-
高考数学全套知识点
1.
对
于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”
。
如：集合
A
?
?
x
|
y<
/p>
?
lg
x
?
，
B
?
?
y
|
y
?
lg
x
?
，
C
?
?
(
x
,
y
)|
y
?
lg
x
?
，
A
、
B<
/p>
、
C
中
元
素
各表示什么？
2.
进行集合的交、并、补运算时
，不要忘记集合本身和空集
?
的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合
A
?
x<
/p>
|
x
2
?
2
x
?
3
?
0
，
B
?
?
x
|
ax
?
1
?
若
B
?
A
，则实数
a
的值构成的集合为
1
?
（答：
?
?
?
1
，
0
，
?
）
?
3
?
?
?
3.
注意下列性质：
（
1
）集合
a
1
，
a
2
，……，<
/p>
a
n
的所有子集的个数是
2
n
；
（
3
）德摩根定律：
?
?
C
U
?
A
?
B
?
?
?
C
U
A
< br>?
?
?
C
U
B
?
，
C
U
?
A
?
B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
< br>B
?
4.
你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
的取值范围。
5.
可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”
(
?
)
，“且”
(
?
)
和
“非”
(
?
).
若
p
?
q
为真，当且仅当
p
、
q
均为真
若
p
?
q
为真，当且仅当
p
、
q
至少有一个为真
若
?
p
为真，当且仅当
p
为假
6.
命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。
）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7.
对
映射的概念了解吗？映射
f
：
A
→
B
，是否注意到
A
中元素的任意性和
B
中与之对
应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对
一，多对一，允许
B
中
有元素无原象<
/p>
）
8.
函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9.
求函数的定义域有哪些常见类型？
10.
如何求复合函数的定义域？
如：函数
f
(
x<
/p>
)
的定义域是
a
，
b
，
b
?<
/p>
?
a
?
0
，则函数
F(x
)
?
f
(
x
)
?
f
(
?
x
)
的定
义
域
是
_
。
（答：
?
a
，
?
a
?
）
11.
求一个函数的解析式或一个
函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
12.
反函数存在的条件是什么？
?
?
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反
解
x
；②互换
x
、
y
；③注明定义域）
如：求函数
f
(
x
)
?
?
?
?
1
?
x
2
?
?
?
x
?
x
?
< br>0
?
的反函数
?
x
?
0
?
?
x
?
1
?
x
?
1<
/p>
?
（答：
f
?
1
(
x
)
?
?
）
?
?
?
?
?
x
?
x
< br>?
0
?
13.
反函数的性质有哪些？
①互为
反函数的图象关于直线
y
＝
x
对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
14.
如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
∴……）
15.
如何利用导数判断函数的单调性？
在区间
?
a
，
b
?
内，若
总有
f
'(
x
)
?
0
则
f<
/p>
(
x
)
为增函数
。（在个别点上导数等于
零，不影响函数的单调性），反之也
对，若
f
'(
x
)
?
0
呢？
值是（
）
A. 0
B.
1
C. 2
D. 3
由已知
f
(
x
)
在
[
1
，
?
?
)
上为增函数，则
∴
a
的最大
值为
3
）
a
?
1
，即
a<
/p>
?
3
3
16.
函数
f
(
x<
/p>
)
具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（
f(x)
定义域关于原点对称）
若
f
(
?
x
)
?
?
f
(
x
)
总成立
?
f
(
x
)
为奇函数
?
函数图象关于原点对称
若
f
(
?
x
)
?
f
(
x
)
总成立
?
f
(
x
< br>)
为偶函数
?
函数图象关于
y
轴对称
注意如下结论：
（
1
）
在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；
两个偶函数的乘积是偶函数；
一
个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17.
你熟悉周期函数的定义吗？
函数，
T
是一个周期。
）
如：
18.
你掌握常用的图象变换了吗？
f
(
x
)
与
f
(
?
x
)
的图象关于
y
轴
对称
f
(
x
)
与
?
f
(
x
)
的图象关于
x
轴
对称
f
(
x
)
与
?
f
(
?
x
)
的图象关于
原点
对称
f
(
x
)
与
f
?
1
(
x
)
的图象关于
直线
y
?
x
对称
f
(
x
)
与
f
(
2
a
?
x
)
的图象关于
直线
x
?
a
对称
f
(
x
)
与
?
f
(
2
a
?
x
)
的图象关于
点
(
a
，
0
)
对称
a
(
a
?
0
)
个单位
y
?
f
(
x
?
a
)
将
y
?
f
(
x
)
图象
?
左移
???????
?
?
右
移
a
(
a
?<
/p>
0
)
个单位
y<
/p>
?
f
(
x
?
a
)
b
(
b
?
0
)
个单位
y
?
f
(
x
?
a
)
?
b
?
上移
???????
?
?
下移
b
(
b
?
0
)
个单位
y
?
f
(
x
?
a
)
?
b
注意如下“翻折”变换：
y
y=log
2
x
O
1
x
19.
你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
（
1
）一次
函数：
y
?
kx
?
b
?
k
?
0
?
（
2
）反比例函数：
y
?
k
?
k
?
0
?
推广为
y
?
b
?
k
?
k
?
0
?
是中心
O
'(
a
，
b
)
的双曲线。
x
x
?
a
b
?
4
ac
?
b
2
（
3
）二次
函数
y
?
ax
?
bx
?
c
?
a
?
0
?
?
a
?
图象为抛物
线
?
x
?<
/p>
?
?
?
2
a
?
4
a
2
2
应用：①“三个二次”
（二次函数、
二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［
m
，
n
］上的最值。
③求区间定（动）
，对称轴动（定）的最值问题。
< br>
④一元二次方程根的分布问题。
?<
/p>
?
?
0
?
b
2
如：二次方程
ax
?
bx
?
c
?
0
的两根都大于
k
?
?
?
< br>?
k
?
?
2
a
?
?
f
(
k
)
?
0
由图象记性质！
（注意底数的限定！
）
（
6
）“对
勾函数”
y
?
x
?
k
?
k
?
0
?
x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
20.
你在基本运算上常出现错误吗？
l
o
g
a
21.
如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
M
1
n
?
l
o
g
M
?
l
o
g
N
，
l
< br>o
g
M
?
l
o
g
a
a
a
a
M
N
n
（
2
）
x
?
R
，
f
(
x
)
满足
f
(
xy
)
< br>?
f
(
x
)
?
f
(
y
)
，证明
f
(
x
)
是偶函数。
22.
掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法）
，反函数法
，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调
性法，导数法等。
）
如求下列函数的最值：
23.
你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为
α
，半径为
R
的弧长公式和扇形面积公式
吗？
24.
熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
?
?
又如：
求函数
y
?
1
?
2
cos
?
?
?
x
?
的定
义域和值域。
?
2
< br>?
?
?
（∵<
/p>
1
?
2
cos<
/p>
?
?
?
x
?
）
?
1
?
2
sin
x
?
0
?
2
?
∴
sin
x
?
2
，如图：
2
25.
你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、
对称轴吗？
?
y
?
s
i
n
x
的增区间为
?
2
k
?
?
?
?
?
?
，
2
k
?
?
?
?
< br>k
?
Z
?
2
2
?
减区间为
?
2
k
?
?
?<
/p>
，
2
k
?
?
3
?
?
?
k
?
Z
?
?
2
2
?
?
?
图象的
对称点为
?
k
?
，
0
?
，对称轴为
< br>x
?
k
?
?
y
?
c
o
s
x
的增区间为
2
k
?
，
2
k
?
?
?
?
k
?
Z
?
减区间为
2
k
?<
/p>
?
?
，
2
k
?
?
2
?
?
k
?
Z
?
?
?
k
?
Z
?
2
?
?<
/p>
?
?
?
?
图象的对称点为
?
?
k<
/p>
?
?
，
0
?
，对称轴为
x
?<
/p>
k
?
?
k
?
Z
?
?
?
2
?
?
?
?
y
?
t
a
n
x
的增区间为
?
k
?
?
，
k
?
?
?
k
?
Z
?
< br>2
2
?
26.
正弦型函数
y
=
Asin
?
?
x
+
?
< br>?
的图象和性质要熟记。
或
y<
/p>
?
A
cos
?<
/p>
?
x
?
?
?
（
1
）振幅
|
A
|
，周期
T
?
2
?
|
?
|
若
f
?
x
0
?
?
?
A
，则
x
?
x
0
为对称轴。
若
f
?
x
0
?
?
0
，则
?
x
0
，
0
?
为对称点，反之也对。
（
2
）五点作图：令
?
x
?
?
依
次为
0
，
?
，
?
，
3
?
，
2
?
，求出
x
与
y
，依点
（
x
，
y
）作
2
2
图象。
（
3
）根据
图象求解析式。（求
A
、
?
、
?
值）
?
?
解条件组求
?
、
?
值
?
正切型函数
y
?
A
tan
?
?
x
?
?
?
，
T
?
?
|
?
|
27.
在三角函数中求一个角时要
注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角
的范围。
28.
在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
29.
熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
?
?
x
'
?
x
?
h
a
?
(
h
，
< br>k
)
（
1
）点
P
（
x
，
y
）
?
????
?
?
P
'
（
x
'
，
y
'
），则
?
平移至
?
y
'
?
y
?
< br>k
（
2
）曲线
f
(
x
，
y
)
?
0
沿向量
a
?
(
h
，
k
)
平移后的方程为
f
(
x
?
h
，
y
?
k
)
?
0
如：函数
y
?
2
sin
?
?
2
x
?<
/p>
?
?
?
?
?
1
的图象经过怎样的变换才能得到
y
?
sin
x
的
图象？
4
?
?
30.
熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
“
k
·
?
2
?
?
”化为
?
的三角函数——“奇变，偶不变，符号
看象限”，
指
k
取奇、偶数。
如：
cos
9
?
7
?
4<
/p>
?
tan
?
?<
/p>
?
?
?
6
?
?
?
sin
?
21
?
?
?
又如：函数
y
?
sin
?
?
tan
?
cos
< br>?
?
cot
?
< br>，则
y
的值为
A.
正值或负值
B.
负值
C.
非负值
D.
正值
31.
熟练掌握两角和、差、倍、
降幂公式
及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
、
“偶”
“奇”
应用以上公式对三角函数式化简。
（化简要求：
项数最少、
函数种类最少
，
分母中不含
三角函数，能求值，尽可能求值。
）
具体方法：
?
?
?
?
?
（
1
）角的变换：如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
< br>?
?
……
?
?
2
2
?
?
2
（
2
）名的变换：化弦或化切
（
3
）次数的变换：升、降幂公式
（
4
）形的变换：统一函数形式，注意运用
代数运算。
sin
?
cos
?
2
?
1
，
tan
?
?
?
?
?
?
?
，求
tan
< br>?
?
?
2
?
?
的值。
1
?
cos
2
?
3
sin
?
cos
?
cos
?
< br>1
（由已知得：
?
?
1
，∴
tan
?
?
2
2
sin
?
2
2
sin
?
如：已知
2
1
?
t
a
n
?
?
?
?
t
a
n
?
< br>?
?
3
2
?
1
）
∴
t
a
n
?
?
?
?
2
?
?
?
t
< br>a
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
?
t
a
n
?
1
?
2
·
1
8
?
< br>?
?
?
?
·
t
a
n
3
2
32.
正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。
）
?
a
?
2
R
< br>sin
A
正弦定理：
a
?
b
?
c
?
2
R
?
?
?
b
?
2
R
sin
B
sin
A
sin
B
sin
C
?
c
?
2
R
sin
C
?
（
1
）求角
C
；
（（
1
）由已知式得：
1
?
cos
?
A
?
B
?
?
2
cos
2
C
?
1
?
1<
/p>
（
2
）由正弦定理及
a
2
?
b
2
?
1
2
c
得：
2
33.
用反三角函数表示角时要注意角的范围。
?
?
反正弦：
arcsin
x
?
?
< br>?
，
?
，
x
?
?
?
1
，
1
?
?
2
?
?
2
?
反余弦：
arccosx
?
0
，
?
，
x
?
?
1
，
1
?
?
?
反正切
：
arctan
x
?
< br>?
?
?
，
?
，
?
x
?
R
?
?
2
2
?
?
?
?
?
34.
不等式的性质有哪些？
答案：
C
35.
利用均值不等式：
a
2
?
b
2
?
2
ab
?
a
，
b
?
R
?
?
2
；
a
?
b
?
2
ab
；
a
b
?
?
?
a<
/p>
?
b
?
?
2
?
?
求最值时，你
是否注
意到“
a
，
b
?
R
?
”且“等号成立”时的条件，积
(
ab
)
或和
(
a
?
b
)
其中之一为定
值？（一正、
二定、三相等）
注意如下结论：
当且仅当
a
?
b<
/p>
时等号成立。
如：若
x
?
0
，
2
?
3
x
?
4
x
的最大值为
当且仅当
3
x
?
4
x<
/p>
，又
x
?
0
，∴
x
?
2
3
3
时，
y
max
?
2
?
4
3
）
（∵
2
x<
/p>
?
2
2
y
?
2
2
x
?
2
y
?
2
2
1
，∴最小值为
2
2
）
36.
不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
37
.
解分式不等式
f
(
x
)
?
a
?
a
?
0
?
的一般步骤是什么？
< br>
g
(
x
)
（移项通分，分子分母因式分解，
x
的
系数变为
1
，穿轴法解得结果。
）
38. <
/p>
用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”
，从最大根的右上
方开始
39.
解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40.
对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。
）
例如：解不等式
|
< br>x
?
3
|
?
x
?
1
?
1
1
?
（解集为
?
?
x
|
x<
/p>
?
?
）
2
?
?
41
.
会用
不等式
|
a
|
?
|
b
|
?<
/p>
|
a
?
b
|
?
|
a
|
?
|
b
|
证明较简单的不等问题
如：设
f
(
x
)
?
x
2
?
x
?
13
，实数
a
满足
|
x
?
a
|
?
1
证明：
（按不等号方向放缩）
42.
不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）
如：
a
?<
/p>
f
(
x
)
恒成立
?
a
?
f
(
x
)
的最小值
a
?
f
(
x
)
恒成立
?
a
?
f
(
x
)
的最大值
a
?
f
(
x
)
能成立
?
a
?
f
(
x
)
的最小值
例如：对于一切实数
x
，若
x
?
3
?
x
?
2
?
a
恒成立，则
a
的取值范围是
（设
u
?
x
?
3
?
x
?
2
，它表示数轴上到两定点
?<
/p>
2
和
3
距离之和
43.
等差数列的定义与性质
定义：
a
n
?
1
?
a
n
?
d
(
d
为常数
)
，
a
n
?
a
1
< br>?
?
n
?
1
?
d
等差中
项：
x
，
A
，
y
成等差数列
?
2
A
?
x
?
y
前
n
项和<
/p>
S
n
?
?
a
1
?
a
n
?
n
?
na
2
1
?
< br>n
?
n
?
1
?
2
d
性质：
?
a
n
?
是等差数列
（
2
）数列
?
a
2
n
?
1
?
，
?
a
2
n
?
< br>，
?
ka
n
?
b
?
仍为等差数列；
（
3
）若三个数成等差数列，可设为
a
?
d
，
a
，
a
?
d
；
（
4
）若
a
n
，
b
n
是等差数列<
/p>
S
n
，
T
n
为前
n
项和，则<
/p>
a
m
S
2
m
?
1
?
；
b
m
T
2
m
?
1
（
5
）
?
a
n
?
为等差数列
?
S
n
?
an
2
?
bn
（
a
，
b
为常数，是关于
n
的常数项为
< br>0
的二
次函数）
S
n
的最值可求二次函数
< br>S
n
?
an
2
?
bn
的最值；或者求出
?
a
n
?
中的正、负分界
项，即：
?
a
?
0
当
a
1
?
0
，
d
?
0
，解不等式组
?
n
可得
S
n
达到最大值时的
n
值。
a
?
0
?
n
?<
/p>
1
a
n
?
0
当
a
1
?
0
，
d
?
0
，由
?
可得
S
n
达到最小值时的
n
值。
?<
/p>
?
a
n
?
1
?
0
如：等
差数列
?
a
n
?
，
S
n
?<
/p>
18
，
a
n
?
a
n
?
1
?
a
n
?
2
?
3
< br>，
S
3
?
1
，则
n
?
44.
等比数列的定义与性质
等比中项：
x
、
G
、
y
成等比数列
?
G
2
?
x
y
，或
G
?
?
xy
?
na
1
(
q
?
1
)
n
前
n
项和：
S
?
?
（要注意
!
）<
/p>
?
a
1
1
?
q
n
(
q
?
1
)
?
1
?
q
?
?
?
性质：
?
a
n
?
是等比数列
（
2
）
S
n
，
S
2
n
?
S
n
，
< br>S
3
n
?
S
2
n
……仍为等比数列
45.
由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
（
n
?
1
时，
a
1
?
S
1
，
n
?
2
时，
a
n
< br>?
S
n
?
S
n
?
1
）
46.
你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：
（
1
）求差
（商）法
如：
?<
/p>
a
1
1
1
n
?
满足
2
a
1
?
2
2
a
2
?
< br>……
?
2
n
a
n
?
2
n
?
5
解：
n
?
2
时，
1
2
a
1
1
1
?
2
2
a
2
?
……
?
2
n
?
1
a
n
?
1
?
2
n
?
1
?
5
［练习］
数列
?<
/p>
a
5
n
?
满足
S
n
?
S
n
?
1
?
3
a
n
< br>?
1
，
a
1
?
4
，求
a
n
（注意到
a
n
?
1
?<
/p>
S
S
?
1
n
?
1
?
S
n
代入得：
n
S
?
4
n
又
S
1
?
4
，∴
?
S
n
?
是等比数列，
S
n
n
?
4
n
?
2
时，
a
1
n
?
S
n
?
S
n
?
1
?
……
?
< br>3
·
4
n
?
（
2
）叠乘法
例如：数列
?
a
a
n
?
1
n
?
中，
a
1
?
3
，
a
?
n
?
1
，求
a
n
n
n
解：
（
3
）等差型递推公式
由
a
n
?
a
n
?
1
?
f
(
n
)
，
a
1
< br>?
a
0
，求
a
n
，用迭加法
?
1
?
?
2
?
-
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-
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