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小学六年级数学奥林匹克竞赛题解析
工程问题
1
．
甲乙两个水管单独开，
注满一池水，
分别需要
20
小时，
16
小时
.
丙水管单独开，
排一
池水要
10
小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，
5
小时后，再打开排水
管丙，问水池注满还是要
多少小时？
解：
< br>1/20+1/16
＝
9/80
表示甲乙的工作效率
9/80×
5<
/p>
＝
45/80
表示
5
小时后进水量
1-45/80<
/p>
＝
35/80
表示还要的进水量
35/80÷
（
9/
80-1/10
）＝
35
表示还要
35
小时注满
答
：
5
小时后还要
35
< br>小时就能将水池注满。
2<
/p>
．修一条水渠，单独修，甲队需要
20
天
完成，乙队需要
30
天完成。如果两队合
作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的
五分之
四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划
16
天修完这
条水渠，且
要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解
：
由
题
意
得
，
甲
的
工
效
为
1/20
，
乙
的
工
效
为
1/30
，
甲
乙
的
合
作
工
效
为
1/20*4/5+1/30*9/10
＝
7/100
，可知甲乙合作工效
>
甲的工效
>
乙的工效。
又因为，要求
“
两队合作的天数尽可能
少
”
，所以应该让做的快的甲多做，
1
6
天内
实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能
“
两队合作的天数尽可能少
”
。
设合作时间为
x
天，则甲独做时间为（
16-x
）天
1/20*
（
16-
x
）
+7/100*x
＝
1
x
＝
10
答：甲乙最短合作
10
天
3
．一件工作，甲、乙合做需
4
小时完成，乙、丙合做需
5
小时完成。现在先请甲、
丙合做
2
小时后，
余下的乙还需做
6
小时完
成。
乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知，
1/4
表示甲乙合作
1
小时的工作
量，
1/5
表示乙丙合作
1
小时的工作量
（
1/4
+1/5
）
×
2
＝
9/10
表示甲做了
2
小时、乙做了
4
小时、丙做了
2
小时的工作量。
根据
“
甲、丙合做
2
小时后
，余下的乙还需做
6
小时完成
”
可知甲做
2
小时、乙做
6
小时、丙做
2
小时一共的工作量为
1
。
所以<
/p>
1
－
9/10
＝
1/10
表示乙做
6-4
＝
2
小时的工作量。
1/10÷
2
＝
1
/20
表示乙的工作效率。
1÷
1/20
＝
20
小
时表示乙单独完成需要
20
小时。
<
/p>
答：乙单独完成需要
20
小时。
4
．一项工程，第
一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮
流做，那么恰好用整数天
完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第
四天甲做，这样交替轮流做，那么
完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这
项工程需
17
天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1/
甲
+1/
乙
+1/
甲
+1/
乙
+……+1/
甲＝
1
1/
乙
+1/
甲
+1/
乙
+1/
甲
+……+1/
乙
+1/
甲
×
0.5
＝
1
（
1/
甲表示甲的工作效率、
1/
乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则
第二种做法就不比第一种
多
0.5
天）
1/
甲＝
1/
乙
+1/
甲
×
0.5
（因为前面的工作量都相等）
得到
< br>1/
甲＝
1/
乙
×
2
又因为
1/
乙＝
1/17
所以
1/
甲＝
2/17
，甲等于
17÷
2
＝
8.5
天
5
．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了
1/2
时
，徒弟完成了
120
个。当师
傅完成了
任务时，徒弟完成了
4/5
这批零件共有多少个？
答案为
300
个
120÷
（
4/5÷
2
）＝
300
个
可以这样想：师傅第一次完成了
1
/2
，第二次也是
1/2
，两次一共全
部完工，那么
徒弟第二次后共完成了
4/5
，可以推算出第一次完成了
4/5
的一半是
2/5
，刚好是
120
个。<
/p>
6
．一批树
苗，如果分给男女生栽，平均每人栽
6
棵；如果单份给女生栽，
平均每
人栽
10
棵。单份给男生栽，平
均每人栽几棵？
答案是
15
棵
算式：
1÷
（
1/6-1/10
）＝
15
棵
7
．一个池上装有
3
根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，
20
分钟可将满池水放
完，丙管也是出水管，
30
分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢
< br>出时，打开乙
,
丙两管用了
18
分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不
开丙管，多
少分钟将水放完？
答案
45
分钟。
1÷
（
1/20+1/30
）＝
12
表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
< br>1/12*
（
18-12
）＝<
/p>
1/12*6
＝
1/2
表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了
6
分钟的
水，也就是甲
18
分钟进的水。
1/2÷
18
＝
1/36
表示甲每分钟进水
最后就是
1÷
（
1/20-
1/36
）＝
45
分钟。
8
．
< br>某工程队需要在规定日期内完成，
若由甲队去做，
恰好如
期完成，
若乙队去做，
要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合
作二天，再由乙队单独做，恰好如期完
成，问规定日期为几天？
答案为
6
天
解：
由
“<
/p>
若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独
做，恰好如期完成，
”
可知：
乙做
3
天的工作量＝甲
2
天的工作量
即：甲乙
的工作效率比是
3
：
2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是
2
：
3
时间比的差是
1
份<
/p>
实际时间的差是
3
天
所以
3÷
（
3-2
）
×
2
＝
6
天，就是甲的时间，也就是
规定日期
方程方法：
[1/x+1/
（
x+2
）
]×
2+1/
（
x+2
）
×
（
x-2
）＝
1
解得
x
＝
6
9
．两根同样长的蜡烛，点完一根粗
蜡烛要
2
小时，而点完一根细蜡烛要
1
小时，
一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分
钟后来点了，小芳将两
支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的
2
倍，问：停电多少分钟？
答案
为
40
分钟。
解：设停电了
x
分钟
根据题意列方程
1-1/120*x
＝（
1-1/60*x
）
*2
解得
x
＝
40
二．鸡兔同笼问题
1
．鸡与兔共
100
只
,
鸡的腿数比兔的腿数少
28
条
,
问鸡与兔各有几只
?
解：
4*100
＝
400
，
400-0
＝
400
假设都是兔子，一共有
400
只兔子的脚，那么鸡的脚为
0
< br>只，鸡的脚比兔子的脚少
400
只。
400-28
＝
372
实际鸡的脚数比兔子的脚数只少
28
只，相差
372
只，这是为什么？
4+2
＝
6
这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，
兔子的总脚数就会减少
4
只
（从
400
只变为
396
只）
，鸡的总脚数就会增
加
2
只（从
0
只到
2
只）
，它们的相差数就会
少
4+2
＝
6
只（也就是原来的相差数是
400-0
＝
400
，现在的相差数为
396-2
＝
394
，
相差数少
了
400-394
＝
6
）
372÷
6
＝
62
表示鸡的只数，
也
就是说因为假设中的
100
只兔子中有
62
只改为了鸡，
所以脚的相差数从
4
00
改为
28
，一共改了
372
只
100-62<
/p>
＝
38
表示兔的只数
三．数字数位问题
1
．把
1
至
2005
这
2005
个自然数依次写下来得到一个多位数<
/p>
123456789.....2005,
这个多位数除以
9
余数是多少
?
解：
首先研究能被
< br>9
整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被
9<
/p>
整除，那么
这个数也能被
9
整除；如果各个位数字之和不能被
9
整除，那么得的
余数就是这
个数除以
9
得的余数。
解题：
1+2+3+4+5+6+7+8
+9=45
；
45
能被
9
整除
依次类推：
1~1999
这些数的个位上的数字之和可以被
9
整除
10~19
< br>，
20~29……90~99
这些数中十位上的数字都出
现了
10
次，那么十位上的数
字之和就
是
10+20+30+……+90=450
它有能被
9
整除
同样的道理，
100~900
百位上的数字之和为
4500
同样被
9
整除
也就是说
1~999
这些连续的自然数
的各个位上的数字之和可以被
9
整除；
同样的道理：
1000~1999
这些
连续的自然数中百位、十位、个位
上的数字之和可
以被
9
整除（这里千位上的
“1”
还没考虑，同时这里我们少
22
从
1000~1999
千位上一共
999
个
“1”
的和是
999
，也能整除；
22<
/p>
的各位数字之和是
27
，也刚好整除。<
/p>
最后答案为余数为
0
< br>。
2
．
A
和
B
是
小于
100
的两个非零的不同自然数。求
A+B
分之
A-B
的最小值
...
解：
(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2
* B/(A+B)
前面的
1
不会变了，只需求后面的最小值，此时
(A-B)/(A+B)
最大。
对于
B / (A+B)
取最小时，
(A+B)/B
取最大，
问题转化为求
(A+B)/B
的最大值。
(A+B)/B = 1
+ A/B
，最大的可能性是
A/B = 99/1
(A+B)/B = 100
(A-B)/(A+B)
的最大值是：
98 / 100
3
．
已知<
/p>
A.B.C
都是非
0
自然数
,A/2 + B/4 + C/16
的近似值市<
/p>
6.4,
那么它的准确值是
多少
?
答案为
6.375
或
6.4375
因为
A/2 +
B/4 + C/16
＝
8A+4B+C/16≈6.4
，
所以
8A+4B
+C≈102.4
，
由于
A
、
B
、
C
为非
0
自然数，
因此
8A+4B+C
为一个整数，
可能是
102
，也有可能是
103
。
当是
102
时，
102/16
＝
6.375
当是
103
时，
103/16
＝
6.4375
4
．一个三位数的各位数字
之和是
17.
其中十位数字比个位数字大
1.
如果把这个三
位数的百位数字与个位数字
对调
,
得到一个新的三位数
,
则新的三位数比原三位数
大
198,
求原数
.
答案为
476
解：设原数个位为
a
，则十位为
a+1
，百位为
16-2a
根据题意列方程
100a+10a+16-2a
－
100
（
16-2a
）
-10a-a
＝
198
解得
a
＝
6
，则
a+1
＝
7
16-2a
＝
4
答：原数为
476
。
5
．一个两位数
,
在它
的前面写上
3,
所组成的三位数比原两位数的
< br>7
倍多
24,
求原来
的两位数
.
答案为
24
解：设该两位数为
a
，则该三位数为<
/p>
300+a
7a+24
＝
300+a
a
＝
24
答
：该两位数为
24
。
6
．把一个两位数的个位数字与十位
数字交换后得到一个新数
,
它与原数相加
,
和恰
好是某自然数的平方
,
这个和是多少
?
答案为
121
解：设原两位数为
10a+b
，则新两位数为
10b+a <
/p>
它们的和就是
10a+b+10b+a
＝
11
（
a+b
）
因为这个和是一个平方数，可以确定
a+b
＝
11
因此这个和就是
11×
11
＝
12
1
答：它们的和为
121
。
7
．一个六位数的
末位数字是
2,
如果把
2
移到首位
,
原数就是新数的
3
倍
,
求原数
.
答案为
85714
解：设原六位
数为
abcde2
，则新六位数为
2a
bcde
（字母上无法加横线，请将整个
看成一个六位数）
再设
abcde
（五位数）为
x
，则原六位数就是
10
x+2
，新六位数就是
200000+x
根据题意得，
（
200000+x
）
×
3
＝
10
x+2
解得
x
＝
85714
所以原数就是
857142
答：原数为
857142
8
．有一个四位数
,
个
位数字与百位数字的和是
12,
十位数字与千位数字的和是
9,
如
果个位数字与百位数字互换
,
千位数字与十位数字互换
,
< br>新数就比原数增加
2376,
求
原数
.
答案为
3963
解：设原四位数为
abcd
，则新数为
cdab
，且
d+b
＝<
/p>
12
，
a+c
＝
9
根据
“
新
数就比原数增加
2376”
可知
abc
d+2376=cdab,
列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据
d+b
＝
12
，可知
d
、
b
可能是
3
、
9
；
4
、
8
；
5
、
7
；
6
、
6
。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当
d
＝
3
，
b
＝
9
；或
d
＝
8
，
< br>b
＝
4
时成立。
先取
d
＝
< br>3
，
b
＝
9
代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据
a+c
＝
9
，可知
a
、
c
可能是
1
、
8
；
2
、
7
；
3
、
6
；
4
、
5
。
再观察竖式中的十位，便可知只有当
c
＝
6
，
a
＝
3
时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：<
/p>
abcd
＝
3963
< br>再取
d
＝
8
，
b
＝
4
代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
9
．有一个两位数
< br>,
如果用它去除以个位数字
,
商
为
9
余数为
6,
如果用这个两位数除
以个位数字与十位数字之和
,
则商为
5
余数为
3,
求这个两位数
.
解：设这个两位数为
ab
10a+b
＝
9b+6
10a+b
＝
5
（
a+b
）
+3
化简得
到一样：
5a+4b
＝
3
由于
a
、
b
均为一位整数
得到
a
＝
3
或
7
，
b
＝
3
或
8
原数为
33
或
78
均可以
10
．
如果
现在是上午的
10
点
21
分
,
那么在经过
28799
...99(
一共有
20
个
9)
分钟之后
的时间将是几点几分
?
答案是
10
：
20
解：
（
28799……9
（
20
个
9
）
+1
）
/60/24
整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是
10
：
21
，因为
事先计算时加了
1
分钟，所以现在时间是
10
：
20
四．排列组合问题
1
．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（
）
A
768
种
B
32
种
C
24
种
D 2
的
10
次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步是把
5
对夫妻看作
5
个整体，进行排列有
5×
4×
3×<
/p>
2×
1
＝
120
种不同的排法，
但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生<
/p>
5
个
5
个重复，
因此实际排法只有
120÷
5
＝
24
种。
第二步每
一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有
2
种
排法，
总共又
2×
2×
2×
2×
2
＝
32
种
综合两步，就有
24×
32
＝
76
8
种。
2
若把英语单词
hello
的字母写错了
,
则可能出现的错误共有
( )
A
119
种
B
36
种
C
59
种
D
48
种
解：
5
全排列
5*4*3*2*1=120
有两个
l
所以
120/2=60
原来有一种正确的所以
60-1=59
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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