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2014
年上半年中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教
学能力）真题试卷
(
总分：
34.00
，做题时间：
90
分钟
)
一、
单项选择题
(
总题数：
8
，分数：
16.00)
1.
曲线
y=x
+2x-1
在点
(1
，
2)
处的切线方程为
(
)
。
A.5x-y-3=0
√
B.14x-y-12=0
C.5x+y-3=0
D.14x+y-12=0
解析：
解
析：
由已知得
y′=3x
+2
，
则其在
(1
，
2)
处切线的斜率为
k=5
，
又切线过点
(1
，
2)
则其方程为
5x
-y-3=0
。
2.
若在
[a
，
b]
上连续，在
(a
，
b)
可导，则在
(a
，
b)
内
(
)
。
A.
至少存在一点
ξ
，使
< br>f′(
ξ
)=0
B.
至多存在一点
ξ
，使
f′(
ξ
)=0
C.
一定不存在一点
ξ
，使
f′(
ξ
)=0
D.
不一定存在
一点
ξ
，使
f′(
ξ
)=0
√
< br>解析：解析：由罗尔中值定理可得：若函数
f(x)
在<
/p>
[a
，
b]
上连
续，在
(a
，
b)
上可导，且
f(a)=f(b)
，则存
在
ζ
∈(a，
b)
，f′(
ζ
)=D
，而
f(a)≠f(b)时，则不一定。故选
D
。
3.
，且
f
(x)
在
[a
，
b]
连续，则在
[a
，
b]
上
(
)
。
2
3
A.f(x)=0
B.
必存在
x
使
f(x)=0
√
C.<
/p>
存在唯一的
x
使
f(x)=0
D.
不一定存在
x
使
f(x)=0
解析：解析：
可知
< br>f(x)
的原函数
F(x)
在区
间
[a
，
b]
的端点值相同即
F(a)=F(b)
，又
f(x)
在
[a
，
b]
上连续，
F(x)
在
(a
，
b)
上可导
，所以彐
x
0
∈(a，
b)
使
F′(x
0
)=f(x
0
)=0
。所以选
< br>B
。
4.
欧氏平面
R
上的下列变换不是保距变换的是
(
)
。
A.
B.
C.
√
D.
解析：解析：平面上一个点变换，如果保持点之间的距离
不变，则称之为保距变换。其中反射、平移、旋
转都是保距变换。
A
为平移变换；
B
为旋转变换；
C
为沿
y
轴方向的
错切变换；
D
为先对称变换再平移变换。
故选
C
。
5.
设
A
、
B
、
C
为欧式空间
R
平面上不共线的三点，则三角形
ABC
的面积为
(
)
。
A.
B.
C.
√
D.
解析：解析：向量的外积
故三角
形面积为
3
2
6.
设函数
，下列结论正确的是
( )
。
A.D(x)
不是偶函数
B.D(x)
是周期函数
√
C.D(x)
是单调函数
D.D(x)
是连续函数
解析：解析：狄利克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是狄利克雷任意非零有理 数
(
周
期不能为
0)
，而非无理数。因为不存在最小正有理数，所以狄利克雷函数不存在最小正周期。
函数为偶函
数且处处不连续，不是单调函数。
7.
下列观点正确的是
(
)
。
A.
提高运算速度是数学教学的核心目标
B.
动手实践，阅读自学是学生学习数学的重要方式
√
C.
信息技术与高中数学课程整合的任务的制作课件
D.
安排教学内容只需要依据考试大纲
解析：
8.“三角形内角和为
180°”，其判断的形式是
(
)
。
A.
全称肯定判断
√
B.
全称否定判断
C.
特称肯定判断
D.
特称否定判断
解析：
二、
简答题
(
总题数：
5
，分数：
10.00)
9.
证明
_
__________________________________________________
_______________________________________
正确答案：
(
正确答案：当
a
＞
1
时，设
≥nh
n
=>0
＜
h
n
≤
，由夹逼准则得
(h
n
＞
0)<
/p>
那么有
a=(1+h
n
)
=1+nh
n
+C
n
h
n
+…+h
，所以
；
当
0
＜
a
＜<
/p>
1
时，令
)
从而有
n
2
2
n
n
故
解析：
。当<
/p>
a=1
时，显然有
。综上：当
a
＞
0
时有
10.
在区间
[0
，
1]
中随机抽取
两个数
(x
，
y)
，即
(x
，
y)
< br>服从
[0
，
1]
上的均匀分布，求这两个数之差的绝对值
小于
的概率。
___________________________
__________________________________________________
_____________
正确答案：
(
< br>正确答案：
由已知得，
解析：
11.
设三维空间中椭圆
(1)
证明「的中心为原点，并求「的长轴和短轴的长度；
(2)
证明：任给一个
作图，
其中中间部分
x
，
y
的取值满足题意。
其概率为
)
椭圆，存在参数
R
和
k
，使得「与给定
椭圆全等。
______________________
__________________________________________________
__________________
正确答案：
(
正确答案：证明：由已知得，椭圆
Γ
为圆柱<
/p>
x
+y
=R
与平面
z=kx
相交所得，因为圆柱
x
+y
=R
的中心为原点，
z=kx
平面的中心为原点。故
Γ
的中心为原点。<
/p>
椭圆
Γ
与直线
2
2
2
2
2
2
的交
点为椭圆
的两个端点
(R
，
O
< br>，
kR)
，
(-R
，
O
，
-kR)
，因为椭圆的长轴与短轴相互垂直，则另两个端点为椭圆
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