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2020-2021
中考数学相似
-
经典压轴题含答案解析
一、相似
1
．
已知：如图，在矩形
ABCD
中，<
/p>
AB=6cm
，
BC=8cm
，对角线
AC
，
BD
交于点
0
．点
P<
/p>
从点
A
出发，沿方向匀速运动，速度为<
/p>
1cm/s
；同时，点
Q
从点
D
出发，沿
DC
方向匀速运动，
速度为
1cm/s
；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接
PO
并延长，交
BC
于点
E
，过点
Q
作
QF
∥
AC
，交
BD
于点
F
．设运动时间为
t
（
s
）（
0
＜
t
＜
6<
/p>
），解答下列问题：
（
1
）当
t
< br>为何值时，
△
AOP
是等腰三角
形？
（
2
）设五边形
OECQF
的面积为
S
（
cm
2<
/p>
），试确定
S
与
t
的函数关系式；
（
3
）在运动过程中，是否存在某一时刻
t
，使
S
五边形
S
在，求出
t
的值
；若不存在，请说明理由；
（
4
）在运动过程中，是否存在某一时刻
t
，使
OD
平分
∠
COP
？若存在，求出
t
的值；若不
存在，请说明理由．
【答案】
（
1
）解：
∵
在矩形
ABCD
中，
Ab=6cm
，
BC=8cm
，
∴
AC=10
，
①
当
AP=PO=t
，如图
1
，过
P
作
PM
⊥
AO
，
五边形
OECQF
：
S
△
ACD
=
9
：
16
？若存
∴
AM=
AO=
，
∵
∠
PMA=
∠
AD
C=90°
，
∠
PAM=
∠
CAD
，
∴
△
APM
∽
△
ADC
，
∴
，
∴
AP=t=
，
②
当
AP=AO=t=5
，
< br>∴
当
t
为
或
5
时
，
△
AOP
是等腰三角形
（
2
）解：作
EH
⊥
AC
于
H
，
QM
⊥
AC
于
M
，
DN
⊥
AC
于
N
，交
QF
于
G
，
在
△
APO
与
△
CEO
中，
< br>∵
∠
PAO=
∠
ECO
，
AO=OC
，
∠
AOP=
∠
COE
，
∴
△
AOP
≌
△
COE
，
∴
CE=
AP=t
，
∵
△
CEH
∽
△
ABC
，
∴
，
∴
EH=
，
∵
DN=
=
，
∵
QM
∥
DN
，
∴
△
CQM
∽
△
CDN
，
∴
，即
，
∴
QM=
，
∴
DG=
=
，
∵
FQ
∥
AC
，
∴
△
DFQ
∽
△
DOC
，
∴
，
∴
FQ=
，
∴
S
五
边
形
OECQF
=S
△
OE
C
+S
四
边
形
OCQF
=
，
=
∴
S
与
t
的函数
关系式为
（
3
）解：存在，
∵
S
△
ACD
=
×6×8=24
，
∴
S
OECQF
：
S
△
ACD
=
（
五边形
）：
24=9
：
16
，解得
t=
，
t=0
，（不合题意，
舍去），
∴
t=
时，
S
五边形
S
五边形
OECQF
：
S
△
ACD
=9
：
16
（
4
）解：如图
3
，过
D
作
DM
⊥
< br>AC
于
M
，
DN
⊥
AC
于
N
，
∵
∠
POD=
∠
COD
< br>，
∴
DM=DN=
，
∴
ON=OM=
∵
< br>OP?DM=3PD
，
∴
OP=
∴
PM=
∵
∴
，
，
，
=
，
，解得：
t≈15
（不合题意，舍去），<
/p>
t≈2.88
，
∴
当
t=2.88
时，
OD
平分
∠
COP
．
【解析】
【分析】（
1
）根据矩形的性质可得：
AB=CD=6
，
BC=AD=8
，所以
AC=10
；而
P
、
Q
两点分别从
A
点和
D
点同时出发且以相同的速
度为
1cm/s
运动，当一个点停止运动时，另
一个点也停止运动，所以点
P
不可能运动到点
D
；所以
△
AOP
是等腰三角形分两种情况讨
论：
①
当
AP=PO=t
时，过
P
作
PM
⊥
AO
，易证
△
CQM
< br>∽
△
CDN
，可得比例式即可求
解；
②
当
AP=AO=t=5
时，
△
AOP
是等腰三
角形；
（
2
）作
EH
⊥
AC
于
H
，
QM
⊥
AC
于
M
，
DN
⊥
AC
于
N
，交
QF
于
G
，可将五边形转化成一个
三角形和一
个直角梯形，则五边形
OECQF
的面积
S=
三角形
OCE
的面积
+
直角梯形
OCQF
的<
/p>
面积；
（
3<
/p>
）因为三角形
ACD
的面积
=
AD
CD=24
，再将（
2
）中的结论代入已知条件
S
五边形
S
五边形
OEC
QF
：
S
△
A
CD
=9
：
16
中，可得关于
t
的方程，若有解且符合题意，则存在，反之，
不存
在；
（
4
）假设存在。由题意，过
D
作
DM
⊥
AC
于
M
，
DN
⊥
AC
于
N
，根据角平分
线的性质可得
DM=DN
，由面积法可得
;
三角形
ODP
的面积
=
OP
定理可得关于
t
的方程，解这个方程即可求解。
DM=<
/p>
PD
CD=
3PD,
所以可得
OP?DM=3PD
，则用含
t
的代数式可将
OP
和
PM
表示出来，在直角三角形
PDM
中，用勾股
2
．
如图，抛物线
分别交于点
P
、
N
．
过点
，
．
为线段
OA
上一个动点（点
M
与点
A
不重合），过点
M
作垂直于
x
轴的直线与直线
AB
和抛物线
（
1
）求直线
AB
的解析式
和抛物线的解析式；
（
2
）如果点
P
是<
/p>
MN
的中点，那么求此时点
N
的坐标；
（<
/p>
3
）如果以
B
，
P
，
N
为顶点
的三角形与
【答案】
（
1
）解：设直线
∵
，
的解析式为
相似，求点
M
的坐标．
（
）
经过点
，
∴
解得
∴
直线
的解析式为
∵
抛物线
∴
解得
∴
（
2
）解：
∵
∴
∵
点是
的中点
∴
∴
解得
∴
，
轴，
，
则
，
（不合题意，舍去）
（
3
）解：
∵
∴
∴
∵
∴
当
与
，
，
，
相似时，存在以下两种情况：
∴
∴
解得
∴
∴
,
解得
【解析】
【分析】（
1
）运用待定系数法解答即可。
（
2
）由（
1
）可得直线
AB
的解析式和抛物
线的解析式，由点
M
（
m,0
）可得点
N
，
P
用
m
表示的坐标，则可求得
< br>NP
与
PM
，由
NP=PM
构造方程，解出
m
的值即可。
（
3
）在
<
/p>
△
BPN
与
△<
/p>
APM
中，
∠
B
PN=
∠
APM
，则有
和
这两种情况，分别用
含
m<
/p>
的代数式表示出
BP
，
< br>PN
，
PM
，
< br>PA
，代入建立方程解答即可。
3
．
如图<
/p>
1
，过等边三角形
ABC
边
AB
上一点
D
作
的中点
M
，
N
，连接
MN
．
交边
AC
于点
E
，分别取
BC
，
DE
（
1
）发现：在图
1
中，
（
2<
/p>
）应用：如图
2
，将
（
3
）拓展：如图
3
，
是底边
BC
，
DE
的中点，若
【答案】
（
1<
/p>
）
________
；
绕点
A
旋转
，请求出
的值；
和
是等腰三角形，且
，请直接写出
的值．
，
M
，
N
分别
（
2
）解：如图
2
中，
连接
AM
、
AN
，
，
，
，
，
，
都是等边三角形，
，
，
，
，
，
∽
，
（
3
）解：如图
3
中，连接
AM
、
AN
，延长
AD
交
< br>CE
于
H
，交
< br>AC
于
O
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽
，
，
，
，
，
≌
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【解析
】
【解答】解：（
1
）如图
1
中，作
于
H
，连接
AM
，
，
，
时等边三角形，
，
，
，
，
平分线
段
DE
，
，
、
N
、
M
共线，
，
四边形
MNDH
时矩形，
，
，
故答案为：
；
，
【分析】（
1
）作
DH
⊥
BC
于
H
，连接
AM.
证四边形
MNDH
时矩形，所以
MN
=DH
，则
MN
：
BD=DH
：
BD=sin60°
，即可求解；
（
2
< br>）利用
△
ABC
，
△
ADE
都是等边三角形可得
AM
：
AB=AN
：
AD
，易得
∠
BAD
=
∠
MAN
，从而得
△
BAD
∽
△
M
AN
，则
NM
：
BD=AM
：
AB=sin60°
，
从而求解；
（
3
）连接
AM
、
AN
，延长
AD
交
CE
于
H
，交
AC
于
O.
先证明
△
BAD
∽
△
MAN
可
得
NM
：
BD=AM
< br>：
AB=sin
∠
ABC
；再证明
△
BAD
≌
△
CAE
，则
∠
ABD =
∠
ACE
，进而可得
∠
ABC =
45°
，可求出答案
.
4
．
如图，
抛物线
与
轴交于
A
，
B
两点
(
点<
/p>
B
在点
A
的左<
/p>
侧），与
y
轴交于点
C
，顶点为
D
，其对称轴与
轴交于点
E
，联接
AD
，
OD
．
<
/p>
（
1
）求顶点
D
的坐标（用含
的式子表示）；
（
2
）若
OD
⊥
AD
，求该抛物线的函数表达式；
（
3
）在（
2
）的条件下，
设动点
P
在对称轴左侧该抛物线上，
P
A
与对称轴交于点
M
，若
△
AME
与
△
OAD
相似，求点
P
的坐标
．
【答案】
（
1
）解：
∵
ｍ
)
（
2
）解：
∵
则
OE
＝
4
，
AE
＝
2
，
又
DE
＝
4
ｍ，
∴
由勾股定理得：
< br>又
OD
⊥
AD
< br>，
∴
，
∵
m
＞
0
，
∴
抛物线的函数表达式
，
则
，
，
，
解
得
：
，
∴<
/p>
顶点
D
的坐标为
(4,-4
∴
点
A
（
6
，
0
），点
B(2,0)
，则
OA
＝
6
，
∵
抛物线的对称轴为
x
＝
4
，
∴
点
E
（
4
，
0
），
（
3
）解：如图，过点
P
作
PH
⊥
x
轴于点
< br>H
，
则
△
APH
∽
△
AME
，
在
Rt
△
OAD
中，
当
△
APH
∽
△
AME
< br>∽
△
AOD
时，
∵
，
设点
P
的坐标为
，
，
∴
，即
，
；
解得：
x
＝
0
，
x
＝
6
（舍去），
∴
点
P
的坐标为
②
△
APH
∽
△
AME
∽
△
OAD
时，
∵
，
解得：
x
＝
1
，
x
＝
6
（舍去），
∴
点
P
的坐标
为
综上所述，点
P
< br>的坐标为
或
.
，
∴
，即
；
【解析】
【分析】（
1
）将抛物线的解析式配成顶点式即可求得顶点
D
的坐标；
（<
/p>
2
）要求抛物线的解析式，只须求出
m<
/p>
的值即可。因为抛物线与
x
轴交于点
A
、
B
，所以
令
y=0
，解关于
x
的一元二次方程，可得点
A
、
B
的坐标，则
OA
、
OD
、
AD
均
可用含
m
的
代数式表示；
因为
OD
⊥
AD
，所以在直角三角形
OAD
中，由勾股定理可得
解；
（
3
）
△
AME
与
△
OAD
中的对
应点除直角顶点
D
、
E
固定外，其余两点都不固定，所以分两
种情况：
①
当
△
AME
∽
△
AOD
时，过
点
P
作
PH
⊥
x
轴于点
H
，
易得
△
APH
∽
△
AME
∽
△
AOD
，可得
相应的比例式求解；
②
当
△
AME
∽
△
OAD
时
，过点
P
作
PH
⊥
x
轴于点
H
，易得
△
APH
∽
< br>△
AME
∽
△
< br>OAD
，可得
相应的比例式求解。
,
将
OA
、
OD
、
AD
代入可得关于
m
的方程，解方程即可得
m
的值，则抛物线的解析式可求
5<
/p>
．
已知在矩形
ABCD
< br>中，
AB=2
，
AD=4
．
P
是对角线
BD<
/p>
上的一个动点（点
P
不与点
B
、
D
重合），过点
P
作
PF
⊥
BD
，交射线
BC
于点
F
．联结
AP
，画
∠
FPE=
∠
BAP
，
PE
交
< br>BF
于点
E
．设
PD=x
，
EF=y
．
（
1
）当点
A
、
P
、
F
在一条直线上时，求
△
ABF
的面积；
（
2
）如图
1
，当点
F
在
边
BC
上时，求
y
关于
x
的函数解析式，并写出函数定义域；
（
3
）联结
PC
，若
∠
FPC=
∠
BPE
，请
直接写出
PD
的长．
【答案】
（
1
）解：如图，
∵
矩形
ABCD
，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
，
∵
，
，
，
∵
A
、
P
、
F
在一条直线上，且
PF
⊥
BD
，
，
，
，
；
，
，
∵
，
又
∵
∠
BAP
=
∠
FPE
，
∽
，
∴
，
，
，
即
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∴
（
2
）解：
∵
PF
⊥
BP
，
∴
∴
∴
∴
∵
AD//BC
，
∴
∴
∵
∴
∴
，
（
3
）解：
∠
CPF=
∠
BPE
，
①
如图所示，当点
F
在
CE
上时，
∵
∠
BPF=
∠
FPD=90°
，
∴
∠
DPC=
∠
FPE
，
∵
∠
FPE=
∠
BAP
，
∴
∠
DPC=
∠
BAP
，
∵
AB//CD
，
∴
∠
ABD=
∠
CDB
，
∴
△
PAB
∽
△
CPD
，
∴
PB
：
CD=AB
：
PD
，
∴
PB·
PD=CD·
AB
，
∴
x
（
∴
x=
）
=2×2
，
；
②
如图所示，当点
F
在
EC
延长线上时，
过点
P
作<
/p>
PN
⊥
CD
于点
N
，在
CD
上
取一点
M
，连接
PM
< br>，使
∠
MPF=
∠
CPF
，
则有
PC
：
PM=CH
：
MH
，
∵
∠
BPF=
∠
DPF
=90°
，
∴
∠
BPC=
∠
DPM
，
∵
∠
BPE=
∠
CPF
，
∴
∠
BPE=
∠
EPF
，
∵
∠
BAP=
∠
FPE
，
∴
∠
BAP=
∠<
/p>
DPM
，
∵<
/p>
∠
ABD=
∠
B
DC
，
∴
△
PAB
∽
△
M
PD
，
∴
P
B
：
MD=AB
：
PD
，
由
PD=x
，
tan
∠
PDM=tan
∠
PFC=2
，
易得：
DN=
PH=2x
，
FH=
，
PN=
，
CN=2-
x
，
，从而可得
MN
，
，
，
CH=2-
由
PB
：
MD=AB
：
PD
可得
MD=
在
Rt
△
PCN
中利用
勾股定理可得
PC
，
由
PC
：
PM=CH
：
MH
可得
PM
，
在在
Rt
△
PMN
中利用勾股定理可得关于
x
的方程，
解得
x=
综上：
PD
的长为：
，
或
【解析
】
【分析】（
1
）要求三角形
ABF
的面积，由题意只须求出
BF
的长即可。根据同角
的余角相等可得
∠
BAF=
∠
ADB
，所以
tan
∠
PBF=tan
∠
ADB=
BF
的长，三角
形
ABF
的面积
=
AB
BF
；
（
2
）要求
y
与
x
之间的函数关系式，由题意只须证得
< br>ΔBAP
∽
ΔFPE
，从而得出
比例
式
;
,
现
在需求出
PF
的长，代入比例式即可得
y
与
x
的关系式。
,
结合已知即可求得
（
3
）由已知条件过点
P
作
PF
⊥
BD
，交射线
BC
于点
F
< br>可知，点
F
可能在线段
CE
上，也可
在
CE
的
延长线上，所以分两种情况求解即可。
6
．
已知抛物线
y
＝
ax
2
＋
< br>bx
＋
5
与
x
轴交于点
A(1
，
0)
和点
B(5
，
0)
，顶点为
M
．点<
/p>
C
在
x
轴
的负半轴上，且
AC
＝
AB
，点
D
的坐标为
(0
，
3)
，直线
l
经过点
C
、
D
．
（
1
）求抛物线的表达式；
（
2
）点<
/p>
P
是直线
l
在第
三象限上的点，联结
AP
，且线段
CP
是线段
CA
、
CB
的比例中项，
求
tan
∠
CPA
的值；
（
3
）在（
2
）的条件下，联结
AM
、
BM
，在直线
PM
上是否存在点
E
，使得
∠<
/p>
AEM=
∠
AMB.
若存在，求出点
E
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（
1
）解：
∵
抛物线
∴
,
与<
/p>
x
轴交于点
A
（
1
，
0
），<
/p>
B
（
5
，
0
），
解得
∴
抛物线的解析式为
（
2
）解：
∵
A
（
1
，
0
），
B<
/p>
（
5
，
0
），
∴
OA=1
，
AB=4.
∵
AC=AB
且点
< br>C
在点
A
的左侧，
∴
AC=4 .
∴
CB=CA+AB=8.
∵
线段
CP
是线段
CA
、
CB
的比例中项，
∴
∴
CP=
.
.
又
∵
∠
PCB
是公共角，
∴
△
CPA
∽
△
CBP
.
∴
∠
CPA=
∠
CBP
.
过
P
作
PH<
/p>
⊥
x
轴于
H.<
/p>
∵
OC=OD=3
，
∠
DOC=90°
，
∴
∠
DCO=45°
.
∴
∠
PCH=45°
∴
PH=CH=CP
∴
P
（
-7
，
-4
），
∴
tan
∠
CPA=
.
，
=4
，
∴
H
（
-7
，
0
），
BH=12
，
（
3
）解：
∵
抛物线的顶点是
M
（
3
，
-4
），
又
∵
P
（
-7
，
-4
），
∴
PM
∥
x
轴
.