-
中考数学几何模型
3
：
对角互补模型
名师点睛
拨开云雾
开门见山
共顶点模型，即四边形或构
成的几何图形中，相对的角互补。主要：含
90
°的对角互补，
含
120
°的
对角互补，两种类型，种
类不同，得出的个别结论会有所区别。解决此类题型常用到的辅助线画法主要有
两种：旋
转法和过顶点作两垂线
.
类型一：含
90
°的对角互补模型
（
1
）如图，∠
AOB=<
/p>
∠
DCE=90
°，
OC
平分∠
AOB
，则有以下结论
：
①
CD
?
CE
；
②<
/p>
OD
?
OE
=<
/p>
2
OC
；
1
③
S
V
OCD
+
S
V
OCE
=
OC
2
2
作法
1
作法
2
（
2
）如图，∠
AOB=
∠
DCE=90
°，
OC
平分∠
AOB
，当∠
DCE
< br>的一边与
AO
的延长线交于点
D
时，则有以
下结论：
①
CD
?
CE
；
②
OE
< br>-
OD
=
2
OC
；
1
③
S
V
OCE
-
S
V
OCD
=
OC
2
2
作法
1
作法
2
类型二：含
120
°的对角互补模型<
/p>
（
1
）如图，
∠
AOB=2
∠
DCE=120
°，
OC
平分∠
AO
B
，则有以下结论：
①
CD
?
CE
；
②
OD
?
OE
=
OC
；
③
S
V
OCD
+
S
V
OCE
=
3
OC
< br>2
4
作法
1
作法
2
（
2
）如图，∠
AOB=
∠
DCE=90
°，
OC
平分∠
AOB
，当∠
DCE
的一边与
AO
的延长线交于点
D
时，则有以
- 1 -
下结论：
①
CD
?
CE
；
②
OE
-
OD
=
2
OC
；<
/p>
1
③
S
V
OCE
-
S
V
OCD
=
OC
2
2
作法
1
作法
2
典题探究
启迪思维
探究重点
例题
1.
如图，正方形
ABCD
与正方形
OMNP
的边长均为
10
，点
O
是正方形
ABCD
的中心，正方形
OMNP
绕
O
点旋转，证明：无论
正方形
OMNP
旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积
总是一个定值，
并求这个定值．
<
/p>
【解答】解：当
OP
∥
< br>AD
或
OP
经过
C
点，
重叠部分的面积显然
为正方形的面积的
，即
25
，
当
OP
在如图位置时
，过
O
分别作
CD
，
BC
的垂线垂足分别为
E
、
F
，
如图在
Rt
△
OEG
与
Rt
△
OFH<
/p>
中，∠
EOG
＝∠
HOF
，
OE
＝
OF
＝
5
，
∴△
OEG
≌△
< br>OFH
，
∴
< br>S
四边形
OHCG
＝
S
四边形
OECF
＝
25
，即两个正方形重叠部分的面积为
25
．
变式练习
>
>
>
1.
角线交于点
O
，点
E
、
F
分别在
AB
、
BC
上（
< br>AE
＜
BE
）
< br>，且∠
EOF
＝
90
°，
OE
、
DA
的延长线交于点
M
，
OF
、
AB
的
延长线交于点
N
，连接
MN
．
（
1
）求证：
OM
＝
ON
．
（
2
）若正方形
ABCD
的边长为
4
，
E
为
O
M
的中点，求
MN
的长．
【解答】解：
（
1
）∵四边形
ABCD
是正方形，
- 2 -
∴
OA
＝<
/p>
OB
，∠
DAO
＝
45
°，∠
OBA
< br>＝
45
°，
< br>∴∠
OAM
＝∠
OBN
＝
135
°，
∵∠
EOF
＝
90<
/p>
°，∠
AOB
＝
90
°，
∴∠
AOM
＝∠
BON
，
∴△
OAM
≌△
OBN
（
ASA
）
，
∴
OM
＝
ON
；
例题
2.
四边形
ABCD
被对角线
BD
分为等腰直
角△
ABD
和直角△
CBD
，其中∠
A
和∠
C
都是直角，另一条
对角线
< br>AC
的长度为
2
，求四边形
ABCD
的面积．
【解答】解：将△
ABC
绕点
A
旋转
90
°，使
B
与
D
重合，
C
到
C
′点，
则有∠
CDC
′＝∠
< br>ADC
+
∠
ADC
′＝∠
ADC
+
∠
ABC
＝
180
°，<
/p>
所以
C
、
D
、
C
′在同一直
线上，则
ACDC
′是三角形，
又因为
AC
＝
AC
′，
所以△
ACC
′是等腰直角三角形，
在△<
/p>
ABC
和△
ADC
′中
∴△
ABC
≌△
ADC
′（
SAS
）
，
∴四边形
ABCD
的面积等于等腰直角三角形
ACC
′的面积，
所以
S
四边形
ABCD
＝
S
△
ACC
′
＝
×
2
×
2
＝
2
．
变式练习
>
>
>
2.
如图，在四边形
ABCD
中，∠
A=
∠
C=9
0
°，
AB=AD
，若这个四边形的面
积为
12
，则
BC+CD=_____
__.
答案：
4
3
例题
3
.
如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ABC
＝
90
°，
AB
＝
3
，
BC
＝
4
，
Rt
△
MPN
，∠
MPN
＝
90
°，点
P
在
AC
上，
PM
交
AB
于点
E
，
PN
交
BC
于点<
/p>
F
，当
PE
＝<
/p>
2
PF
时，
AP
＝
3
．
- 3
-
【解答】解：如图作
PQ
⊥
AB
于
Q
，
PR
⊥
BC
于
R
．
∵∠
PQB
＝∠
QBR
＝∠
BRP
＝<
/p>
90
°，
∴四
边形
PQBR
是矩形，
∴∠
QPR
＝
90
°＝∠
MPN
，
∴∠
QPE
＝∠
R
PF
，
∴△
QPE
∽△
RPF
，
< br>
∴
＝
＝
2
，
∴
P
Q
＝
2
PR
＝
2
BQ
，
<
/p>
∵
PQ
∥
BC<
/p>
，
∴
AQ
：
QP
：
AP
＝
AB
：
BC
：
AC
＝
3
：
4
：
5
，设
PQ
＝
4
x
，则
AQ
＝
3
x
，
AP
＝
5
x
，
< br>BQ
＝
2
x
，
∴
2
x
+3
x
＝
3
，
∴
x
＝
，
∴
AP
＝
5
x
＝
3
．
故答案为
3
．
变式练习
>
>
>
3.
如图，在矩形
ABCD
中，
AB
＝
3
，
BC
＝
5
，点
E
在对角线
AC
上，连接
B
E
，作
EF
⊥
BE
，垂足为
E
，直线
EF
交线段
DC
于点
F
，则
＝（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【解答
】解：如图，连接
BF
，取
BF
的中点
O
，连接
OE
，
OC
．
<
/p>
∵四边形
ABCD
是矩形，
EF
⊥
BE
，
∴∠
BEF
＝∠
BCF
＝
90
°，
AB
＝
CD
＝
3
，
BC
＝
AD
＝
5
，
∵
OB
＝
OF
，
- 4 -
∴
OE
＝
OB
＝
OF
＝
OC
，
∴
B
，
C
，
F
，
E<
/p>
四点共圆，
∴∠
EBF
＝∠
ECF
，
∴
tan
∠
EBF
＝
tan
∠
ACD
，
∴
＝
＝
，
故选：
B
．
【本题两种方法解
答，过
E
作两垂线亦可】
例题
4.
用两个全等且边长为
4
的等边三角形△
ABC
和△
ACD
拼成菱形
ABCD
．把一个
60
°
角的三角尺与
这个菱形叠合，使三角尺的
60
°角的顶点与点
A
重合，两边
分别与
AB
，
AC
重合，将三角尺绕点
A
按逆时
针方向旋转．
（
1
）当三角尺的两边分别与菱形的两边
BC
，
CD
相交于点
E
，
F
时，
（如图
1
）
，通过观察或测量
BE
，
CF
的长度，你能得出什么结论
？（直接写出结论，不用证明）
；
（
2
）当三角尺的两边分别与菱形的两边
BC
，
CD
的延长线相交于点
E
，
F
时（如图
2
）
，你在（
1
）中得到
的结论还成立吗？说明理由；
<
/p>
（
3
）在上述情况中，△
AEC
的面积是否会等于
？如果能，求
BE
的长；如果不能，请说明理由．
【解答】解：
（
1
）
BE
＝
CF
．
证明：在△
ABE
和△
ACF
中，
∵∠
BAE
+
∠
EAC
＝∠
CA
F
+
∠
EAC
＝
60
°，
∴∠
BAE
＝∠
CAF
．
∵
AB
< br>＝
AC
，∠
B
< br>＝∠
ACF
＝
60
°，
∴△
ABE
≌△
ACF
（
ASA<
/p>
）
．
∴
BE
＝
CF
；
（
3
）能．
△
AEC
的
C
E
边上的高为等边△
ABC
的高，为<
/p>
2
∵△
AEC
的
面积等于
，
∴底边
< br>CE
＝
2
，
∴
BE
＝
6
或
2
．
变式练习
>
>
>
4.
我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”
．
，
- 5 -
（
1
）若点
A
（
x
，
y
）是“完美点”
，且满足
x
+
y
＝
4
，求点
A
的坐标；
（
2
）如图
1
，在平面直角坐标系中，四边形
OABC
是正方形，点
A
< br>坐标为（
0
，
4
）
，连接
OB
，
E
点从
O
向
B
运动，速度为
2
个单位
/
秒，到
B
点时运
动停止，设运动时间为
t
．
①
不管
t
为何值，
E
点总是“完美点”
；
②
如图
2
，连接
AE
，过
E
< br>点作
PQ
⊥
x
< br>轴分别交
AB
、
OC
于
P
、
Q
两点，过点
E
作
EF
⊥
AE
交
x
轴于点
F
，
问：当
E
点运动时，四边形
AFQP
的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．
【解答】解（
1
）∵点
A
（
x
，
y
）是“完美点”
∴
x
＝
y
∵
x
+
y
＝
4
∴
x
＝
2
，<
/p>
y
＝
2
∴
A
点坐标（
2
，
2
）
（
2
）
①
∵四边形
OABC
是正方形，
点
A
坐标为（
0
，
4
）
，
∴
AO
＝
AB
＝
BC
＝
4
∴
B
（
4
，
4
）
设直线
OB
解析式
y
＝
kx
过
B
点
∴
4
＝
4
k
k
＝
1
∴直线
OB
解析式
y
＝
x
设点
E
坐标（
x
，
y
）
∵点<
/p>
E
在直线
OB
上
移动
∴
x
＝
y
∴不管
t
为何值，
E
点总是“完美点”
．
例题
5.
已知，点
< br>P
是∠
MON
的平分线上的一动
点，射线
P
A
交射线
< br>OM
于点
A
，将射线
P
A
绕点
P
逆时针
旋转交射线
ON
于点
B
，且使∠
APB
+
∠
MON
＝
180
°．
（
< br>1
）利用图
1
，求证：
P
A
＝
PB
；
（
2
）如图
2
，若点
C
是
AB
与
OP
的交点，当
S
△
POB<
/p>
＝
3
S
△
PCB
时，求
PB
与
PC
的比值；
（
3
）若∠
MON
< br>＝
60
°，
OB
＝
2
，射线
AP
交
ON
于点
D
，且满足且∠
PBD
＝∠
A
BO
，请借助图
3
补全图
形，并求
OP
的长．
- 6 -
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