-
§
7
向量应用举例
7
．
1
点到直线的距离公式
7
．
2
向量的应用举例
[
学习目标
]
1.
了解直线法向量的概念
.2.
会
用向量方法解决某些简单的平面几何问题、
力学
问题及一些实际
问题
.3.
进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的
工具．
[
知识链接
]
1
．向量可以解决哪些常见的几何问题
答
(1)
解
决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系．
(2)
解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．
2
．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的<
/p>
答
(1)<
/p>
建立平面几何与向量的联系，
用向量表示问题中涉及的几何元素，
将平面几何问题转
化为向量问题；
<
/p>
(2)
通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问
题；
(3)
把运算结果“翻译”成几
何关系．
[
预习导引
]
1
．直线的法向量
< br>(1)
直线
y
＝
kx
＋
b
的方向向量为
(1
，
k
)
，法向量为
(
k
，－<
/p>
1)
．
(2)
直线
Ax
＋
B
y
＋
C
＝
0(
A
＋
B
≠0<
/p>
)
的方向向量为
(
B
，－
A
)
，法向量为
(
A
，
B
)
．
2
．点到直线的距离公式
设点
M
(
x
0
，
y
0
< br>)
为平面上任一定点，则点
M
到
直线
Ax
＋
By
＋
C
＝
0(
A
＋
B
≠0
)
的距离
d
＝
|
Ax
0
＋
By
0
＋
C
|
.
A
2
＋
B
2
3
．向量方法在几何中的应用
(1)
证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行
(
共
线
)
的等价条件：
a
< br>∥
b
(
b
≠0
)
?
a
＝
2
2
2
2<
/p>
λ
b
?
x
1
y
2
－
x
2
y
1
＝
0.
(2)
证明垂直问题，
如证明四边形是矩形、
正方形等，<
/p>
常用向量垂直的等价条件：
非零向量
a<
/p>
，
b
，
a
⊥
b
?
a·b
＝
0
?
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝
0.
(3)
< br>求夹角问题，往往利用向量的夹角公式
cos
θ
＝
a
·
b
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝
2
2
2
2
.
|
a
||
b
|<
/p>
x
1
＋
y
1
x
2
＋
y
2
2
2
(4)
求线段的长度或证明线段相等，
可以利用向量的
线性运算、
向量模的公式：
|
a
|
＝
x
＋
y
.
4
．向量方法在物理中的应用
(1)
力、速度、加速度、位移都是向量．
(2)
力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减
运算，运动的叠加亦用到向量的
合成．
(3)
动量
m
v
是数乘向量．
(4)
功即是力<
/p>
F
与所产生位移
s
的数量积．
要点一
直线法向量
< br>(
或方向向量
)
的应用
例
1
已知△
ABC
的三顶点
A
(
0
，－
4)
，
B
(4,0)
，
C
(
－
6,2)
，点
D
、
E
、
F
分别为边
BC
、
CA
、
AB
的中点．
(1)
求直线
DE<
/p>
、
EF
、
FD<
/p>
的方程；
(2)
求
AB
边上的高线
CH
所在的直线方程．
解
<
/p>
(1)
由已知得点
D
(
－
1,1)
，
< br>E
(
－
3
，－
1)
，
F
(2
，－
2)
．设点
M
(
x
，
y
)
是直线
DE
< br>上任一点，
→
→
→
→
则
DM
∥
DE
，
DM
＝
(
x
＋
1
，
y
－
1)
，
DE
＝
(
－
2
，－
2)
，∴
(
－
2)
×
(
x
＋
1)
－
(
－
2)(
y
－
1)
＝<
/p>
0
，即
x
－
y
＋
2
＝
0
为直线
DE
的方程．
同理可求，直线
EF
、
FD
的方程分别为
x
＋
5
y
＋
8
＝
0
，
x
＋
y
＝
0.
→
→
→
→
→
→
(
2)
设点
N
(
x
，
y
)
是<
/p>
CH
所在的直线上任一点，则
CN
⊥
AB
，
CN
·
AB
＝
0
，
CN
＝
(
x
＋
6
，
y
－
2)
，
< br>AB
＝
(4,4)
，∴4
(
x
＋
6)
＋
4(
y
－
2)
＝
0
，即
x
＋
y
＋
4
＝
0
为所求直线
CH
所在的直线方程．
规律方法
对于解析几何中的有关直线
平行与垂直问题，常常可以转而考虑与直线相关的向
量的共线与垂直，这样一来将形的问
题转化为相关数的问题，从而容易将问题解决．
跟踪演练
1
求点
P
0
(
－
1,2)
到直线
l
：
< br>2
x
＋
y
－
10
＝
0
的距离．
解
方法一
取直线
l
的一个法向量为
n
＝
(2,1)
，
→
在直线
l
上任取一点
P
(5,0)
，∴
PP
< br>0
＝
(
－
6,2)
，
→
∴点到直线
l
的距离
d
就是
PP
0
在法向量
n
上的射影．
→
设
PP
0
与<
/p>
n
的夹角为
θ
.
→
|
PP<
/p>
0
·
n
|
∴
d
＝
|
PP
0
||cos
θ<
/p>
|
＝
|
PP
0
|·
→
|
PP
0
|·|
n
|
→
→
→
|
PP
0
·
n|
?
－
12
＋
2
?
＝
＝
?
?
＝
2
5.
|n
|
5
?
?
故点
P
0
到
直线
l
的距离为
2
5.
方法二
由点到直线的距离公式得
d
＝
|
Ax
0
＋
By
0
＋
C
|
|2×
－
1
＋1×2－
10|
＝
A
2
＋
B
2
5
＝
2
5.
要点二
向量在平面几何中的应用
例
2
如图，已知
Rt△
OAB
中，∠
AOB
＝90°，
OA
＝
3
，
OB
＝
2<
/p>
，
M
在
OB
上，且
OM
＝
1<
/p>
，
N
在
OA
上，且
ON
＝
1<
/p>
，
P
为
AM
与
BN
的交点，求∠
MPN
.
→
→
→
→
→
1
→
1
解
设
OA
＝
a
，
OB
＝
b
，且
AM
，
BN
的夹角为
θ
，则<
/p>
OM
＝
b
，
ON
＝
a
，
2
3
→
→
→
1
→
→
→
1
又∵
< br>AM
＝
OM
－
< br>OA
＝
b
－
a
，
BN
＝
ON
－
OB
＝
a
－
b
，
2
3
→
→
?
1
?
?
1
?
∴
AM
·
BN
＝
?
b
－
a
?
< br>·
?
a
－
b
?
＝－
5
，
?
2
?<
/p>
?
3
?
→
→
|
AM
|
＝
10
，
|
BN
|
＝
5
，
∴cos
θ
＝
2
＝－
，
2
5
< br>·
10
－
5
3π
又∵
θ
∈[0，π]，∴
θ
＝
，
4
→
→
又∵∠
MPN
即为向量
AM
，
BN
的夹角，
3π
∴∠
MPN
＝
< br>.
4
→
→
规律方法
(1)
本题可以选择
OA
，
OB
作为基向量，
这是两个互相垂直的向量，
选
用这组特殊的
基向量可以简化运算．
(2)
本题也可以建立平面直角坐标系进行求解．
把平面几何中
求角的问题转化为向量的夹角问
题是平面向量的工具性体现之一，转化时一定要注意向量
的方向．
跟踪演练
2
已知△
ABC
中，∠
BAC
＝60°，
AB
＝
4
，
AC
＝
3
，求
BC
的长．
< br>
解
以
A
为原点建立如图所示平面直角坐标系，
则
< br>A
(0,0)
，
B
(4cos
60°，
4sin
< br>60°
)
，
C
< br>(3,0)
，
→
→
∴
AC
＝
(3,0)
，
AB
＝
(2
，
2
3)
，
→
→
→
∵
BC
＝
AC
－
AB
＝
(1
，－
2
3)
，
→
< br>∴|
BC
|
＝
< br>1
＋
(
－
2
3
)
＝
1
3.
2
要点三
利用向量解决物理中的问题
例
3
在风速为
75(
6
－
2)
km/h
的西风中，飞机以
150 km/h
< br>的航速向西北方向飞行，求
没有风时飞机的航速和航向．
解
设向量
a
表示风速，
b
表示无风时飞机的航行速
度，
c
表示有风时飞机的航行速度，则
c
＝
a
＋
b<
/p>
.
→
→
→
如图，作向量
OA
＝
a
，
OB
＝
b
，
OC
＝<
/p>
c
，则四边形
OACB
< br>为平行四边形．
过
C
、
B
分别作
OA
的垂线，交
AO
的
延长线于
D
、
E
点．
→
→
由已知，
|
OA
|
＝
75(
6
－
2)
，
|
OC
|
＝
150
，∠
< br>COD
＝45°.
在
Rt△
COD
中，
OD
＝
OC
cos
45°＝
75
2
，
< br>CD
＝
75
2.
又
ED
＝
< br>BC
＝
OA
＝
< br>75(
6
－
2)
，
∴
OE
< br>＝
OD
＋
ED
< br>＝
75
6.
又
< br>BE
＝
CD
＝
< br>75
2.
在
< br>Rt△
OEB
中，
OB
＝
OE
＋
BE
＝
150
2
，
2
2
BE
1
→
sin∠
BOE
＝
＝
，∴|
OB<
/p>
|
＝
150
2<
/p>
，∠
BOE
＝30°.
< br>
OB
2
故没有风时飞机的航速
为
150
2
km/h
，航向为西偏北
30°.
规律方法
用向量的有关知识研究物理
中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下：
(1)
认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；
(2)
通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；
(3)
利用向量知识解决这个向量问题，并获得
这个向量问题的解；
(4)
利用这个
结果，对原物理现象作出解释．
跟踪演练
3
如图，在细绳
O
处用水平力
F
2
缓慢拉起所受重力为
G
的物体，绳子与铅垂方
向
的夹角为
θ
，绳子所受到的拉力为<
/p>
F
1
.
(1)
求
|
F
1
|
，
|
F
2
|
随角
θ
的变化而变化的情况；
< br>
(2)
当
|
< br>F
1
|≤2|
G
|
时，求角
θ
的取值范围．<
/p>
解
(1)<
/p>
如图，
由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，
得
|
F
1
|
＝
当
θ
从
0°趋向于
90°时，
|
F
1
|
，
|
F
2
|
都逐渐变大．
|
G
|
(2)
由
(1)
，得
|
F
1
|
＝
，
cos
θ
1
由
|
F
1
< br>|≤2|
G
|
，得
cos
θ
≥
.
2
又因为
0°≤
θ
＜90°，所以
0°≤
θ
≤60°.
1
．
已知直线
l
1
：
3
x
＋
y
－
2
＝
0
与直线
l
2
：
mx
－
y
< br>＋
1
＝
0
的夹角为
45°，
则实数
m
的值为
________
．
1
答案
2
或－
2
解析
设直
线
l
1
，
l<
/p>
2
的法向量为
n
1
，
n
2
，<
/p>
|
G
|
，
|
F
2
|
＝
|
G
|tan
θ
.
cos
θ
则
n
1
＝
(3,1)
，
n
2
＝
(
m
，－
1)
．
|
n
1<
/p>
·
n
2
|
|3
m
－
1|
2
由题意
cos
4
5°＝
＝
＝
.
2
|
n
1
|·|
n
2
|
2
10
·
1
＋
m
1
2
整理得
2
m
－
3
m
－
2
＝
0
，解得
m
＝
2
或
m
＝－
.
2
2
．已知
A
(1,2)
，
B
(
－
< br>2,1)
，以
AB
为直径的圆的
方程是
______________
．
答案
x
＋
y
＋
x
－<
/p>
3
y
＝
0
解析
设
P
(
x
，
y
)
为圆上任一点，则
<
/p>
→
2
2
AP
＝
(
x
－
1
，
y
－
2)
，
BP
＝
(
x
＋
2
< br>，
y
－
1)
，
→
→
由
AP
·
BP
＝
(
x
－
1)
(
x
＋
2)
＋
(
y
－
2)(
y
－
1)
＝<
/p>
0
，
化简得<
/p>
x
＋
y
＋
x
－
3
y
＝
0.
3
．正方形
OABC
的边长为
1
，点
D
、
E
分别为
AB
、
BC
的中点，试求
cos∠
DOE
的值．
解
以
OA
，
OC
所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：
2
2
→
→
OD
＝
?
1
，
?
，
OE
＝
?
，
1
?
，
< br>2
2
?
?
1
?
→
?
?
1
?
?
?
故
cos∠
DOE
＝
→
→
|<
/p>
OD
|·|
OE
|
OD
·
OE
→
→
1
1
1×
＋
×1
2
2<
/p>
4
＝
＝
.
5
5
5
×
2
2
4
即
cos∠
DOE
的值为
.
5
4
．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为
3 k
m/h
，方向正东，风
的方向为北偏西
30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为
3
km/h
，若要使该船由南向北沿
垂直于河岸的方向以
2
3
km/h
的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．
解
如图，设水的速度为
v
1
，
风的速度为
v
2
，
v
1
＋
v
2
＝
a
.
易求得
a
的方向是北偏东
30°，
a
的大小是
3
km/h.
设船的实际航行速度为
v
.
方向由南向北，大小为
2
3
km/h
，