-
三角公
式及
推导
（
祥尽解释）
1-----
诱导公式：
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设
α
为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin
（
2k
π
＋
α
）＝
sin<
/p>
α
cos
（<
/p>
2k
π
＋
α
）＝
cos
α
<
/p>
tan
（
2k
π
＋
α
）＝
ta
n
α
cot
（
2k
π
＋
α
）＝
cot
α
公式二：
设
α
为任意角，
π
+
α
的三角函数值与
α
的三角函数值乊间的关系：
sin
（
π
＋
α
< br>）＝－
sin
α
cos
（
π
＋
α
）＝－
cos
α
tan
（
π
＋
α
）＝
tan
α
cot
（
π
＋
α
）＝
cot
α
公式三：
任意角
α
与
-
α
的三角函数值乊间的关系：
sin
（－
α
）＝
－
sin
α
cos
（－
α
）＝
cos
α
tan
（－
α
）＝－
tan
α
cot
（－
α
）＝－
cot
α
公式四：
利用公式二和公式三可以得
到
π
-
α
与<
/p>
α
的三角函数值乊间的关系：
sin
（
π
－
α
）＝
sin
α
cos
（
π
－
α
）＝－
cos<
/p>
α
tan
（<
/p>
π
－
α
）＝－<
/p>
tan
α
co
t
（
π
－
α<
/p>
）＝－
cot
α
公式五：
利用公式一和公式三可以得到
2
π
-<
/p>
α
与
α
的三角函
数值乊间的关系：
sin
（
2
π
－
α
）＝－
sin
α
cos
（
2
π
－
α
）＝
cos
α
tan
（
2
π
－
α
）＝－
tan
α
cot
（
2
π
－
α
）＝－
cot<
/p>
α
公式六：
π
/2±
α
及
3
π
/2±
α
与
α
的三角函数值乊间的关系：
sin
（
π
/2
＋<
/p>
α
）＝
cos
α
cos
（
π
/2
＋
α
）＝
－
sin
α
tan
（
π
/2
＋
α
）＝－
cot
< br>α
cot
（
< br>π
/2
＋
α
）＝－
tan
α
sin
（
π
/2
－
α
）＝
cos
α
c
os
（
π
/2
－
α
）＝
sin
α
t
an
（
π
/2
－
α
）＝
cot
α
cot
（
π
/2
－
α
）＝
tan
α
sin
（
3
π
/2
＋
α<
/p>
）＝－
cos
α
cos
（
3
π
/2
＋
α
）＝
sin
α
t
an
（
3
π
/
2
＋
α
）＝－
cot
α
cot
（
3
π
/2
＋
α
）＝－
tan
< br>α
sin
< br>（
3
π
/2
－
α
）＝－
cos
α
cos
（
3
π
/2
－
< br>α
）＝－
sin
α
tan
（
3
π
/2
－
α
）＝
cot
α
cot
（
3
π
/2
－
α
）＝
tan
α
(
以上
k∈z)
诱导公式记忆口诀
※
规律总结
※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于
k?
π
/2±
α
(k∈z)
的个三角函数值，
①
当
k
是偶数时，
得到
α
的同名函数值，即函数名不改变；
②
当
k
是
奇数时，得到
α
相应的余函数值，即
s
in→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把<
/p>
α
看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边
的符号为把
α
视为锐角时，角
k?36
0°+
α
（
k∈z
），
-
α
、
180°±
α
，
360°
-
α
所
在象限的原三角函
数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种
三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀
“
一全正
；二正弦；三为切；四余
弦
”
．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是
“
＋
”
；
第二象限内只有正弦是
“
＋
”
，其余全部是
“
－
”<
/p>
；
第三象限内切函数是
“
＋
”
，弦函数是
“
－
”
；
第四象限内只有余弦是
“
＋
”
，其余全部是
“
－
”
．
公式七：额外的定义
sin
2
?
?
(sin
?
)
2
cos
2
?
?
(cos
?
)
2
tan
2
?
?
(tan<
/p>
?
)
2
2---
同角三角函数基本关系
⒈
同角三角函数的基本关系式
倒数关系
:
tan
α
?cot
α
＝
1
sin
α
?csc
α
＝
1
cos
α
?sec
α
＝
1
商的关系：
sin
< br>α
/cos
α
＝
tan
α
＝
sec
α
/csc
α
cos
α
/sin
α<
/p>
＝
cot
α
＝<
/p>
csc
α
/sec
α
平方关系：
< br>sin^2(
α
)
＋
cos^2(
α
)
＝
1
1
＋
tan^
2(
α
)
＝
s
ec^2(
α
)
1
< br>＋
cot^2(
α
)
＝
csc^2(
α
)
证明：
?
在
?
ABC
中
,
?
ABC
?
9
0
?
?
a
2<
/p>
?
b
2
?
c
2
?
a
2
b
2
c
2
?
c
2
?
1
?
sin
2
B
?
sin
A
?
1
?
sin
2
?
?
cos
2
?
?
1
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以
上弦、中切、下割；左正、右余、中间
1
的正六边形为模型。
（
1
）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（
2
）商数关系：六边形
任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主
要是两条虚线两端
的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
（
3
）平方
关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶
点上
的三角函数值的平方。
3---
两角和差公式
⒉
两角和与差的三角函数公式
sin
（
α
＋
β
）＝
sin
α
cos
β
＋
cos
α
sin
β
sin
（
α
－
β
）＝
sin
α
cos
β
－
cos
α
sin
β
cos
（
α
＋
β
）＝
cos
< br>α
cos
β
－
< br>sin
α
sin
β
cos
（
α
－
β
）＝
cos
α
cos
β
＋
sin
α
sin
β
tan
α
< br>＋
tan
β
< br>tan
（
α
＋
< br>β
）＝
——————
--
1
－
tan
α
?tan
β
tan
< br>α
－
tan
β
< br>
tan
（
α
< br>－
β
）＝
——————
1
＋
tan
α
?tan
β
和差公式的证明：
(1)
两角差的余弦
A
B
(α
-
β
β
α
β
β
O
C
x
y
?
AOC
?
?
?
?
BOC
?
?
?
?
AOB
?
?
?
?
?
?
令
AO=BO=r
点
A
的横坐标为
x
A
?
r
cos
?
点
A
的纵坐标为
y
A
?
r
sin
?
点
B
的横坐标为
x
B
?
r
cos
?
点
B
的纵坐标为
y
B
?
r
sin
?
AB
2
?
?
< br>y
A
?
y
B
?
?
?
x
A
?
x
B
?
2
2
2
2
?
?
r
sin
?
?
r
sin
?
?
?
?
r
cos
?
?
r
cos
?
?
?
r
2
< br>sin
2
?
?
< br>r
2
sin
2
< br>?
?
2
r
2
sin
?
sin
< br>?
?
r
2
cos
2
?
?
r
2
cos
2
?
?
2
r
2
cos
?
cos
?
?
r
2
?
sin
2
?
?
sin
2
?
?
2sin
?
sin
?
?
cos
2
?
?
cos
2
?
?
2cos
?
< br>cos
?
?
?
< br>r
?
sin
?
< br>?
cos
?
?
< br>sin
?
?
cos
?
?
2sin
?
sin
?
?
2cos
?
cos
?
?
2
2
2
2
2
由余弦公式
?
r
2
?
?
1
?
1
?
2
?
s
in
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
?
?
?
?
r
2
?
?
2
?
2
?
sin
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
?
?
?
?
2
r
2
?
?
1
?
?
si
n
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
?
?
?
可得：
AB
2
?
AC
2
?
BC
2
?
2
A
C
?
BC
cos
?
ACB
?
r
2
?
r
2
?
2
r
?
r
cos
?
?
?
?
?
?
2
r
2
?
2
r
2
cos
?
?
?
?
?
< br>?
r
2
?
?
2
?
2cos
?
?
?
?
?
?
?
?
2<
/p>
r
2
?
?
1
?
cos
?
?
?
?
?
?
?
综上得：
cos
?
?
?
?
?
?
sin
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
(2)
两角和的余弦
cos
?
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?<
/p>
?
?
sin
?<
/p>
sin
?
?
?<
/p>
?
?
cos
?<
/p>
cos
?
?
?<
/p>
?
?
?
sin<
/p>
?
sin
?
?<
/p>
cos
?
cos
?
?
cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
(3)
两角和的正弦
sin
?
?
?
?
?
?
cos
?
?
90
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
90
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
?
90
?
?
?<
/p>
?
sin
?
?<
/p>
cos
?
90
?
?
?
?
cos
?
?
cos
?
sin
?
?
s
in
?
cos
?
(4)
两角差的正弦
sin
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
cos
?
sin
?
?
?
?
?
sin
?
cos
?
?
?
?
?
?
cos
?
sin
?
?
sin
?
cos
?
?
sin
?
cos
?
?
cos
?
sin
?
(5)
两角和的正切
tan
?
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
cos
?
?
?
?
?
cos
?
sin
?
?
sin
?
cos
?
cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
cos
?
sin
?
?
sin
?
cos
?
cos
?<
/p>
cos
?
?
co
s
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
?
sin
?
sin
?
1
?
cos
?
cos<
/p>
?
tan
?
?<
/p>
tan
?
?
1<
/p>
?
tan
?
ta
n
?
(6)
两角差的正切
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?<
/p>
?
?
tan
?<
/p>
?
tan
?
?<
/p>
?
?
1
?
tan
?
tan<
/p>
?
?
?
?
tan
?
?
tan<
/p>
?
1
?
tan<
/p>
?
tan
?
4---
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
表示一：
sin2
α
＝<
/p>
2sin
α
cos
α
证明：因为
sin(
?
+
?
)=sin
??
cos
?
+cos
??
sin<
/p>
?
，令
?
=
?
=
?
，
所以，可得：
sin2
?
=2
?
sin
??
cos
?
表示二：（以正切表示二倍角）
2tan
?
1+tan
2
?
sin2
?
=
證明：
sin
?
1
2tan
?
sin2
?
=2sin
?
cos
?
=2
cos
2
?
=2tan
?
(
)
=
cos
?
sec
2
?
1+tan
2
?
余弦二倍角公式：
1+tan
2
?
2
?
2tan
?
表示一：<
/p>
1
?
tan<
/p>
2
?
cos2
α
＝
cos^2(
α
)
－
sin^2(
α
)
＝
2cos^2(
α
)
－
1
＝
1
－
2sin^2(
α
)
证明：因为
由和角公式：
cos(
?
+
?
)=cos
??
cos
??
sin
??
sin
?
，令
?
=
?
=
?
，
所以，可得：
cos2
?
=cos
2
??
sin
2
?
=2cos
2
??
1=1
?
2sin<
/p>
2
?
表示二：
1
?
tan
2
?
cos2
?
=
1+tan
2
?
證明：
2
2
1
?
tan
2
?
cos2
?
=2cos
??<
/p>
1 =
?
1
=
?
1
=
sec
2
?
1+tan
2
?
1+tan
2
?
2
2tan
α
tan2
α
＝
—————
1
－
tan^2(
α
)
证明：因为
由和角公式：
tan(
?
+
?
)=
tan
?
+tan
?
，令<
/p>
?
=
?
=
?
，
1
?
tan
??
tan
?
所以，可得：
tan2
?
=
2tan
?
1
?
tan
2
?
結論：利用
tan
?
可以將
sin2
?
，
cos2
?
，
tan2
?
表示出來
，
整理如下：
2tan
?
1
?
< br>tan
2
?
2tan
?
(a)
sin2
?
=
2
(b) cos2
?
=
2
(c) tan2
?
=
1+tan
?
1+tan
?
1
?
tan
2
?
1+t
an
2
?
2
?
2tan
?
用三角形直观表示如下：（
图）
1
?
tan
2
?
6
---
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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