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对数
目录
对数的概念
对数的性质及推导
函数图象
其他性质
141
以内自然对数表
100
以内的对数表
历史
对数表的造法
对数的概念
对数的性质及推导
函数图象
其他性质
141
以内自然对数表
100
以内的对数表
历史
对数表的造法
展开
对数的概念
如果
a
的<
/p>
n
次方等于
b
（
a
大于
0
，且
a
不等于
1
）
，那么数
n
叫做以
a
< br>为底
b
的对数，记做
n=log
a
的
b
次方，也可以说
log
（
a
）
b
=
n
。其中，
a
叫做“
底数
”，
b
叫做“
真数
”，
n
叫做“
以
a
为底
b
的对数
”。
相应
地，函数
y=
log
a
X
叫做
对数函数
。对数函数的
定义域是（
0
，
+
∞
)
。
零和
负数
没有对数。底数
a
为常数，其取
值范围是
(0
，1)∪(1，
+
∞
)
。一
般默认当<
/p>
a=10
时，写作：
lgb=n
。
对数的性质及推导
定义
<
/p>
若
a^n=b(a>0
且
a≠1)
则
n=log(a)(b)
基本性质
如果
a>0,
且
a≠1，
M>0,N>0,
那么：
1
、
a^log(a)(b)=b
2
、
log(a)(a)=1
3
、
log(a)(MN)=log(a)
(M)+log(a)(N);
4
、log(a)(M÷N
)=log(a)(M)
-log(a)(N);
第
5
条的公
式写法
5
、
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6
、
log(a)[M^
< br>（
1/n
）
]=log(a)(
M)/n
（注：下文
^
均为上标符号，例：
a^1
< br>即为
a
）
推导
1
、因为
n=log(a)(b)
，代入则
a^
n=b
，即
a^(log(a)(b))=b
< br>。
2
、因为
a^b=a^b
令
t=a^b
所以
a^b=t
，
b=log(a)(t)=log(a)
(a^b)
令
b=1
，则
1=log(a)(a)
3
、MN=M×N
由基本性质
1(
换掉
M
和
N)
a^[log(a)(MN)] =
a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] +
[log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同
,
采用方法依实际情况而定
又因为
指数函数
是单调函数，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
4
、与（
3
）类似处
理
M/N=M÷N
由基本性质
1(
换掉
M<
/p>
和
N)
a^[log(a)(M÷N)] =
a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)]
- [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M)
-
log(a)(N)
5
、与（
3<
/p>
）类似处理
M^n=M^n
由基本性质
1(
换掉
M)
a^[log(a)(M^n)] =
{a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)]
= a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质
4
推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下：
由
换底公式
（换底公式见下面）
[lnx
是
log
(e)(x)
，
e
称作
自然对数
的
底
]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导：
设
e^x=b^m,e^y=a^n
则
log
(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)
=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质
4
可得
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] =
(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b
^m)=m÷
n×[log(a)(b)]
-------------------------
-------------------
（性质及推导
完）
函数图象
1.
对数函数的图象都过
(1,0)<
/p>
点
.
<
/p>
2.
对于
y=log(a)(n)
函数
,
①,当
随着
<
br>(1.0)
0
时
,
图象上函数显示为(0,+∞)单减
.
a
的增大
,
图象逐
渐以
(1,0)
点为轴
顺时针转动
,
但不超过
X=1.
②当
a>
1
时
,
图象上显示函数为(0,+∞)
单增
,
随着
a
的减小
,
图象逐渐
以
点为轴逆时针转动
,
但不超过
X=1.
3.
与其他函数与反函数之间图象关系相同
,
对数函数和指数函数的图
象关于直线
y=x
对称
.
其他性质
性质一：换底公式
log(a)(N)=log(b){N}/log(b){a}
推导如下：
N =
a^[log(a){N}]
a = b^[log(b){a}]
综合两式可得
N =
{b^[log(b){a}]}^[log(a){N}] =
b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]}
又因为
N=b^[log(b){N}]
所以
b^[log(b){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]}
所以
log(b){N} = [log(a){N}]*[log(b){a}]......
[
这步不明白或
有疑问看上面的
]
所以
log(a){N}=log(b){N} /
log(b){a}
公式二：
log(a){b}=1/log(b){a}
证明如下：
由换底公式
log(a){b}=log(b){b}/log(b){a} ----
取以
b
为底的对数
log(a){b}=1 =1/log(b){a}
还可变形得
:
log
(a){b}×log(b){a}=1
在实用上，常采用以
10
为底的对数，并将对数记号简写为
lgb,
称为
常
用对数
，它
适用于求十进制整数或小数的对数。例如
lg10=1,
lg100=lg10^2=2, lg4000=lg
（10
^3×4）
=3+lg4,
可见只要对某一范围的数
编制出
对数表
，便可利用来计算其他十进制数的对
数的近似值。在数学理
论上一般都用以
无理数
< br>e
=2.7182818??为底的对数，并将记号
l
oge
。简
写为
ln
< br>，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以
显出了它比其他
对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多
种不同精确度的常用对数表和自
然对数表。但随着电子技术的发展，这些
数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。
141
以内自然对数表
1
2
3
4
5
6
7
8
ln
0
0.693147
1.098612
1.386294
1.609438
1.79176
1.94591
2.079442
48
49
50
51
52
53
54
55
ln
3.871201
3.89182
3.912023
3.931826
3.951244
3.970292
3.988984
4.007333
95
96
97
98
99
100
101
102
ln
4.553877
4.564348
4.574711
4.584968
4.59512
4.60517
4.61512
4.624973
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
2.197225
2.302585
2.397895
2.484907
2.564949
2.639057
2.70805
2.772589
2.833213
2.890372
2.944439
2.995732
3.044523
3.091043
3.135494
3.178054
3.218876
3.258097
3.295837
3.332205
3.367296
3.401197
3.433987
3.465736
3.496508
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
4.025352
4.043051
4.060443
4.077538
4.094345
4.110874
4.127134
4.143135
4.158883
4.174388
4.189655
4.204693
4.219508
4.234107
4.248495
4.26268
4.276666
4.29046
4.304065
4.317488
4.330733
4.343805
4.356709
4.369448
4.382027
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
4.634729
4.644391
4.65396
4.663439
4.672829
4.682131
4.691348
4.700481
4.70953
4.718499
4.727388
4.736198
4.744932
4.75359
4.762174
4.770685
4.779123
4.787492
4.795791
4.804021
4.812184
4.820282
4.828314
4.836282
4.844187
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