-
数学归纳法产生的历史背景
悬赏分：
0
|
解决时间：
2010-5-10 11:12
|
提问者：
ZLXM1026
最佳答案
数学上证明与自然数
N
有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数
有关的数学问题，在高
中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
[
编辑本段
]
基本步骤
（一）第一数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数
n
有关的命题，有如下步骤：
（
1
）证明
当
n
取第一个值时命题成立；
（
2
）假设当
n=k
（
k≥n
的第一个值，
k
为自然数）时命
题成立，证明当
n=k+1
时命题也成立。
（二）第二数学归纳法：
对于某个与自然数
有关的命题
，
（
1
）验证
n=n0
时
P(n)
成立；
（
2
）假设
no
时
P(n)
成立，并在此基础上，推出
P(k+1)
成立。
综合（
1
）（
2
）对一切自然数
n(>n0)
，命题
P(n
)
都成立；
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：
（
1
）对于无穷多个自然数命题
P
（
n
）成立；
（
2
）假设
P(k+1)
成立，并在此基础上推
出
P(k)
成立，
综合（
1
）（
2
），对一切自然数
n(>n0),
命题
P(
n)
都成立；
（四）螺旋式归纳法
P
（
n
），
Q
（
n
）为两个与自然数
有关的命题，假如
（
1
）
P(n0)
成立；
（
2
）
假设
P(k)
(k>n0)
成立，
能推出
Q(k)<
/p>
成立，
假设
Q
(k)
成立，
能推出
P(k+1)
成立；
综合（
1
）（
2
）
,<
/p>
对于一切自然数
n
（
>n0
），
P(n),Q(n)
都
成立；
[
编辑本段
< br>]
应用
1.
确定一个表达式在所有自然数范
围内是成立的或者用于确定一个其他的形
式在一个无穷序列是成立的。
< br>
2.
数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价
表达式。<
/p>
3.
证明数列前
n
项和与通项公式的成立
[
编辑本段
]
历史
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于
Francesco Maurolico
的
Arithmeticorum
libri duo (1575
年
)
。
Maurolico
利用递推关系巧妙的证明出证明
了前
n
个奇数的总和是
n^2
，由此揭开了数学归纳法之谜。
最简单和常见的数学归纳法证明方
法是证明当
n
属于所有自然数时一个表达
式成立，这种方法是由下面两步组成
:
递推的基础
:
证明当
n =
1
时表达式成立。
递推的依据
:
证明如果当
n =
m
时成立，那么当
n = m +
1
时同样成立。