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卡尔曼滤波器
Kalman
Filter
(zz)
关键词
：
卡尔曼滤波器
Kalman
Filter
在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫
“
卡尔曼
”
。跟其他著名的理
论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）
一样，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的
是，他是个现代人！
卡尔曼全名
Rudolf
Emil
Kalman
，匈牙利数学家，
193
0
年出生于匈牙利首都布达佩斯。
1953
，
1954
年于麻
省理工学院分别
获得电机工程学士及硕士学位。
1957
年于哥伦比亚大学获得
博士学位。
我们现在要学习的卡尔
曼滤波器，正是源于他的博士
论文和
1960
年发表的论文《
A
New
Approach
to
Linear
Filtering
and
Predict
ion
Problems
》（线性滤波与预测问题的新方法）。如果对这编
论文有兴趣，可以到这里的地址下载：
/~welch/kalman/media/pdf/
<
/p>
简单来说，
卡尔曼滤波器是一个
“opt
imal
recursive
data
processing
algorithm
< br>（最优化自回归数据处理算法）
”
。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过
30
年，包括机器人
导航，控制，传感器数据融合甚至在军
事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处
理，例如头脸识别
，图像分割，图像边缘检测等等。
2
．卡尔曼滤波器的介绍
（
Introduction
to
the
Kalman
Filter
）
为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描
述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列
一大堆的数学公式和数学符号。但是，他
的
5
条公式是其核心内容。结合现代的计算机，其实卡尔曼的程
序相
当的简单，只要你理解了他的那
5
条公式。
在介绍他的
5
条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你
的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的
温度等于现在这一分钟的温度
（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设你对你的经验不是
100%
< br>的相信，可
能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（
White
Gaussian
Noise
），也就是这些偏差跟前后
时间是没有关系的而且符合高斯分配（<
/p>
Gaussian
Distribution
< br>）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这
个温度计也不准确的，测量值会比
实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你根据经验的预测值（系统的预测
值）和温度计
的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间
的实际温度值。
假如我们要估算<
/p>
k
时刻的是实际温度值。首先你要根据
k
-1
时刻的温度值，来预测
k
时刻的温
度。因为你相信
温度是恒定的，所以你会得到
k
时刻的温度预测值是跟
k-1
时刻一样的，假设是
23
度，同时该值的高斯噪声
的偏差是
5
度
（
5
是这样得到的：
如果
k-1
时刻估算出的最优温度值的偏差是
3
，
你对自己预测的不确定度是
4
度，他们平方相加再开方，就
是
5
）。然后，你从温度计那里得到了
k
时刻的温度值，假设是
25
度，同时
该值
的偏差是
4
度。
< br>
由于我们用于估算
k
时刻的实际温度有两个温度值，分别是
23
度
和
25
度。
究竟实际温度是多少呢？相
信自己
还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的
covariance
来判断。因为
Kg^2=5^2/(5
^2+4^2)
，
所以
Kg=0.78
，我们可以估算出
k
时刻的实际温度值
是：
23+0.78*(25-23)=24.56
度。可以看
出，因为温度计
的
covariance
比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。
现在我们已经得到
k
时刻的最优温度值了，下一步就是要进入
k+1
时刻，
进行新的最优估算。到现在为止，好
像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入<
/p>
k+1
时刻之前，我们还要算出
k
时刻那个最优值（
24.56
度）
的偏差。
算法如下：
((1-Kg)*5^2)^
0.5=2.35
。这里的
5
就是上面
的
k
时刻你预测的那个
23
度温度值的偏差，
得
出的
2.35
就是进入
k+1
时刻以后
k
时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的
< br>3
）。
就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把
covariance
递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保
留了上一时刻的
covariance
。上面的
Kg
，就是卡尔曼增益（
Kalman
Gain
）。他可以随不同的时刻而改变他
自己的值，是不是很神奇！
下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。
3
．
卡尔曼滤波器算法
（
The
Kalman
Filter
Algorithm
）
在这一部分，我们就来描述源于
Dr
Kalman
的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本
的概念知识，包
括概率（
Probability
），随即变量（
Random
Variable<
/p>
），高斯或正态分配（
Gaussian
Distribution
）还有
Sta
te-space
Model
等等。但对于卡尔曼滤波器
的详细证明，这里不能一一描述。
首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程（
Li
near
Stochastic
Differ
ence
equation
）来描述：
X(k)=A
X(k-1)+B
U(k)+W(k)
再加上系统的测量值：
Z(k)=H
X(k)+V(k)
上两式子中，
X(k)
是
k
时刻的系统状态，
U(k)
是
k
时刻对系统的控制量。
A
和
< br>B
是系统参数，对于多模型系统，
他们为矩阵。
Z(k)
是
k
时刻的测
量值，
H
是测量系统的参数，对于多测量系统，
H
为矩阵。
W(k)
和
V(k)
分别表
示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声
(White
Gaussian
Noise)
，<
/p>
他们的
covariance
分别是<
/p>
Q
，
R
（这
里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件
(
线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声
)
，
卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的
covariances
来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假
设现在的系统状态是
k
，根据系统的模型，可以
基于系统的上一状态而预测出现在状态：
X(k|k-1)=A
X(k-1|k-
1)+B
U(k)
………..
(1)
式
(1)
中，
X(k|k-1
)
是利用上一状态预测的结果，
X(k-1|k-1)
是上一状态最优的结果，
U(k)
为现在状态的
控制量，
如果没有控制量，它可以为
0
。
到现在为止，我们的系统结果已
经更新了，可是，对应于
X(k|k-1)
的
< br>covariance
还没更新。我们用
P
表示
cov
ariance
：
P(k|k-1)=A
P(k-1|k-
1)
A’+Q
………
(2)
式
(2)
中，
P(k|k-1)<
/p>
是
X(k|k-1)
对应的
covariance
，
P(k-1|k-1)
是
X(k-1|k-1)
对应的
covariance
，
A’
表示
A
的转置
矩阵，
Q
是系统过程的
covariance
。式子
1
，
2
就是卡尔曼滤波器
5
个公式当中的前两个，也就是对
系统的预
测。