-
在
数学
与
信号处理
的领域中，一个
实数
值
函数
transform)
——
在
此标示为
此，希尔伯特转换结果
——
是
将
信号
与
的
希
尔伯特转换
(Hilbert
做
卷积
，以得到
。因
可以被解读为输入是
的
线性非时变系统
(linear
time
。
这是一项有用的数学，
i
nvariant system)
的输出，
而此一系统的脉冲
响应为
用在描述一个以实数值载波做调制的信号之
复数包络
(complex envelope)
，出现在
< br>通讯理论
（应用方面的详述请见下文。）
希尔伯特转换是以著名数学家
大卫
·
希尔伯特
(David
Hilbert)
来命名。
希尔伯特转换定义如下：
其中
<
/p>
并考虑此积分为
柯西主值
(Cauchy
principal value)
，其避免掉在
等处的
奇点
。
另外要指出的是：
若
，则
可被定义，且属于
；其中
。
以及
频率响应
希尔伯特转换之
频率响应
由
傅立叶变
换
给出：
,
其中
?
?
是傅立叶变换，
是
< br>角频率
，以及
?
i
(
有时写作
j
)
是
虚数单位
，
?
即为<
/p>
符号函数
。
既然：
,
希尔伯特转换会将
负频率
成分
偏移
+90°
，而正频率成分偏移
?
90°
。
反（逆）希尔伯特转换
我们也注意到
：
。因此将上面方程式乘上
从中，可以看出
反（逆）希尔伯特转换
，可得到：
傅里叶变换
（
Fourier
变换）是一种线性的
积分变换
。因其基本思想首先由
法国
学者
约瑟夫
·
傅里叶
系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
傅里叶变换在
物理学
、
声学
、
光学
、
结构动力学
、
量子力学
、
数论
、
组合数学
、
概
率论
、
统计学
、
信号处理
、
密码学
、
海洋学
、
通讯
、
金融
等领域都有着广泛的应用。
< br>例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成
振幅
< br>分量和
频率
分量。
?
傅里叶变换能将满足一定条件的某
个
函数
表示成
三角函数
（
正弦
和
/
< br>或
余弦函
数
）或者它们的
积分
的
线性组合
。在
不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不
同的变体形式，如
连续
傅里叶变换
和
离散傅里叶变换
。最初傅
里叶分析是作为
热过程的解析分析的工具被提出的
[1]
。
傅里叶变换属于
谐波分析
。
傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
正弦基函数是
微分运算
的
本征函数
，从而使得线性微分方程的求解可以转化
为
常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性
质，从而系统
对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应
来获取。
?
?
?
?
?
卷积定理
指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算
，从而
提供了计算卷积的一种简单手段。
离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为
快速傅
里叶变换算法
（
FFT
））。
线性性质
< br>两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数
傅里叶变换
和
都存在，
和
为任
意常系数，则
；傅里叶变换算符
符
。<
/p>
可经
归一化
成
为
幺正算
和
的
平移性质
若函数
换，且有
存在傅里叶变换，则对任意
实数
，函数
也存在傅里叶变
是傅里叶变换的作用算子，
。
。式中花体
平体
F
表示变换的结果（复函数），
e
<
/p>
为
自然对数
的底，
i
为
虚数
单位
微分
关系
若函数
当
时的
极限
< br>为
0
，
而其导函数
的傅里叶变换存在，
则有
，即导函数的傅里叶变换等
于原函数的傅里叶变换乘以
因子
。
更一
般地，
若
存在，则
原函数的傅里叶变换
乘以因子
。
，
且
，即
k
阶
导数
的傅里叶变换等于
卷积
特性
若函数
及
都在
上
绝对可积
，则
卷积函数
（或者
傅里叶变换存在，且
。
卷积性质的逆形式为
）
的
，
即两个函数卷积的傅里
叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以<
/p>
。
帕塞瓦尔定理
若函数
可积
且平方可积，则
。其
中<
/p>
F(ω)
是
f(x)
的傅里叶变换。
更一般化而言，若函
数
和
皆
平方可积
，则
。
其中
F(ω)
和
G(ω)
分别是
f(x)
和
g(x)
的傅里叶变换
, *
代表
复共轭
。
连续傅里叶变换
一般情况下，若
“
傅里叶变换
”
一
词不加任何限定语，则指的是
“
连续傅里叶变换
”(
连
续函数的傅里叶变换
)
。连续傅里叶变换将平方可积的函数
f
（
t
）表示成复指数函数
的积分或级数
形式。
这是将频率域的函数
F
(ω)
表示为时间域的函数
f
（
t
）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换
(inverse Fourier
transform)
为
即将时间域的函数
f
（
t
）表示为频率域的函数
F
(ω)
的积分。
一般可称函数
< br>f
（
t
）为
原函数
，而称函数
F
(ω)
为傅里叶变换的
像函数
，原函
数和像函数构成一个傅里叶变换对（
transform
pair
）。
除此之外，还有其它型
式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通讯或是
讯号处理方面，常以
来代换，而形成新的变换对
:
或者是因系数重分配而得到新的变换对：
一种对连续傅里叶变换的推广称为
分数傅里叶变换
（
Fractiona
l Fourier Transform
）。
当
f
（
t
< br>）为偶函数（或奇函数）时，其正弦（或余弦）分量
将消亡，
而可以称这时的变换为
余弦转换
（
cosine transform
）
或
正弦转换
（
sine
transform
）
.
另一个值得
注意的性质是，当
f
（
t
）为纯实函数时，
F
(?ω)
=
F
*
(ω)
< br>成立
.
傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数
(Fourier series)
的推广，
< br>因为积分其实是
一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存
在的：
其中
为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
其中
a
n
和<
/p>
b
n
是
实
频率分量的振幅。
傅里叶分析
最初是研究
周期性
现象，即傅里叶级数的，后来通过
傅里叶变换
将其推广到了非周期性现象。
理解这种推广过程的一
种方式是将非周期性现
象视为周期性现象的一个特例，即其
周期
为无限长。
离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换
是
离散时间傅里叶变换
（
DTFT
）的特例（有时作为后者的近似）。
DTFT
在时域上离散，
在频域上则是周期的。
DTFT
可以被看作是傅里叶级数的逆转
换。
离散傅里叶变换
为了在科学计算和<
/p>
数字信号处理
等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数
x
n
定义在
离散<
/p>
点而非连续域内，且须满足
有限性
或
周期性
条件。这种情况下，使用离
散傅里叶
变换，将函数
x
n
表示为下面的求和形
式：
其中
是傅里叶振幅。
直接使用这个公式计算的
计算复杂度
为
，
而
快速
傅里叶变换
（
FFT
）可以
将复杂度改进为
。计算复杂度的降低以及
数字电路计算能力的发
展使得
DFT
成为在信号处理领域十分实用且重要的方
法。
在阿贝尔群上的统一描述
以上各种傅
里叶变换可以被更统一的表述成任意
局部紧致
的
阿贝尔群
上的傅里叶变
换。这一问题属于
调和分析
的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的
对偶群
（
dual group
）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析
中也有类似的结论。<
/p>
傅里叶变换的广义理论基础参见
庞特里亚金对偶性
（
Pontryagin
duality
）中的介绍。
时频分析变换
小波变换
，
chirplet
转换
和
分数傅里叶变换
试图得到时间信号的频率信息。
同时解析
频率和时间的能力在数学上受
不确定性原理<
/p>
的限制。
傅里叶变换家族
下表列出了傅里叶变
换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其
像函数在频（时）域的周期
性
.
反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性
.
变换
时间
频率
连续傅里叶变换
傅里叶级数
连续，非周期性
连续，非周期性
连续，周期性
离散，非周期性
离散时间傅里叶变换
离散，非周期性
连续，周期性
离散傅里叶变换
离散，周期性
离散，周期性
常用傅里叶变换表
下表列出常用的傅里叶变换对。
和<
/p>
和
可以使可积函数或衰减的分布。
分别代表函数
和
的傅里叶变换
.
函数关系
时域信号
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
1
线性
2
时域平移
3
频域平
移，
变换
2
的
频域对应
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