-
u
1
2018
高考数学（理科）知识点总结
1.
对于集合，
一定要抓住集合
的代表元素，
及元素的
“确定性、
互异
性、
无序性”
。
如：集合
< br>A
?
?
x
|
y
?
lg
x
?
，
B
?<
/p>
?
y
|
y
?
lg
x
?
，
C
?
?
(
x
,
y
< br>)|
y
?
lg
< br>x
?
，
A
、
B
、
C
中
O
1
2
x
元素各表示什么？
2.
进行集合的交、并、补运算
时，不要忘记集合本身和空集
?
的特殊情况。
< br>
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
<
/p>
如：集合
A
?
x
|
x
2
?
2
x
?
3
?
0
，
B
?
?
x
|
< br>ax
?
1
?
?
?
< br>若
B
?
A
，则实数
a
的值构成的集合为
1
?
（答：
?
?
?
1
，<
/p>
0
，
?
）
3.
注意下列性质：
（
1
）集合
a
1
，
a
2
，……，
a
n
的所有子集的个数是
2
n
；
（
< br>3
）德摩根定律：
C<
/p>
U
?
A
?
B
?
?
U
?
?
?
3
?
?
C
A
?
?
?
C
B
?
，
C<
/p>
?
A
?
B
?
?
?
C
A
?
?
?
C
B
?
U
U
U
U
4.
你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
（
∵
3
?
M
，<
/p>
∴
的取值范围。
a
·
3
?
5
?
0
3
2
?
a
∵
5<
/p>
?
M
，
∴
a
·
5
?
5
?
0
5
2
?
a
?
5
?
?
a
?
?
1
，<
/p>
?
?
?
9
，
25
?
）
?
3
?
5.
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”
(
?
)
，“且”<
/p>
(
?
)
和
“非”
(
?
).
若
p<
/p>
?
q
为真，当且仅当
p
、
q
均为真
若
p
?
< br>q
为真，当且仅当
p
、
q
至少有一个为真
若
?
p
为真，
当且仅当
p
为假
6.
命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。
）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7.
对映射的概念了解吗？映射
f
：
A
→
B<
/p>
，是否注意到
A
中元素的任意性和
B
中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能
构
成映射？
（一对一，多对一，允许
B
中有元素无原象。
）
8.
函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9.
求函数的定义域有哪些常见类型？
10.
如何求复合函数的定义域？
如
：函数
f
(
x
)
的定义域是
?
a
，
b
?
，
b
?
?
a
?<
/p>
0
，则函数
F(x
)
?
f
(
x
)
?
f
(
?
x
)
的定
义域
是
_
。
（答：
?
a<
/p>
，
?
a
?
）
11.
求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
12.
反函数的性质有哪些？
互为反函数的图象关于直线
y
＝
x
对称；
13.
如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
（
y
?
f
(
u
)
，
u
?
?
(
x
)
，则
y
?
f
?
?
(
x
)
?
（外层）
（内层）
∴……）
2
15.
如何利用导数判断函数的单调性？
在区间
?
a
，
b
?
内，若总有
f
'(
x
)
?
0
则
f
(<
/p>
x
)
为增函数。（在个别点上导数等于<
/p>
零，不影响函数的单调性），反之也对，若
f
'(
x
)
?
0
呢？
如：已知
a
?
0
，函数
f
(
x
)
?
x
3<
/p>
?
ax
在
?
1
，
?
?
?
上是单调增函数，则
a
的最大
值是（
）
A. 0
3
由已知
f
(
x
)
< br>在
[
1
，
?
?
)
上为增函数，则
B. 1
C. 2
D.
a
?
1
，即
a
?
3
∴
a
的最大
值为
3
）
3
16.
函数
< br>f
(
x
)
具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（
f(x)
定义域关于原点对称）
若
f
(
?
x
)
?<
/p>
?
f
(
x
)
总成立
?
f
(
x
)
为奇函数
?
函数图象关于原点对称
若
f
(
?
x
)
?<
/p>
f
(
x
)
总成立
?
f
(
x
)
为偶函数
?
函数图象关于
y
轴对称
注意如下结论：
（
1
）在公共定义域内：两个奇函数的
乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数
与奇函数的乘积是奇函数。
17.
你熟悉周期函数的定义吗？
函数，
T
是一个周期。
）
如：
18.
你掌握常用的图象变换了吗？
f
(
x
)
与
f
(<
/p>
?
x
)
的图象关
于
y
轴
对称
f
(
x
)
与
?
f<
/p>
(
x
)
的图象关
于
x
轴
对称
f
(
x
)
与
?
f<
/p>
(
?
x
)
的图象关于
原点
对称
f
(
x
)
与
f
?<
/p>
1
(
x
)
的图象关于
直线
y
?
x
对称
f
(
x
)
与<
/p>
f
(
2
a
?
x
)
的图象关于<
/p>
直线
x
?
a
对称
f
(<
/p>
x
)
与
?
f
(
2
a
?
x
)
的图象关于
点
(
a
，
0
)
对称
b
(
b
?
< br>0
)
个单位
y
< br>?
f
(
x
?
a
)
?
b
a
(
a
?
0
)
个单位
y
?
f
(
x
?
a
)
?
上移
<
/p>
将
y
?
f
(
x
)
图象
?
左移
???????
?
?
???????
?
?
y
?
f
(
x
?
a
)
下移
b
(
b
?
0
)
个单位
y
?
f
(
x
?
a
)
?
b
右移
a
(
a
?
0
)
个单位
3
注意如下“翻折”变换：
19.
你熟练掌握常用函数的图象和
性质了吗？
（
1
）一次函数：
y
?
< br>kx
?
b
?
k
?
0
?
(k<0)
y
(k>0)
y=b
O’(a,b)
k
b
?
k
O
0
?
是中心
O
'(
a
，
b
x
（
2<
/p>
）反比例函数：
y
?
?
k
?
0
?
推广为
y
?
)
?
k
<
/p>
?
x
x
?
a
的双曲线。
x=a
2
2
y
y=log
2
x
O
1
x
b<
/p>
?
4
ac
?
b
2
?
（
3
）二次函数
y
?
ax
?
bx
?
c
?
a
?
0
?
?
a
?
x
?
?
< br>?
图象为抛物线
?
2
a
?
4
a
应用：①“三个二次”
（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次
方程
②求闭区间［
m
，
n
］上的最值。
③求区间
定（动）
，对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
?<
/p>
?
?
0
?
b
如：二次方程
ax
2
?
bx
?
c
?
0
的两根都大于
k
?
?
< br>?
k
?
?
?
2
a
?
?
f
(
k
)
?
0
又如：若
f(a+x)= -f(a-x),
f(b+x)= f(b-x)
，
则，
f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]
(
恒等变形）
= -f[a-(x+a-2b)] [f(a+x)=-f(a-x)]
=
-
f(-x+2b)
(
恒等变形）
= -f[b+(-x+b)]
(
恒等变形）
y
y=a
x
(a>1)
=-f[b-(-x+b)]
[ f(b+x)=f(b-x)]
<
br>? <
br>（ 1 ? <
br> <
br>? <
br>3 ?
(0
y=log
a
x(a>1)
=-f(x)
2a-2b
为半周期
1
O
1
x
由图象记性质！
（注意底数的限定！
）
(0
4
（
6
）“对勾函数”
y
?
x
?
k
k
?
0
?
x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
20.
你在基本运算上常出现错误吗？
log
a
y
?
k
O
k
x
M
?
log
a
M
?
log
a
N
，
log
a
N
n
M
?
1
lo
g
a
M
n
21.
如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
2
）
x
?
R
，
f
(
x
)
满足
f<
/p>
(
xy
)
?
f
(
x
)
?
f
(
y
)
，证明
f
(
x
)
是偶函数。
22.
掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法）
，反函数法，换元法，均值定理法，判
别式法，利用函数单调性法，导数法等。
）
如求下列函数的最值：
R
23.
你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为
α
，半径为
R
的弧长公式
和扇形面积公式
1
弧度
吗？
O
R
24.
熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
?
?
又如：求函数
y
?
?
2
cos
?
?
x
?
的定义域和值域。
?
2
?
?
?
（∵
1
?
2
cos
?
?
?
x
?
）
1
?
2
sin
x
?
0
?
2
?
y
T
B
S
P
α
O
M
A
x
5
∴
sin
x
?
2
，如图：
2
25.
你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并
由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？
?
?
?
?
y
?
sin
x
的增区间为
?
2
k
?
?
，
2
k
?
?
?
?
k
?
Z
?
2
2
?
?
?
?
?
?
减区间为
?
2
k
?
，
2
k
?
?
?
?<
/p>
k
?
Z
?
2
2
?
?
图象的对称点为
?
k
?
，
0
?
，对称轴为
x
?
k
?
?
y
y
?
tgx
x
?
?
O
?
?
2
2
?
?
k
?
Z
?
y
?
cos<
/p>
x
的增区间为
?
2
k
?
，
2<
/p>
k
?
?
?
?
?
k
?
Z
?
2
?
?
减区间为
?
2
k
?
?
?
，<
/p>
2
k
?
?
2
?
?
?
k
?
Z
?
图象的对称点为
?
?
k
?
?
，
0
?
，对称轴为
x
?
k
?
?
k
?
Z
?
?
?
2
?
?
?
，
< br>k
?
?
?
k
?
Z
?
2
2
?
26.
正弦型函数
y
=
Asin
?
?
x
+
?
?
< br>的图象和性质要熟记。
或
y
?<
/p>
A
cos
?
?<
/p>
x
?
?
?
y
?
tan
x
的增区间为
?
?
k
?
?
?
?
（
1
）振幅
|
A
|
，周期
T
?
2
?
若
f
?
x
0
?
?
?
A
，则
x
?
x
0
为对称轴。
|
?
|
若
f
?
x
0
?
?
0
，则
?
x
0
，
0
?
为对称点，反之也
对。
（
2
）五点作图：令
?
x
?
?
依次为
0
，
?
，
?
，
3
?
，
2
?
，求出
x
与
y
，依点
（
x
，
y
）作图象。
2
2
（
3
）根据图象求解析式。（求
A
、
?
、
?
值）
解条件组求
?
、
?
值
?
|
?
|
27.
在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某
角函数值，再判定角的范围。
?
正切型函数
y
?
< br>A
tan
?
?
< br>x
?
?
?
，
T
?
一
个
三
28.
在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
6
29.
熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
?
?
x
'
?
x
?
h
< br>a
?
(
h
，
k
)
平移公式：
（
1
）点
P
（
< br>x
，
y
）
?
????
?
?
P
'
（
x
'
，
y
'
），
则
?
平移至
?
y
'
?
y
?<
/p>
k
（
2
）曲线
f
(
x
，
y
)
?
0
沿向量
a
?
(
h
，
k
)
平移后的方程为
f
(
x
?
h
，
y
?
k
)
?
0
?
?
如：函数
y
?
2
sin
?
?
2
x
?
?
?
1
的图象经过怎样的变换才能得到
y
?<
/p>
sin
x
的
图象
？
?
4
?
?
30.
熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
“奇”
< br>、
“偶”指
k
取奇、偶数。
7
?
?
如：
cos
9
?
?
tan
?
?
?
?
?
si
n
?
21
?
?
?
?
6
?
4
A.
正值或负值
B.
负值
“
k
·
?
?
?
”化为
?
的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，
2
又如：函数
y
?
C.
非负值
D.
正值
sin
?
?
t
an
?
，则
y
的值为
cos
?
?
cot
?
31.
熟练掌握两角和、差、
倍、
降幂公式
及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
应用以上公式对三角函数式化简。
（化简要求：项数最少、函数种类最少，分
母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。
）
具体方法：
?
?
?
?
?
（
1
< br>）角的变换：如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，
?
< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
……
?
?
2
2
?
?
2
（
2
）名的变换：化弦或化切
（
3
）次数的变换：升、降幂公式
7
（
4
）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
sin
?
cos<
/p>
?
2
如
：已知
?
1
，
tan
?
?
?
?
?
?
?
，求
tan
?
?
?
2
?
?
的值。
1
?
cos
2
?
3
（由已知得：
sin
?
cos
?
cos
?
1
?
?
1
，∴
tan
?
?
2
2
sin
?
2
2
sin
?
2
1
?
tan
?
?
?
?
tan
?
?
?
3
2
?
1
）
∴
tan
?
?
?
2
?
?
?
tan
?
?
?
?
?<
/p>
?
?
?
?
?
?
1
?
tan
?
?
?
?
?
·
tan
?
1
?
2
·
1
8
3
2
32.
正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？
如何实现边、角转化，而解斜三角形？
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。<
/p>
）
?
a
?
2
R
sin
A
a
b
c
?
正弦定理：
?
?
?
2
R
?
?
b
?
2
R
sin
B
sin
A
si
n
B
sin
C
?
c
?
2
R<
/p>
sin
C
?
（
< br>1
）求角
C
；
< br>
（（
1
）由已知式得：
1
?
cos
?
A
?
B
?
?
2
co
s
2
C
?
1<
/p>
?
1
（
2
）由正弦定理及
a
2
?
b
2
?
1
2
c
得：
2
?
?
33.
用
反
三
角
函
数
表
示
角<
/p>
时
要
注
意
角
的
范
围
。
反正弦：
arcsin
x
?
?
?
< br>，
?
，
x
?
?
1
，
1
?
2
?
?
2
?
?<
/p>
?
?
反余弦：
a
rccosx
?
0
，
< br>?
，
x
?
?
1
，
1
反正切：
arctan
x
?
?
?
?
< br>，
?
，
?
x
?
R
?
?
2
2
?
?
?
?
?
?
?
34.
不等式的性质有哪些？
答案：
C
35.
利用均值不等式：
a
?
b
?
a
?<
/p>
b
?
2
ab
a
，
b
?
R
；
a
?
b
?
2
ab
；
ab
?
?
< br>?
?
求最值时，你是否注
?
2
?
意到“
a
，
b
?
R
?
”且“等号成立”时的条件，积
(
ab
)
或和
(
a
?
b
)
其中之一为定
值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
2
< br>2
?
?
?
2
8
如：若
x
?
0
，
2
?
3
x
?
当且仅当
3
x
?
36.
不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
当且仅当
a
?
b
时等号成立。
4
的最大值为
x
4
2
3
，
又
x
?
0
，∴
x
?
时，
y<
/p>
max
?
2
?<
/p>
4
3
）
x
3
（∵
2
x
?
2
2
y
?
2
2
x
?
2
y
?
2
2
1
，∴最小值为
2
2
）
?
1
?
1
?
1
1
1
1
1
1
?
?
?
…
…
?
?<
/p>
?
2
?
?
2
）
2
2
3
n
?
1
n
n
< br>37
.
解分式不等式
f
(
x
)
?
a
?
a
?
< br>0
?
的一般步骤是什么？
（移项通分，
g
(
x
)
分子分母因式分解，
x
的系数变为
1
，穿轴法解得结果。
）
38.
用“穿轴法
”解高次不等式——“奇穿，偶切”
，从最大根的右上方开始
39.
解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40.
对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。
）
1
?
例如：解不等式
|
x
?
3
|
?
x
?
1
?
1
（解集为
?
?
x
|
x
?
?
）
2
?
?
41<
/p>
.
会用不等式
|
a
|
?
|
b<
/p>
|
?
|
a
?
b
|
?
|
a
|
?
|
b
|
证明较简单的不等问题
如：设
f
(
x
)
?
x
2
?
x
?<
/p>
13
，实数
a
满
足
|
x
?
a<
/p>
|
?
1
证明：
?
|
(
x
?
a
)(
x
?
a
?
1
)
|
(
?
|
x
?
a
|
?
1
)
?
|
x
?
a<
/p>
||
x
?
a
?
1
|
?
|
x
?
a
?
1
|
?
< br>|
x
|
?
|
a
|
?
1
（按不等号方向放缩）
42.
不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）
如：
a
?
f
(
x
)
恒成立
?
a
?
f
(
x
)
的最小值
a
?
f
(
x
)
恒成立
?
a
?
f
(
x
)
的最大值
a
?
f
(
x
)
< br>能成立
?
a
?
< br>f
(
x
)
的最小值
例如：对于一切
实数
x
，若
x
?
3
?
x
?<
/p>
2
?
a
恒成立，
则
a
的取值范围是
（设
u
?
x
?
3
?
x
?
2
，它表
示数轴上到两定点
?
2
和
3
距离之和
43.
等差数列的定义与性质
定义：
a
n
?
1
?
a
n
?
d
(
d
为常数
)
，
a
n
?
a
1
?
?
n
< br>?
1
?
d
等差中项：
x
，
A
，
y
成等差数列
?
2
A
?
x
?
y
前
n
项和
S
n
?
2
性质：
?
a
n
?
是等差数列
?
a
1
?
a
n
< br>?
n
?
na
1
?
n
?
n
?
1
?
2<
/p>
d
（
2
）数列
?
a
2
n
?
1
?
，
?
a
2
n
?
，
?
ka
n
?
b
?
仍为等差数列；
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