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衢州三中微专题系列之《构造同构式》
衢州三中
李娜
知识要点
1.
同构式的定义：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式。
2.
同构式的应用：
（
1
）在方程中的应用：如果方程
f
?
a
?
?
0
和
f
?<
/p>
b
?
?
0
呈现同构特征，则
a
,
b
可视为
方程
f
?
x
?
?
0
的两个根
（
2
）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为<
/p>
一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式
（
3
）在解析几何中的应用：如果
A
?
x
1
,
y
1
?
,
B
?
x
< br>2
,
y
2
?
满足的方程为同构式，则
A
,
B
为
方程所表示曲线上的两点。特别的，若
满足的方程是直线方程，则该方程即为直线
AB
的方程
（
4
）在数列中的应
用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于
?
a
n
,
n
?
与
?
a
n
?
1
,
n
< br>?
1
?
的同构式，从而将同构式
设为辅助数列便于求解。
典例分析
例
1
若
0
?
x
1
?
x
2
?
1
，则（
）
A.
e
x
2
?
e
x
1
?
ln
x
2
?
ln
x
1
B.
e
< br>x
1
?
e
x
2
?
ln
x
2
?
ln
x
1
x
x
x
x
C.
x
2
e
1
?
x
1
e
2
D.
x<
/p>
2
e
1
?
x
1
e
2
答案：
C
解：
A
选项：
e
x
2
?
e
x
1
?
ln<
/p>
x
2
?
ln
x
1
?
e
x
2
?
ln
x
2
?
e
x
1
?
ln
< br>x
1
，设
f
?
x
?
?
e
x
?
ln
x
1
xe
x
?
1
，设<
/p>
g
?
x
?
?
xe
x
?
1
，则有
g
'
?
x
?
?
?
x
?
1
< br>?
e
x
?
0
恒成立，
?
f
?
x
?
?
e
?
?
x
x<
/p>
'
x
所以
g
?
x
?
在
?
0,1
?
单调递增，
所以
g
?
0
?
?
?
1
?
0,
g
?
1
?
?
e
?
1
?
0
，从而存在
x
0
?
?
0,1
?
，
使得
g
?
x
0
?
?
0
，由单调性可判断出
：
x
?
?<
/p>
0,
x
0
?
,
g
'
?
x
?
?
0
?
f
'
?
< br>x
?
?
0,
x
?
?
x
0
,1
?
,
g
'
?
x
?
?
0
?
f
'
?
x
?
?
0
，所以
f
?
x
?
< br>在
?
0,1
?
< br>不单调，不等式不会恒成立
x
x
x
x
B
选项
：
e
1
?
e<
/p>
2
?
ln
x
2
?
ln
x
1
?
e
1
?
ln
x
1
?
e
2
?
< br>ln
x
2
，设
< br>f
?
x
?
?
e
x
?
l
n
x
可知
f
?
x
?
单调递增。所以应该
f
?
x
1
< br>?
?
f
?
x
2
?
，
B
错误
?
x<
/p>
?
1
?
e
e
x
1
e
x
2
e
x
'
C
选项：
x
2
e
?
x
1
e
?
，构造函数
f
?
x
?
?
，
f
?
x
?
?
，则
?
2
x
x
x
1
x
2
x
x
1
x
2
f
'
?
x
< br>?
?
0
在
x
?
?
0,1
?
恒成立。所以
f
?
x
?
在
?
0,1
?
单调递减，所以
f
?
x
1
?
?
f
?
x
2
?
成立
< br>e
x
1
e
x
2
e
x
D
选项：
x
2
e
?
x
1
e
?
，同样构造
f
?
x
?
?
，由<
/p>
C
选项分析可知
D
错误
?
x
x
1
x
2
x<
/p>
1
x
2
点评：本
题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将
x
1
,
x
2
分居在不等式两
侧后
都具备同构的特点，
所以考虑将
相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在
?
0,1
?
的单调性即可
<
/p>
5
?
x
?
1
?
2
x
?
sin
?
x
?
1
?
?
3
?
?
?
例
2
（
2015
< br>天津十二校联考）设
x
,
y
?
R
，满足
?
，则
5
?
?
?
y
?
1
?
?
2
y
?
sin
?
y
?
1
?
?
1
x
?
y
?
（
）
A.
0
B.
2
C.
4
D.
6
答案：
B
5
?
x
?
1
?<
/p>
2
x
?
sin<
/p>
?
x
?
1
?
?
3
?
?
?
?
解析：
?
5
?
?
?
y
?
1
?
?
2
y
?
sin
?
y
?
1
?
?
1<
/p>
5
?
x
?
1
?
2
?
x
?
1
?
?
sin
?
x
?
1
?
?
1
?
?
?
?
5
?
?
?
y
?
1
?
?
2
?
y
?
1
?
< br>?
sin
?
y
< br>?
1
?
?
?
1
设
f
?
t
?
?
t
5
?
2
t
?
sin
t
，可得
f
?
t
?
为奇函数，由题意可得：
< br>?
?
f
?
x
?
1
?
?
1
?
f
?
x
?
1<
/p>
?
?
?
f
?
y
?
1
?
?
?
?
f
?
y
< br>?
1
?
?
?
1
?
x
?
1
?
?
?
y
?
1
?
?
x
?
y
?
2
点评：本题研究对
象并非
x
,
y
，而是
?
x
?
1
?
,
?
y<
/p>
?
1
?
，进而可
变形为
5
?
x
?
1
?
2
?<
/p>
x
?
1
?
?
sin
?
x
?
1
?
?
1
?
?
?
，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的
?
5<
/p>
?
?
?
y
?
1
?
?
2
?
y
?
1
?
?
sin
?
y
?
1
?
?
?
1
结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而
利用
函数性质求解
3
< br>4
4
例
3
已知正项数列
{a
n
}
满足：
a
3
n
+
lna
n
+
2m
=
0,4a
n+2<
/p>
+
ln
√
a
n+2
+
m
+
ln
√
2
=
0,
则
a
n+2
=
。
a
n
答案：
2.
3
4
4
解析：
4a
3
n+2
+
ln
√
a
n+2
+
m
+
ln
√
2
=
0
整理得
4a
n+2
+
ln
√
2a
n+2
+
< br>m
=
0
，
4
3
4
等
式两边同乘以
2
，得
8a
3
n+2
+
ln
（
2a
n+2
）
+
2m
=
0
,
又
a
n
+
lna
n
+
2m
=
0
∴
a
n
与
2a
n+2
均为方程
x
3
+
lnx
+
2m
4
=
0
的根。
又函数
f
(
x
)
=
x
3
+
lnx
+
2m
4
为定义域内的增函
数，
所以
a
n
=
2a
n+2
，
所以
a
n+2
=2.
a
n
例
4 <
/p>
对
?
x
?
0
，不等式
2
ae<
/p>
2
x
?
ln
x
?
ln
a
?
0
恒成立，则实数
a
的最小值为
（
）
A
．
2
e
B
．
1
2
e
，
2
C
．
e
D
．
1
2
e
解析：已知函数
f
(
x
)
=
xe
x
在
(
-
1,
+
キ
)
由题意得：
2
ae
2
x
?
ln
x
ln
a
蕹
2
xe
2
x
x
x
x
x
x
ln
x
ln
=
e
a
< br>ln
蕹
2
x
ln
，令
=
t
，
2
at
?
ln
t
此
a
a
a
a
a
1<
/p>
1
1
时要构造过原点的切线放缩模型
ln
t
?
t
，故
2
a
?
，即
a
?
.
e
e
2
e
-
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