
c)
(A
?
B)
?
C=
A
?
(B
?
C)
；
d)
A
?
(B
?
C)=(A
?
B)
?
(A
?
C)
；
e)
(B
?
C)
?
A=(B
?
A)
< br>?
(C
?
A)
< br>。
5.
判断一下结论是否成立，
如果或成立，
就给予证明，
如果不成立，
就用文氏图加以说明。
a)
若
A<
/p>
?
C
?
B
?
C
且
A
??
C
?
B
??
C
，则
A
?
B
；
b)
若
A<
/p>
?
B=A
?
C<
/p>
且
?
A
?
B=
?
A
?
C
，则
B=C
；
.
c)
若
A<
/p>
?
B=A
?
C<
/p>
，则
B=C;
d)
若
A<
/p>
?
B=A
?
C<
/p>
，则
B=C;
e)
A
?<
/p>
B=A
?
C
，则
B=C;
f)
若
A
?
B
?
C
，则
A
?
B
或
A
?
C
；
g)
若
B<
/p>
?
C
?
A
，则
B
?
A
或
C
?
A
。
6.
给出下列各式成立的充分必要条件，并加以证明。
a)
(A-B)
?
(A-C)=A;
b)
(A-B)
?
(A-C)=
?
;
c)
(A-B)
?
(A-C)=A;
d)
(A-B)
?
(A-C)= A;
e)
(A-B)
?
(A-C)=A;
f)
(A-B)
?
(A-C)=
?
;
g)
A
?
B=A
?
B;
h)
A-B=B;
i)
j)
A-B=B-A;
A
?
B=A
；
k)
?
(A
)
??
(B)=
?
(A
?
B);
7.
设
A<
/p>
，
B
为任意两个集合，证明：
a)
?
(A)
??
(B)
??
(A
?
B);
b)
?
(A
)
??
(B)=
?
(A
?
B)
。
8.
试求出
< br>??
和
??
，其中
?
为：
a)
{{
?
}}
；
.
b)
{
?
，
{
?
}}
；
c)
{{a},{b},{a,b}}
。
n
1
9.
<
/p>
设
R
0
?
{
a
|
a
?
R
且
a
?
1
}
，
R
i
?
{
a
|
a
?
R<
/p>
且
a
?
(1
?
)}
，
i
?
I
?
。
证明
R
i
?
R
0
< br>i
i
?
1
?
n
?
0
?
n
?
0
10.
设
A
n
?
{
x
|
x
?
R
且
x
?
n
}
< br>，
n
?
N
，试求
A
n
和
A
n
11.
设
A
x
?
{
y
|
y
?
R
且
0
?
y
?
x
},
x
?
R
。试求
x
?
R
x
?
1
?
?
?
?
A
x
和
x<
/p>
?
R
x
?
1
A
x
。
12.
设
A
?
A
i
，
A
?
m
?
0
i
?
m
m
?
0
i<
/p>
?
m
A
i
，我们称
A
和
A
分别为集合序列
A
0
,
A
1
,
A
2
,
的上极
限和下极限，证明：
a)
b)
A
为由一
切属于无限多个
A
i
的元素组成的集合
；
A
为由一切属于“几乎所有”的<
/p>
A
i
的元素组成的集合。
习题
1.3
1
、
a)
用归纳法证明：
1
< br>1
1
n
?
?
?
?
?
；
1
?
2
2
?
3
n
?
(
n
?
1
)
n
?
< br>1
b)
2+2
2
+2
3
+
…
+2
n
=2
n
+1
-2
；
c)
2
n
=
2
n
；
d)
3|
n
3
+2
n
;
e)
1
·
2
·
3+
2
·
3
·
4+
…
+
n
(
n
+1)(
n
+2
) =
n
?
n
?
1
??
n
?
2
??
n
?<
/p>
3
?
4
f)
任意三个相邻整数的立方和能
被
9
整除；
g)
11
n
+2
+12
2
n
+1
是
133
的倍数；
.
h)
若
n
?
I
+
则
1
1
?
1
2
?
?
?
1
n
?<
/p>
n
。
2
、设
a
0
，
a
1
，
a
2
，…为由自然数组成的严格单调递增序列。证明：若
n
?
N
，则
n
≤
a
n
。<
/p>
3
、斐波那契
(Fibonacci)
数列定义为
F
0
=0
F
1
=1
F
n
+1
=
F<
/p>
n
+
F
n
-1
，
n
?
I
+
n
?
2
?
1
< br>?
5
?
?
证明：若
n
?
I
+
，则
?
?
2
?
?
?
?
1
?
5
?
?
?
F
n
?
?
?
2
?
?
?
n
< br>?
1
。
4
、设
n
,
m
?
I
+
且
n
＞
m
。假定有
n
个直立的大头针，甲、乙两人轮流把
这些直立的大头针
扳倒。规定每人每次可扳倒
1
至
m
根，且扳倒最后一根直立的大头针者为获胜者。试
证明：
如果甲先扳且
(
m
+
n
)
不能整除
n
，则甲总能获胜。
5
、证明以下的二重归纳原理的正确性：
设
i
0
, <
/p>
j
0
?
N
。假定对任意自然数
i
≥
i
0
及
j
≥
j
0
，皆有一个命题
P
(
i
,
j
)
满足：
i)
P
(
i
0
,
j
0<
/p>
)
真；
ii)
对任意自然数
k
≥
i
0
及
l
≥
j
0
，若
P
(
k
,
l<
/p>
)
真，则
P
(<
/p>
k
+1,
l
)
和
P
(
k
,
l
+1)
皆真
。则对任意自
然数
i
≥
i
0
及
j
≥
j
0
，
P
(
i
,
j
)
皆真。
6
、证明：若
n
?
N
，则
n
?
n
。
7<
/p>
、证明：若
n
,
m
?
N
，则
n
?
m
当且仅当
n
?
m
。
8
、证明：若
n
,
m
?
N
，则
n
?
m
当且仅当
n
+
?
m
+
。
9
、证明：若
n
,
m
?
N
，则
n
＜
m
当且仅当有
x
?
N
使
m
=
n
+
x
+
。
10
、证明：若
n
?
N
，则不可能有
m
< br>?
N
使
n
＜
m
＜
n
+
。
习题
1.4
.
1
、
<
/p>
设
A
={0,1}
，
B
={1,2}
。
试确定下列集合：
a)
A
×
{1}
×
B
b)
A
2
×
B
c)
(
B
×
A
)
2
2
、证明或用反例推翻下列命题：
a)
(
A
∪
B
)
×
(
C
∪
D
)= (<
/p>
A
×
C
)
∪
(
B
×
D
)
b)
(
A
∩
B
)
×
(
C
< br>∩
D
)= (
A
×
C
)
∩
(
B
×
D
)
c)
(
A
－
B
)
×
(
C
－
D
)=
(
A
×
C
)<
/p>
－
(
B
×
D
)
d)
(
A
?
B
)
×
(
C
?
D
)= (
A
×
C
)
?<
/p>
(
B
×
D
)
3
、如果
B
∪
C
?
A
，则
(
A
×
B
)
－
(
C
×
D
< br>)= (
A
－
C
)
×
(
B
－
D
)
。这个命题对吗？如果对，则给予
证明；如果不对，则举出反例。
f)
4
、证
明：若
x
?
C
且
y
?
C
，则
<
x
,
y
>
??
(
?
(
C
))<
/p>
。
5
、证明：
a
?
∪
<
a
,
b
>
且
b
?
∪
<
a
,
b
>
。
6
、把三元偶
<
a
,
b
,
c
>
定义为
{{
a
},{
a
,
b
},{
a
,
b
,
c
}}
合适吗？说明理由。
7
、
为了给出序偶的另一定义，
选取两个不同集合
A
和
B
(
例如取
A
=
?
，
B
={
?
})
，
并定义
<
a
,
b
>={{
a
,
A
},{
b
,
B
}}
。证明这个定义的合理性。
.
第二章
二元关系
习题
2.1
1
、
列出从
A
到
B
的关系
R
中的所有序偶。
a)
A
={0, 1,
2}
，
B
={0, 2, 4}
，
R
={<
x
,
y
>|
x
,
y
?
A
∩
B
}
b)
A
={1, 2, 3, 4,
5}
，
B
={1, 2, 3}
，
R
={<
x
,
y
>|
x
?
A
,
y
?
B
且
x
=
y
2
}
2
、设
R
1
和<
/p>
R
2
都是从
{1
, 2, 3, 4}
到
{ 2, 3,
4}
的二元关系，并且
R
1
={<1, 2>,<2,
4>,<3, 3> }
R
2
={<1, 3>,<2,
4>,<4, 2> }
求
R
1
∪
R
2
, R
1
∩
R
2
, domR
1,
domR
2
,
ranR
1
,
ranR
2,
dom(R
1
∪
R
2
)
和
ran(R
1
∪
R
2
)
。
3
、设
R
1
和
R
2
都是从集合
A
到集合
B
的二元关系。证明
dom(R
< br>1
∪
R
2
)= domR
1
∪
domR
2
ran(R
1<
/p>
∩
R
2
)
?
ranR
1
∩<
/p>
ranR
2
4
、用
L
和
D<
/p>
分别表示集合
{1, 2, 3, 6}
上的普通的小于关系和整除关系，试列出
L
,
D
和
L
∩
D
中的所有序偶。
5
、给出满足下列要求的二元关系的实例：
a)
既是自反的，又是反自反的；
b)
既不是自反的，又不是反自反的；
c)
既是对称的，又是反对称的；
d)
既不是对称的，又不是反对称的。
6
、试判断下面的论断正确与否。若正确，请加以证明；若不正确，请给出反例。
设
R
和
S
都是集合
A
上的二元关系。
若
R
和<
/p>
S
都是自反的
(
反自反的，
对称的，
反对称
的，或传递
的
)
，则
R
∩
S
，
R
∪
S
，
R
－
S
，
R
?
S
也是自反的
(
反自反的，
对称的，反对称的，
.
或传递的
)
。
7
、描述
R
上
的下列二元关系
S
的性质：
a)
S
={<
x
,
y
>|
x
,<
/p>
y
?
R
且
x
·
y
＞
0}
；
b)
S
={<
x
,
y
>|
x
,<
/p>
y
?
R
，
4
整除
|
x
－
y
|
且
|
x
－
y
|
＜
10}
；
c)
S
={<
x
,
y
>|
x
,<
/p>
y
?
R
，
x
2
=1
且
y
＞
0}
；
d)
S
={<
x
,
y
>|
x
,<
/p>
y
?
R
，
4
|
x
|
≤
1<
/p>
且
|
y
|
≥
1}
。
8
、设
n
,
m
?
I
+
。若集合
A
恰有
n
个元素，则在
A
上能有多少个不同的
m
元关系？证明你
的结论。
9
、设
?
和
?
都是由从集合
A
到集合
B
的二元关系构成的集类，并且
?
?
?
。证明
a)
dom(
∪
?
)=
∪
{dom
R
|
R
??
< br>}
；
b)
ran(
∪
?
)=
∪
{ran
R
|
R
??
< br>}
；
c)
< br>dom(
∩
?
)
?
∩
{dom
R
|
R
??
}
；
d)
ran(
∩
?
)
?
∩
{ran
R
|
R
??
}
；
10
、
设
R
为集合
A
上的一个二元关系
。
如果
R
是反自反的和传递的，
则
R
一定是反对称的。
11
、设
R
为集合
A
上的一个二元关系，若令
f
ld
R
=dom
R
∪
ran
R
则
fld
R
=
∪
(
∪
R
)
。
12
、若
R
为集合
A
上的一个二元关系，则
R
也是∪
(
∪
R
)
上的二元关系。
习题
2.2
1.
设集合
A={1,2,3,4,5,6}
上的二元关系
R
为
R={<1,
1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<2,1>,<1,3>
,<3,1>,<2,3>,<3,2>,
<4,5>,<5,4>}
试画出
R
的关系图
G
R
，求出
R
的关系矩阵
M
R
,
并指出
R
所具有的性质。
.
2.
对图
2.2.3
给出的集合
A={1,2,3}
上的十二个二元关系的关系图，
写出相应的关系矩阵，
并指出各个关系所具有的性质。
3.
对习题
2.1
种第
4
题所给的二元关系
L,D
和
L
?
D
，画出它们的关系图，并写出它们的
关系矩
阵。
4.
设
A
为恰有
n
个元素的有限集。
a)
共有多少个
A
上的不相同的自反关系？
a)
共有多少个
A
上的不相同的反自反关系？
b)
共有多少个
A
上的不相同的对称关系？
c)
共有多少个
A
上的不相同的反对称关系？
d)
共有多少个
A
上的不相同的既是对称又反对称的关系？
习题
2.3
1.
设
R<
/p>
为非空有限集
A
上的二元关系。
如果
R
是反对称的，
则
R
?
R
-1<
/p>
的关系矩阵
M
R
?
R-1
中最多能有多少个元素为
1<
/p>
？
2.
设
R
为集合
A
上的二元关系，
则
R
?
R
-1
为
A
上包含
R
的最小对称关系，
R
?
R
-1
为
A
上
的包含在
R
中的最大对称关系。
3.
设
I<
/p>
A
为集合
A
上的
恒等关系，即
I
A
={
x>|x
?
A}
。则
对
A
上的任意二元关系
R
，
A
上的二元关系
I
A
?
R
?
R
-1
必是自反的和对称的。
4.
设
R
为任意的二元关系。证明
a)
domR
-1
=ranR;
b)
ranR
-1
=domR
。
习题
2.4
.
1
、
设集合
{a,
b,
c,
d}
上的二元关系
R
1
和
R
< br>2
为
R
1
={<
a
,
a
>,<
a
,
b
>,<
b
,
d
>}
；
R<
/p>
2
={<
a
,
2
d
>,<
b
, c>,<
b
,
d
>,<
c
,
b
>}
。试求
R
2
o
R
1<
/p>
，
R
1
o
R
2
，
R
1
2
及
R
2
。
3
< br>、若
R
为任意集合
A
上的空关系或全关系，则
R
2
=
R
。
4
、举出使
R
1
o(
R
2
∩
R
3
)
?
<
/p>
(
R
1
o
R
2
)
∩
(
R
1
o
R
3
), (
R
2
∩
R
3
< br>)o
R
4
?
(<
/p>
R
2
o
R
4
)
∩
(
R
3
o
R
4
)
成立的二元关系
R
1
，
R
2
，
R
3
和
R
4
的实例。
5
、设
R
1
和
R
2
都是集合
A
上的二元关系。证明或用反例推翻以下的论断：
a)
如果
R
1
和
R
2<
/p>
都是自反的，则
R
1
o
R
2
也是自反的；
b)
如果
R
1
和
R
2
都是反自反的，则
R
1
o
R
2
也是反自反的；
c)
如果
R
1
和
R
2
都是对称的，则
R
1
o
R
2
也是对称的；
d)
如果
R
1
和
R
2
都是
传递的，则
R
1
o
R
2
也是传递的；
6
、设
A
={0
，
1
，
2
，
3}
上的二元关系
R
1
和
R
2
为
R
1
={<
i
,
j
>|
j<
/p>
=
i
+1
或
j
=
i
/2}
；
R
2
={<
i
,
j
>|
i
=
j
+2}
；试求
M
R
1
，
M
R
2
，
M
R
1
?
R
2
，
M
R
1
?
R
2
< br>?
R
1
及
M
R
3
。
1
8
、设
R<
/p>
为集合
A
上的二元关系，
s
，
t
?
N
，
s
<
t
且
R
s
=<
/p>
R
t
。证明
a)
若
k
?
N
，则
R
s+
k
=
R
t
+
k
；
b)
若
k
,
i
?
N
，则<
/p>
R
s
+
kp
+
i
=
R
s
+
i
；
c)
若
k
?
N
，则
R
k
?
{
R
0
,
R
1
,
…
,
R
t
-1
}
。其中
p
=
t
-
s
。
9
、设
I
A
为集合
A
上的恒等关系，
R
为
A
上的任意二元关系。证明
< br>
a)
R
是自反的，当且仅当
I
A
?
R
；
b)
R
是反自反的，当且仅当
R
∩
I
A
=
?
；
c)
R
是对称的，当且仅当
R
=
R
-1
；
d)
R
是反对称的，当且仅当
R
?
R
-1
=
I
A
；
.
e)
R
是传递的，当且仅当
R
o
R
?
I
A
。
10
、如果集合
A
上的二元关系
R
既是自反的，又是传递的，则<
/p>
R
2
=
R
。
11
、设
R
1
为从集合
A
到集合
B
的二元关系，
R
2
为从集合
B
< br>到集合
C
的二元关系。试求
do
m(
R
1
o
R
2
)
和
ran
(
R
1
o
R<
/p>
2
)
。
12
、设
R
为从集合
A
到集合
B
的
二元关系，且对每个
X
?
A
，皆令
R
(
X
)={
y
?
B
|
有
x
?
X
使
＜
x
，
y
＞
?
R
}
。若
X
1
?
A
且
X
2
?
A
，则有
i)
R
(
X
1<
/p>
∪
X
2
)=
R
(
X
1
)
∪
R
(
X
2
)
；
ii)
R
(
X
1
∩
X
2
)
?
R
(
X
1
)
∩
R
(
X<
/p>
2
)
；
iii)
R
(
X
1
﹨
X
2
)
?
R
(
X
1
)
﹨
R
(
X
2
)
；
13
、
设
R
1
为从集合
A
到集合
B
的二元关系，
R
2
为
从集合
B
到集合
C
的二元关系。
若
X
?
A
，
则
(
< br>R
1
o
R
2
)
(
X
)=
R
2
(
R
1
(
X
))
。
习题
2.5
2
、设
R
1
和
R
2
都是集合
A
上的二元关系，试证明：
a)
r
(
R
1
∪
R
2
)=
r
(
R
1
)
∪
r
(
R
2
)
；
b)
s
(
R
1
∪
R
2
)=
s
(
R
1
)
∪
s
(
R
2
)
；
c)
t
(
R
1
∪
R
2
)
?
< br>t
(
R
1
)
∪
t
(
R
2
)
。
4
、设
R
1
和
R
2
都是集合
A
上的二元关系，试证明：
a)
r
(
R
1
∩
R
2
)=
r
(
R
1
)
∩
r
(
R
2
)
；
b)
s
(
R
1
∩
R
2
)
?
s
(
R
1
)<
/p>
∩
s
(
R
2
)
；
c)
t
(
R
1
∩
R
2
)
?
t
(
R
1
)
∩
t
(
R
2
< br>)
。
并分别给出使
s
(
R
1
)
∩
s
(
R
2
)
?
s
(
R
1
∩<
/p>
R
2
)
和
t
(
R
1
)
∩
t
(
R
2
)
?
t
(
R
1
∩
R
2
)
不成
立的
R
1
和
R
2
的具体实例。
.
6
、给
出一个二元关系
R
使
st
(
R
)
< br>≠
ts
(
R
)
。
<
/p>
7
、设
R
为集合
A
上的二元关系，试证明：
a)
R
o
R
*
=
R
+
=
R
*
o
R
；
b)
(
R
+
)
+
=
R
+
；
c)
(
R
*
)
*
=
R
*
；
习题
2.6
1
、设
R
1
和
R
2
都是集合
A
上的相容关系。证明或用反例推翻下列命题：
a)
R
1
∩
R
2
是
A
上的相容关系；
b)
< br>R
1
∪
R
2
是
A
上的相容关系；
c)
R
1
－
R
2
是
< br>A
上的相容关系；
d)
R
1
?
R
2
是
A
上的相容关系；
e)
R
1
o
R
2
是
A
上的相容关系；
f)
R
1
2
是
A
上的相容关系；
< br>
3
、如果
A
< br>为恰含
n
个元素的有限集，则
A
上有多少个不同的相容关系？
习题
2.7
1
、试判断下列
I
上的二元关系是不是
I
上的等价关系，并说明理由。
a)
{<
i
,
j
>|
i
,
j
?
I
且
i
·
j
>0}
；
b)
{<
i
,
j
>|
i
,
j
?
I
且
i
·
j
≥
0
且
i
与
j
不同时为<
/p>
0}
；
c)
{<
i
,
j
>|
i
,
j
?
I
且
i
≤
0 }
；
d)
{<
i
,
j
>|
i
,
j
??
I
且
i
·
j
≥
0
}
；