-
。
关于行程问题
一、为什么小学生行程问题普遍学不好？
1
、
行程问题的题型多，综合变化多。
行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及多个物体的运动。涉及<
/p>
两个物体运动的，
又有
“相向运动”
（相遇问题）
、
“同向运动”
（追及问题）
和
“相背运动”
（相
离问题）三种情况。行程问题每一类型题的考察重点都不一样，往往将多种题型综
合起来考
察。比如遇到相遇问题关键要抓住速度和，追击问题则要抓住速度差，流水行船
中的相遇追
及问题要注意跟水速无关等等。
2
、
行程问题要求学生对动态过程进行演绎和推理。
奥数中静态的知识学生很容易学会。打个比方，比如数
线段问题，学生掌握了方法，依
葫芦画瓢就行。一般情况，静态的奥数知识，学生只要理
解了，就能容易做出来。行程问题
难就难在过程分析是动态的，甲乙两个人从开始就在运
动，整个过程来回跑。学生对文字题
描述的过程很难还原成对应的数学模型，不画图，习
惯性的在脑海里分析运动过程。还有的
学生会用手指，用橡皮模拟，转来转去往往把自己
都兜晕了还是没有搞明白这个过程，更别
说找出解题所需要的数量关系了。
二、
行程问题“九大题
型”与“五大方法”
很多学
生对行程问题的题型不太清楚，对行程问题的常用解法也不了解，那么我给大家
归纳一下
。
1
、九大题型：
⑴简单相遇追及问题；⑵多人相遇追及问题；⑶多次相遇追及问题；⑷变速变道问题；
⑸火车过桥问题；⑹流水行船问题；⑺发车问题；⑻接送问题；⑼时钟问题。
2
、五大方法：
⑴
公式法：
< br>包括
行程基本公式
、
相遇公式<
/p>
、
追及公式
、
流
水行程公式
、
火车过桥公式
，
这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种
变形形式，
而且有时条件不是直接给出的，
这
就需要对公式非常熟悉，
可以推知需要的条件。
⑵
图示法
：在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具。示意
图包括
线段图、折线图，还包括列表。图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、
追
及的地点。另外在
多次相遇
、
追及问题
中，画图分析往往也是最有效的解题方法。
ps
：画图的习惯一定要培养起来，图形是最有利于我
们分析运动过程的，可以说图画对
了，意味着题也差不过做对了
30%
！
< br>⑶
比例法：
行程问题中有很多比例关系，
在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体
数值
。更
重要的是，在一些较复杂的题目中，
有些条件
(
如路程、速度、时间等
)
往往是不确
< br>定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题
。
ps
：运用比例知识解决复杂的行程问题经常考，而且
要考都不简单。
⑷
分段法：
在
非匀速
即分
段变速的行程问题中，公式不能直接适用。这时通常把不匀速
的运动分为匀速的几段，在
每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。
⑸
方程法：
在关系复杂、条件分散的题
目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件
关系最多的未知量为未知数，抓住重要的
等量关系
列方程常常可以顺利求解。
ps
：方程法尤其适用于在重要的考试中，可以节省很多时间。
⑹
假设法：
< br>在速度发生变化、或提前（晚）出发等数值发生变化的的行程问题中，假设
速度没
变或时间统一，往往非常起到意想不到的效果，极其有利于解决行程问题。
。
1
。
三、怎样才能学好行程问题？
因为行程的复杂，
所以很多学生已开始就会有畏难心理。
所以学习行程一定要循序渐进，
不要贪多，力争学一个知识点就要能吃
透它。学习奥数有四种境界：
第一种：课堂理解。就是说能够听懂老师讲解的题目。
第二种：能够解题。就是说学生听懂了还能做出作业。
第三种：能够讲题。就是不仅自己会做，还要能够讲给家长听。
第四种：
能够编题。
就是自己领悟这个
知识了，
自己能够根据例题出题目，
并且解出来。
其实大部分学生学习奥数都只停留在第一种境界
（有的甚至还达不到）
，能够达到第三种
境界的学生考取重点中
学实验班基本上没有什么问题了。而要想在行程上一点问题没有，则
要求学生达到第四种
境界。即系统学习，还要能深刻理解，刻苦钻研。而这四种境界则是学
习行程的四个阶段
，或者说是好的方法。
<
/p>
建议一：不论是什么问题，在学习之前有必要对于要学的东西有个纵向的了解，要系统
地梳理一遍，这样有系统，有方向，学习的时候也不会迷茫。一般这个步骤需要家长和老师<
/p>
一起帮助孩子完成。这样把大的目标分为不同的小的目标，各个击破，孩子也会有信心。同
时发现问题时，也可以有针对性的进行解决。
建议二：需要强调一点，就是在学习过程中不能捡芝麻
丢西瓜，简言之就是要在每学一
个知识的时候，
都要对学过的知
识进行练习。
一定要要重视总结，
把行程问题进行分类比较，<
/p>
这样孩子对于行程问题的理解会上升一个新的高度。
建议三：在学习过程中，可以积累孩子的错题，以便日后观察孩子在此部分知识点学习
过程中的薄弱环节，这样我们以后的计划会更有针对性。在制定计划时慢慢的达到量身定做
的效果。
行程问题的典型例题
行程问题中最基本的公式就是
路程<
/p>
=
速度×时间
，任何行程问题，不管是多
么“波澜起
伏或者是一波三折”
，他的本质都是研究路程、速度
、时间三者的关系，在此基础上衍生出其
他问题，在每一个方面或几个方面发生了细微的
改变。
类型一：相遇问题
相遇问题强调的是
一个
“
和
”
的
思想，
两人在时间统一的前提下，
路程和
=
速度和×时间
。
当然他的使用，不仅仅局限于相遇这个现象，只要这个题目知
道了“和”
，我就可以利用这
个公式进行求解。
【例
1
】
AB
两地
900
米，甲乙两人在
A
处同时向
B
点出发，甲的速度
60
米
/
分，乙的速度
40
米
/
分，甲到达
B
地后立即返回，返回途中与乙相遇，甲乙两人多长时间相遇？
解：路程和
=900
×
2=1800
（米）
速度和
=60+40=100
（米
/
分）<
/p>
相遇时间
=1800
< br>÷
100=18
（分钟）
。
2
。
上面讲的是比较基本的相遇，到了
高年级，可能等多的会涉及到多次或者是多人
相遇。下面来说说
多次相遇
。
方法一：运用倍比关系解多次相遇问题
1.
两地相向出发
：
第
1
次相遇，共走
1
个全程；
第
2
次相遇，共走
3
个全程；
第
3
次相遇，共走
5
个全程；
…………，
………………；
第
< br>N
次相遇，共走
2N-1
个全程
；
注意：除了第
< br>1
次，剩下的次与次之间都是
2
个全程。即甲第
1
次如果走了
N
米，以后每次
都走
2N
米。
2.
同地同向出发
：
第
1
次相遇，共走
2
个全程；
第
2
次相遇，共走
4
个全程；
第
3
次相遇，共走
6
个全程；
…………，
………………；
第
< br>N
次相遇，共走
2N
个全程；<
/p>
3
、
多人多次相遇追
及的解题关键
多次相遇追及的解题关键
几个全程
【例
2
】
甲、乙两车分别同时从
A
、
B
两地相对开出，第一次在离
A
< br>地
95
千米处相遇．相遇
后继续
前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离
B
地
25
千米处相遇．求
A
、
B
两地间的距
离是多少千米？
【解析】
画线段示意图
(
实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线
)
：
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个
A
、
B
两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三
个
A
、
B
< br>两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个
A
、
B
两地间的距离时，甲车行了
95
千米，
当它们共行三个
A
、<
/p>
B
两地间的距离时，甲车就行了
3
个
95
千米，即
95
×
3=285
（千米），而
这
285
千米比一个
A<
/p>
、
B
两地间的距离多
25
千米，可得：
95
×
3-25=285-25=260(
千米
)
．
。
3
。
【例
3<
/p>
】小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，
两人第一次在距甲地
3
千米处相遇，第二次
在距甲地
6
千米处相遇
(
只算迎面相遇
)
，则甲、
乙
两地的距离为
千米．
【解析】第一次相遇走了
1
个
3
千米，第二次相遇走了
3
个
3
千米即
3
×
3=9
（千米）
9+6=15
（千米）
—
—
两个全程
15
÷
2=7.5
（千米）
继续上面多次相遇问题，
解多次相遇
问题的工具
——
柳卡
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间
-
距离图，再画上密密麻麻的交叉线，
按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够
清晰的体现运动过程中
“
相遇的次数
”
，
“
相遇的地点
”
，以及
“
由相遇的地点求出全程<
/p>
”
，使用折线示意图法一般需要我们知道每
个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
【例
4
】
<
/p>
甲、乙两人在一条
90
米的直路上来回跑
步，甲的速度
3
米
/
< br>秒，乙的速度
2
米
/
秒。
如果他们同时分别从直路的两端
A
、
B
两点出发，当他们跑
12
分钟，共相遇了多少次？（从
出发后两人同时到达某一点算
作一次相遇）。
【分析】
多次相遇，如图所示，甲用实线表示，乙用虚线表示。
在
180
秒内，甲、乙共相遇
5
次，最后又回到
出发的状态。
所以甲、乙共相遇了
[
12
÷
（
180
÷
60
）
×
=20
（次）
。
4
。
【例
5<
/p>
】甲、乙两人在一条长为
30
米的直路上
来回跑步，甲的速度是每秒
1
米，乙的速度是
< br>每秒
0.6
米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当
他们跑了
10
分钟后，共相遇几次？
【解析】
采用运行图来解决本题相当精彩！
首
先，甲跑一个全程需要
30
÷
1=30
（秒），乙跑一个全程需要
30
÷
0.6=50
（秒）．与上题类
似，画运行
图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：
从图中可以看出，当甲跑
5
个全程时，乙刚好跑
3
个全程，各自到了不同两端又重新开始，
这正好是一周期
150
秒．在这一周期内两人相遇了
5
次，所以两人跑
10
分钟，正好是四个周
期，也就相遇
5
×
4=20
（次）
< br>备注：一个周期内共有
5
次相遇，其中第
1
，
2
，
4
，
5
次是迎面相遇，而第
3
次是追及相遇．
有些多次相遇的题目可以根据速度比
m:n,
< br>设路程为
m+n
份。举个例子。
【例
6
】甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发，并
在
A
、
B
两地
间不断往返行驶。已知甲车速
度是
15
千米
/
时，乙车速度是
25
千米
/
时，甲乙两车第一次相遇地点与第二次相遇
地点之间
相差
100
千米。
A
、
B
两地相距多少千米
？（从出发后两人同时到达某一点算作一次相遇）。
【分析】
甲车速度是
15
千米
< br>/
时，
乙车速度是
25
千米
/
时，
甲、
乙两车的速度之比为
15:25=3:5
将
A
、
B
两地平
均分成
8
小格，甲每走
3
小格，乙就走
5
小格；
<
/p>
如图所示，
C1
、
C2
分别表示第
1
、
2
次相遇的地点；
其中第一次相遇地点与第二次相遇地点之间相差
4
小格；
每小格的长度为
100<
/p>
÷
4=25
千米；所以
< br>A
、
B
两地相距
25
×
8=200
千米。
。
5
。
说了
多次相遇，再来说说多人的相遇问题即
多人行程
。这类问题主要
涉及的人数
为
3
人，主要考察的问题就
是
求前两个人相遇或追及的时刻
，
第三
个人的位置
，
解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间
的关系。
【例
7
】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走
60
米，乙每分钟走
50
米，丙每分钟走
< br>40
米。甲
从
A
地，乙和丙从
B
出发相向而行，甲和乙相遇后，过了<
/p>
15
分钟又与丙相遇，求
A
、
B
两地
的距离。
【解析】
3
人相遇问
题。先画图分析
整个题目说了两个相遇过程。
第一次相遇：甲和乙相遇。两人一共走了一个全程。
因此全程
=
（甲的速度
+
乙的速度）
×
时间
< br>
发现相遇的时间不知道。
第
二次相遇：甲和丙的相遇。前提是
“
甲乙相遇后，再过
15
分钟
”
。发现走的
路程是
CD
。
因此
CD
的距离
=
< br>（甲的速度
+
丙的速度）
×
时间
=
（
60+40
）
×
15
=1500
（米）
但是我们的目标是
要求出甲乙相遇的时间，发现
CD
是在这段时间里乙、丙的路程
差。
因此时间
=
路程差
÷
速度差
=1500
÷
（
50-40
）<
/p>
=150
（分钟）
因此全程
=
（
60+50
）
×
150=110
×
150=16500
（米）
类型二：火车过桥
过桥问题
是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾
离桥。列车过桥的总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。过桥问题也
要用到一般行程问题的基本数量关系：
过桥问题的一般数量关系是：
过桥的路程
=
桥长
+
车长
车速
=
(
桥长
+
车长
)
÷
过桥时间
通过桥的时间
=(
桥长
+
车长
< br>)
÷
车速
桥长
=
车速
×
过桥时间
—
车长
车长
=
车速
×
过桥时间
—
桥长
后三个都是根据第二个关系式逆推出的。
火车通过隧道的问题和过桥问题的
道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。
火车在行驶
中，经常发生过桥与通过隧道，两车对开错车与快车超越慢车等情况．
火车过桥是指
“
全车通过
”
，即从车头上桥直到
车尾离桥才算
“
过桥
”
．如下图：
。
6