-
高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理
一、集合、简易逻辑、函数
1
．
研究集
合必须注意集合元素的特征即三性
(
确定
,
互异
,
无序
);
已知集合
A={x,xy,lgxy},
集合
B={0,
｜
x
｜
,y},
且
A=B
,
则
x+y=
2
．
研究集
合
,
首先必须弄清代表元素
,
才能理解集合的意义。已知集合
M={y
｜
y=x
2
,x
∈
R},N={y
｜
y=x
2
+1,x
∈
R},
求
M
∩
N
；与集合
M={
（
x,y
）｜
y=x
2
,x
∈
R},N={(x,y)
｜<
/p>
y=x
2
+1,x
∈
R}
求
M
∩
N
的区别。
3
．
集合
A
、
B
，
A
?
B
?
?
时，
你是否注
意到
“极端”
情况：
A
?
?
或
B
?
?
；
求集合的子集
A
?
B
时是否忘记
?
.
例如：
?
a
?
2
?
x
2
?
2
?
a
?
2
?
x
?
1
?
0
对一切
x
?
R
恒成立，求
a
的取植范围，你讨论
了
a
＝
2
的情况了吗？
4
．
对于含
有
n
个元素的有限集合
M,
其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
2
n
，
2
n
?
1
，
2
n
?
1
，<
/p>
2
n
?
2
.
如满足条件
{<
/p>
1
}
?
M
?
{
1
,
2
,
3
,
4
}
的集合
M
共有多少个
5
．
解集合问题的基本工具是韦恩图
;
某
文艺小组共有
10
名成员
,
每人至少会唱歌和跳舞中的一项
,
其中
7
人会唱歌跳舞
5
人会<
/p>
,
现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞
节目
,
问有多
少种不同的选法？
6
．
两集合之间的关系。
M
?
{
x
x
< br>?
2
k
?
1,
k
?
Z
}
?
{
x
x<
/p>
?
4
k
?
1,
k
?
Z
}
7
．
(C<
/p>
U
A)
∩
(
C
U
B) = C
U
(A
∪
B) (C
U
A)
∪
(
C
U
B) = C
U
< br>(A
∩
B)
；
< br>A
?
B
?
B
?
B
?
A
；
8
、可以判断真假的语句叫做命题
.
逻辑连接词有“或”
、
“且”和“非”
.
p
、
q<
/p>
形式的复合命题的真值表
:
p
q
P
且
q
P
或
q
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
9
、
命题的四种形式及其相互关系
原命题
互
逆
逆命题
若
p
则
q
互
互
若
q
则
p
互
为
互
否
逆
逆
否
否
否
否
否命题
否
否
互
逆
逆否命题
若﹃ｐ则﹃
q
若﹃ｑ则﹃ｐ
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假
.
10
、
你对映射的概念了解了吗？映射
f
：
A
→
B
中，
A
中元素的任意
性和
B
中与它对应元素的唯一性，
哪几
种对应能够成映射？
11
、函数的几个重要性质：
①如果函数
y
?
f
?
x
?
对于一切
x
?
< br>R
，
都有
f
?
a
?
x
?
?
f
?
a<
/p>
?
x
?
或
f
（
2a-x
）
=f
（
x
）
，
那么函数
y
?
f
?
x
?
的图象关于直线
x
?
a
对称
.
②函数
y
?
f
?
x
?
与函数
y
?
f
?
?
x
?
的图象关于直线
x
?
0
对称；
函数
y
?
f
?
x
?
与函数
y
?
?
f
?
x
?
的图象关于直线
y
?
0
对称；
函数
y
?
f<
/p>
?
x
?
与函数<
/p>
y
?
?
f
?
?
x
?
的图象关于坐标原点对称
.
③若奇函数
y
?
f
?
x
?
在区间
?
0
,
??
?
上是递增函数，则
y
?
f
?
x
?<
/p>
在区间
?
?
?<
/p>
,
0
?
上也是递
增函数．
④若偶函数
y
?
f
?
x
?
在区间
?
0
,
??
?
上是递增函数，则
y
?
f<
/p>
?
x
?
在区间<
/p>
?
?
?
,
0
?
上是递减函数．
⑤函数
y
?
f
?
x
?
a
?
(
a<
/p>
?
0
)
的图象是
把函数
y
?
f
?
x
?
的图象沿
x
轴向左平移
a
个单位得到的；函数
y
?
f
?
x
?
a
?
(
(
a
?
0
)
的图象是把函数
y
?
f
?
x
?
的图象沿
x
轴向右平
移
a
个单位得到的；
函数
y
?
f
< br>?
x
?
+a
(
a
?
0
)
的图象是把函数
y
?
f
?
x
?
助图象沿
y
轴向上平移
a
个单位得到的
;
函数
y
?
f
?
x
?
+a
(
a
?
0
)
的图象是把函
数
y
?
f
?<
/p>
x
?
助图象沿
y
轴向下平移
a
个单位得到的
.
12
、求一个函数的解析式和一个函数的反函
数时，你标注了该函数的定义域了吗？
13
< br>、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数
y=
x
(
4
?
x
)
lg(
x
?
3
)
2
的定义域是
；
复合函数的定义域弄清了吗？函数
f
(
x
)
的定义域是
[0,1],
求
f
(log
0<
/p>
.
5
x
)
的定义域
.
函数
f
(
x
)
的定义
域是
[
a
,
b
],
b
?
?<
/p>
a
?
0
,
求函数
F
(
x
)
?
f
(
x
)
?
f
(
?
x
)
的定义域
14
、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数
y
=
a
sin
2
x
+2cos
x
-
a
-2(
a
∈
R
)
的最小值为
m
,
求
m
的
< br>表达
15
、函数与其反函数之
间的一个有用的结论：设函数
y=f(x)
的定义域为
A,
值域为
C,
则
①若
a
∈
A,
则
a=f
-1
[f(a)];
若
b
∈
C,
则
b=f[f
-1
(b)];
②若
< br>p
∈
C,
求
f
-1
(p)
就是令
p=f(x),
求
x.(x
∈
A)
即
f
?
1
?
a
?
?
b
?
f<
/p>
?
b
?
?
a
.
互为反函数的两个函数的图象关于直线<
/p>
y=x
对称
,
16
、
互为反函数的两个函数具有相同的单调性
;
原函数
y
?
f
?
x
?
在区间
?
?
a
,
a
?
上单调递增，
则一定存在反
函数，且反函数
y
?
f
?
1
?
x
?
也单调递增；但一个函数存在反
函数，此函数不一定单调．
17
、
判断
一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？
在
公共定义域内
:
两个奇函数的乘积是偶函数
;
两个偶函数的乘积是偶函
数
;
一个奇函数与一个偶函数的乘积
是
奇函数
;
18
、根据定义证明函数的
单调性时，规范格式是什么？
(
取值
,
作差
,
判正负
.)
可别忘了
导数也是判定函
数单调
性的一种重要方法。
19
、你知道函
数
y
?
x
?<
/p>
a
?
?
x
?
a
?
0
?
的单调区间吗？（该函数在
?
< br>?
?
,
?
a
?
和
?
a
,
??
?
上单
调递增；在
?
?
a
,
0
?
和
0
,
a
上单调递减）这可是一个应用广
泛的函数！
20
、解对数函数问题时
，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于
1
）
字母底数还需讨论呀
.
21
、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（
log
log
c
b
a
b
?
log
,
log
a
n
b
n
?
log
a
b
）
c
a
22
、你还记得对数恒等式吗？（
a
log
a
b
?
b
）
23
、“实系数一元二次方程
ax
2
?
bx
?
< br>c
?
0
有实数解”转化为“
?
?
b
2
?
4
ac
?
0
”
，你是否注意到必须
a
?
0
；当
a
=0
时，
“方程有解”不能转化为
?<
/p>
?
b
2
?
4
ac
?
0
．若原题中没有指出是“二次”方程、
函数或不等式，你是否考虑到二次
项系数可能为零的情形？
二、三角、不等式
24
、
三角
公式记住了吗？两角和与差的公式
________________
< br>；
二倍角公式
:_________________
万
能公式
____________
__
正切半角公式
____________________
；解题时本着“三看”的基本原则来进
行:“看角
,
看函数
,
看特征”
,
基本的技巧有
:
巧
变角
,
公式变形使用
,
化切割为弦
,
用倍角公式将高次降
次
,
25
、
在解
三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为
单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
26
、
在三
角中，你知道
1
等于什么吗？（
1
?
sin
2
x
?
cos
2
x
?
sec
2
x
?
tan
2
x
?
tan
x
?
cot
x
?
tan
?
4
?
sin
?
2
?
cos
0
?
?
?
这些统称为
1
的代换
)
常数
“1”的种种代换有着广泛
的应用．
（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱
导公试：
奇变偶不变，符号看象限
）
27
、
在三
角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．
（如
?
?
(
?
?
?
)
?
?
,
?
?
(
?
?
?
)
?<
/p>
?
,
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
2
?<
/p>
?
?
?
?
等）
28
、
你还
记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出
值的式子，一定要算出值来）
29
、
你还
记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角
. <
/p>
异角化
同角，异名化同名，高次化低次）
；你还记得降幂公式吗？
cos
2
x=
(1+cos2x)/2;sin
2
x=(1-cos2x)/
2
30
、
你还记得某些特殊角的三角函数值吗？
（
sin
15
?
?
cos
75
?
< br>?
6
?
2
6
?
2
4
,
sin
75
?
?
cos
15
?
?
4
,
sin
18
?
?
5
?
1
4
）
31
、
你还
记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？
(
l
?
?
r
,
< br>S
1
扇形
?
2
lr
)
32
、
<
/p>
辅助角公式：
a
sin
< br>x
?
b
cos
< br>x
?
a
2
?
b
2
sin
?
x
?
?
?
(
其中
?
角所
在的象限由
a,
b
的符号确定，<
/p>
?
角的值由
tan
?
?
b
a
确
定
)
在求最值、化简时起着重要作用
.
33
、
三角
函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最
值时的
x
值的集合吗？（别忘了
k<
/p>
?
Z
）
三角函数性质要记牢。函数
y=
A
sin(
?
?
x
?
?
)
?
k
的图象及性质：
振幅
|A|
，周期
T=
2
?
?
,
若
x=x
0
为此函数的对称轴
，则
x
0
是使
y
取到最值的点，反之亦然，使
y
取到
最
值的
x
的集合为—————————
—，
当
?
?
0
,
A
?
0
时函数的增区间为—————
，减区间为
—————；当
?
?
0
时要利用诱导公式将
?<
/p>
变为大于零后再用上面的结论。
五点作
图法：令
?
x
?
?
依次为
0
?
2
,
?
,
3
?
2
,
2
?
求出
x
与
y
，依点
?
x
,
y
?
作图
34
、三角函数图像变换还记得吗？
?
平
移
公
式
（
1
）
如
果
点
P
（
< br>x
，
y
）
按
向
量
a
?
?
h
,
k
?
平
移
至
P
′
（
x
′
，
y
′
）
，
则
?
?
'
?
x
?
x
?
h
,
?
?
y
'
?
y
?
k
.
?
（
2
）
曲线
f
（
x
，
y
）
=0
沿向
量
a
?
?
h<
/p>
,
k
?
平移后的
方程为
f
（
x-h
，
y-k
）
=0
35
、
有关斜三角形的几个结论：
(1)
正弦定理
: (2)
余弦定理
:
(3)
面积公式
36
、
在用
反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值
范围及意义？
①异面直线
所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是
?
?
?
?
?
?
0
,
2
?
?
,
[
0
,
2
],
[
0
,
?
]
.
②直线的倾斜角、
l
?
1
到
l
2
的角、
l
1
与
l
2
的夹角
的取值范围依次是
[
0
,
?
),
[
0
,
?
),
(
< br>0
,
2
]
．
③反正弦、反余弦、反
正切函数的取值范围分别是
[
?
?
?
?
2
,
?
2
],
[
0
,
?
],
(
?
2
,
< br>2
)
．
37
、
同向不等式能相减，相除吗？
38
、
不等
式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）
39
、
分式
不等式
f
?
x
?
g
?
x
?<
/p>
?
a
?
a
?
0
?
的一般解题思
路是什么？
（移项通分，
分子分母分解因式，
< br>x
的系数
变为正值，奇穿偶回
）
40
、
<
/p>
解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性
,
对数的真数大于零
.
）
41
、
含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？
(
一般是根
据定义分类讨论
)
42
、
利用
重要不等式
a
?
b
?
2
ab
以及变式
ab
?
?
< br>?
a
?
b
?
2
?
2
?
?
等求函数的最值时，
你是否注意到<
/p>
a
，
b
?
R
?
（或
a
，
b
非负）
，且“等
号成立”时的条件，积
ab
或和
a
＋
b
其中之一应是定值？
< br>(
一正二定三相等
)
43
、
a<
/p>
2
?
b
2
2
?
a
?
b
2
?
ab
?
2ab
a
?
b
,
(a
,
<
/p>
b
?
R
?
)
(
当且仅当
a
?
b
?
c
时，取等号）
；
a
、
b
、
c<
/p>
?
R
，
a
2
?
b
2
?
c
2
?
ab
?
bc
?
ca
（当且仅当
a
?
b
?
c
时，取等号）<
/p>
；
44
、
在解
含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底
0
?
a
?
1
或
a
?
1
）讨论
完
之后，
要写出：综上所述，原不等式的解集是…
…．
45
、
解含
参数的不等式的通法是“
定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．
”
46
、
对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）
三、数列
47
、
等<
/p>
差
数
列
中
的
重
要
性
质
：
（
1
）
若
m
?
n
?
p
?
q
，
则
a
m<
/p>
?
a
n
?
a
p
?
a
q
；
（
2
）
数列
{
a
< br>2
n
?
1
},
{a
2n
},
{ka
n
?
b
}
仍成等差数列
；
S
n
,
S
2n
?
S<
/p>
n
,
S
3n
?
S
2
n
仍成等差数列
<
/p>
（
3
）若三数成等差数列，则可设为
a-d
、
a
、
a+d
；若为四数则可设为
a-
3
d
、
a-
1
d
、
a+
1
d
、
a+
< br>3
2
2
2
2
d
；
（
4
）在等差数列中
,
< br>求
S
n
的最大
(
小
)
值
,
其思路是找出某一项
,
使这项及
它前面的项皆取正
(
负
)
值或
0,
而
它后面各项皆取
负
(
正
)
值<
/p>
,
则从第一项起到该项的各项的和为最大
(
小
).
即
:
当
a
1
>0,d<0,
解不等式组
a
n
≥0 a
n+1
≤0 可得
S
n
< br>达最大值时的
n
的值
;
当
a
1
<0,d>0,
解不等式组
a
n
≤0 a
n+1
≥0 可得
S
n
< br>达最
小值时的
n
的值
;
（
5
）
．若
a
n
,b
n
是等差数列
,S
n
,T
n
分别为
a
n
,b
n
的前
n
项和
,
则
a
m
b
?
S
2
m
?
1
。
.
（
6
）
.
m
T
< br>2
m
?
1
若
{
a
n
}
是等差数列，则
{
a
< br>a
n
}
是等比数列，若
{
a
n
}
是等比数列且
a
n
?
0
，则
{
log
a
a
n
}
是等差数列
.
48
、
等比
数列中的重要性质：
（
1
）
若
m
?
n
?
p
?
q
，
则
a
m
?
a
n
?
a<
/p>
p
?
a
q
；
（
2
）
S
k
，
S
2
k
?
S
k
，
S
3
k
?
S
2
k<
/p>
成等比数列
49
、
你是
否注意到在应用等比数列求前
n
项和时，需要分类讨论．
（
q
?
1
时，
S
n
?
na
1
；
q
?
1
时，
S
< br>a
1
(
1
?
q
n
)
n
?
1
?
q
）
50
、
等比
数列的一个求和公式：设等比数列
?
a
n
?
的前
n
项
和为
S
n
，公比为
q
,
则
S
m
?
n
?
S
m
?
q
m
S
n
．
51
、
等差数列的一个性质：设
S
n
是数列
?
a
n
?
的前
n
项和，
< br>?
a
n
?
为等差数列的充要条件是
S
2
n
?
an
?
bn
（
a,
b
为常数）其公差是
2a.
52
、
你知
道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若
c
n
?
a
n
b
n
，其中
?
a
n
?
是等差数列，
?
b
n
?
是等比数列，
求
?
c
n
?<
/p>
的前
n
项的和）
53
、
用<
/p>
a
n
?
S
n
?
S
n
?
1
求数列的通项公式时，你注意到
a
1
?
S
< br>1
了吗？
54
、
你还
记得裂项求和吗？（如
1
n
(
n
?
1
)
?
1
n
?
< br>1
n
?
1
.
）
四、排列组合、二项式定理
55
、
解排
列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
56
、
解排
列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先
法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时
候用隔板法？