-
学习数学，领悟数学，秒杀数学。
第五章
导数
秒杀秘籍：同构式问题构造
xe
x
与
xlnx
?
1
?
?
1
?
x
我们发现，
f x
=
xe
在
-
1,
+?
-
，
而
f x
=
x
ln
x
在
,
?
，
在
,
+?
-
，
在考查同构式的类型中，
0
)
(
)
(
(
)
?
e
÷
?
e
÷
è
?
è
?
构造
xe
x
来求取值范围，构造
x
ln
x
来判断零点个数及分布；
1
ln
x
x
x
l
n
a
x
l
n
a
ln
x
e
同构式模型：
①
a
>
log
x
?
e
>
?
x
ln
a
×
e
>
x
ln
x
=
e
ln
x
?
x
ln
a
>
ln
x
?
a
>
e
，
a
ln
a
ln
x
1
②
e
l
x
>
?
l<
/p>
e
l
x
>
ln
x
?
l
xe<
/p>
l
x
>
x
ln
x
=
e
ln
x
ln
x
?
l
x
>
ln
x
?
l
>
；
l
e
x
+
1<
/p>
③
e
ax
+
a
x
>
ln
(
x
+
1
)
+
x
+
1
=
e
ln
(
)
+
ln
(
x
+
1
)
?
ax
>
ln
(
x
+
1
)
专
题
7 <
/p>
指
对
跨
阶
系
列
二
之
同
构
式
构
造
【
例
1
】
对于任意的
x
>
0,
不等式
a
x
>
log
0,
且
a
?
1)
恒成立，则
a
的取值范围是
a
x
(
a
>
．
ln
x
ln
x
解
：
a
x
>
log
a
x
?
e
x
ln
a
>
?
x
ln
a
×
e
x<
/p>
ln
a
>
x
ln
x
=
e
ln
x
ln
x
，
故
只
需
x
ln
a
>
ln
x
?
ln
a
>
，
由
于
ln
a
x
1
1
1
ln
x
e
=
f
e
=
，
ln
a
>
，即
a
>
e
.
f
(
x
)
=
在
(
0,
e
)
-
,
(
e
,
+?
)
?
，故
f
(
x
)
(
)
max
x
e
e
【
例
2
】
（
2018
?<
/p>
长郡月考
）
已知函数
f
(
x
)
?
ae
x
?
ln
x
?
1
，若
f
(
x
)
?
0
恒成立，则实数
a
的取值范围是
．
ì
ae
?
1
?
解：由题意得：
ae
x
?
ln
ex
?
aexe
x
?
ex
ln
ex
?
ae
×<
/p>
xe
x
?
e
ln
ex
ln
ex
恒成立，则需要满足
，
í
?
x
?
ln
ex
=
ln
x
+
1
?
1
显然
x
-
1
?
ln
x
恒成立，故只需
ae
?
1
，即
a
?
.
e
【
例
3
】
对
?
x
?
0
，不等式
2
ae
2
x<
/p>
?
ln
x
?
ln
a
?
0
恒成立，则实数
a
的最小值为（
）
239
学习数学，领悟数学，秒杀数学。
第五章
导数
2
C
．
e
1
D
．
2
e
A.
2
e
B.
1
2
e
x
x
ln
x
x
x
x
2
x
解：由题意得：
2
ae
2
x
?
ln
x
-
ln
a
?
2
xe
?
ln
=
e
a
ln
?
2
x
?
ln
，令
=
t
，
2
at
?
ln
t
此时要构造过
a
a
a
a
a
1
1
1
ln
t
?
t
2
a
?
<
/p>
原点的切线放缩模型
，故
，即
a
?
.
e
e
2
e
lnx
【
例
4
】
（
2018
?<
/p>
武邑期中
）设实数
?
0
，若对任意的
x
?
(0,
??
)
，不等式
e
x
?
…
0
恒成立，则
的取值
范围是
．
x
解：
e
?
lnx
1
…
0
?
xe
x
?
x
ln
x
?
e
ln
x
ln
x
，即
l
x
?
ln
x
恒成立，
l
?
.
e
【
例
5
】
（
2019
?<
/p>
衡水金卷
）易知
a
<
0
，不等式
x
a
+
1
×
e
x
+
a
ln
x
?
0
对任意的实数
x
< br>>
1
恒成立，则实数
a
的最
小值是（
）
1
A.
?
2
e
B.
?
2
e
1
C.
?
e
1
D.
?
e
解：
由题意得：
x
a
+
1
?
x
?
a
?
?
-
÷
，即
a
?
-
e
，选
D
.
?
ln
x
è
max
-
a
ln
x
1
1
ln
x
a
1
1
×
e
+
a
ln
x
?
0
?
xe
?
=
ln
=
e
ln
?
x
?
ln
对
x
>
1
恒成立，
此时
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
【
例
6
】
（
2019?
武
汉调研
）
已知函数
f
(
x
)
=
e
x
-
a
ln
(
ax
-
a
)
+
a
(
a
>
0
)
，
若关于
x
的不等式
f
(
x
)
>
0
恒成立，
则实数
a
的取值范围为（
）
B
．
0,
e
2
A
．
(0,
e
]
?<
/p>
?
?
a
?
C
．
[1,
e
2
]
D
．
(1,
e
2
)
e
x
x
解：由题意可知：
e
>
a
ln
ax
-
a
-
a
?
-
ln
a
>
ln
(
)
(
x
-
1
)
-
1
?
e
x
-
ln
a
+
x
-
ln
a
>
x
-
1
+
ln
(
x
-
1
)
，即构成同构式
x
-
1
e
x
-
ln
a
+
x
-
ln
a
>
e
ln
(
)
+
ln
(
x
-
1
)
，只需
x
-
ln
a
>
ln
(
x
-
1
)
?
x
-
ln
(
x
-
1
)
?
2
>
ln
a
，
a
<
e
2
，
故选
B
.
【
例
7
】
已知方程
x
2
ln
x
=
a
ln
a
-
a
ln
x
有
3
个实根，则实数
a
的取值范围是
．
a
解：构造
x
ln
x
=
a
ln
a
，根据定义域可知
a
>
0
，如图，当
x
>
1
时，
y
=
x
ln
x
>
0
，此时，仅存在
1
x
=
，
x
x
x
2
a
1
1
a
a
使
，此时只存在两个实根，不合题意；当
0
<
x
<
1
时，则一定存在
x
=
或者
<
x
<
1, 0
x
ln
x
=
ln
<
x
<
3
1
1
1
1
x
e
e
x
x
2
2
2
1
1
?
时，
a
?
.
（偏移情况），考虑到极值是左偏的，故
x
?
?
?
,
(
a
e
,
+
?
)
，定义域要求完全覆盖，故
ae
<
，即
a
<
1
0
÷
2
è
e
?
x
e
e
240
学习数学，领悟数学，秒杀数学。
第五章
导数
【
例
8
】
（
2019
?<
/p>
榆林一模
）已知不等式
e
x
?
1
…
kx
?
lnx
，对于任意的
x
?
(0,
??
)
恒成立，则
k
的最大值
．
解：要取等，看系数，
e
x
?
x
?
1
?
e
x
?
1
?
x
?
1
?
1
x
?
kx
?
x
?
1
?
kx
?
lnx
，由于取等条件不一，且并未
消除常
数项，则此放缩法失效，考虑消除常数项
-
1
，故构造
ln
x
?
x
-
1
取等条件是
x
=
1
，此时取等的
e
x
?
ex
，故
(
e
-
1
)
x
?
kx
，即
k
?
e
-
1
．
e
【
例
9
】
（
2019?
重
庆巴蜀月考
）已知
f
(
x
)
=
-
a
ln
x
．
x
（
1
）当
a
=
0
时，求函数
f
(
x
)
在
(
0,
+?
)
上的最小值；
x
e
（
2
）若
0
<
a
?
，求证：
f
(
x
)
>
0
.
2
xe
-
e
e
，当
x
?
(
0,1
时，
f x
-
，故
x
=
?
，当
x
?
1,
解：（
1
）
a
=
0
时，
f
(
x
)
=
，
f
?
)
( )
( )
(
+?
)
时，
f x
( )
2
x
x
f
(
x
)
min
=
f
(
1
)
=
e
；
x
x
x
2
e
x
e
x
e
2
（
2
）思路：此题若放缩
，定会遇到很多问题，所以根据
“
放对再放指
”
的原理，由于
f x
( )
>
x
-
2
ln
x
，
x
秒杀秘籍：放对再放指，常数是关键
关于指对跨阶，由于
e
属于递增过快，若不是存在
xe
=
e
x
x
x
+
ln
x
e
x
?
x
+
ln
x
+
1
或者
=
e
x
-
ln
x
?
x
-
ln
x
+
1
之类
x
的可以直接消除对数的，一般考虑对递增较慢的
ln
x
进行放缩，但在区间
(
0,1
)
内重点考虑切线放缩，通常
放缩有：
①
ln
x
?
x
-
1
；
②
ln
x
?
（取等条件
x
=
e
）
；
③
ln
x
?
x
-
1
?
ln
1
?
1
-
1
?
ln
x
?
1
-
1
（取等条件
x
=
1
x
x
x
x
e
）
；
④
ln
x
?
1
-
?
x
ln
x
?
x
-
1
；
⑤
ln
x
?
x
-
1
?
ln
ex
?
ex
-
1
?
ln
x
?
ex
-
2
（
取
等
条
件
x
=
1
）
；
⑥
e
1
x
ì
?
e
x
-
1
?
x
?
e
x
?
ex
取等条件
x
=
1
?
?
2
x
e
?
x
x
2
e
?
x
+
1
?
í
e
?
e
× ?
e
?
x
取等条件
x
=
2
；
2
4
?
?
3
x
e
?
e
?
e
× ?
x
3
e
?
x
取等条件
x
=
3
?
3
27
?
(
)
x
2
(
)
⑦
e
x
?
x
2
+
1
x
?
0
（
(
)
取
等
条
件
x
=
0
）
；
⑧
x
3
(
)
e
x
?
ex
+
(
x
-
1
)
2
(
x
?
0
)
（取等条件
x
=
0
以及
x
=1
，
⑦
和<
/p>
⑧
根据找基友证明）
e
2
先放
ln
x
，由于此题无常数项，故不采用
ln
x
?
x
-
1
来增加常数项，由于，
的出现暴露了
需要
“
降次
”
，
2
241
学习数学，领悟数学，秒杀数学。
第五章
导数
e
x
ex
x
e
2
x
故试用
ln
x
?
，则可得
f
(
x
)
>
-
>
0
，此时只需证明
e
>
x
，此时再利用
“
< br>指数找基友
”
即可证明不
e
x
2
2
2
e
2
e
2
x
等式，或者放缩成
e
?
x
>
x
也可以；
4
2
x
2
x
e
x
e
x
e
2
g x
=
ln
x
-
，
证明：
0
<
a
?
，由于
ln
x
-
，故
f
(
x
)
=
-
a
ln
x
>
-
ln
x
，故只需
e
-
e
ln
x
>
0
，令
2
x
e
x
2
x
2
e
1
1
ex
2
ex
2
x
x
e
2
g
x
=
ln
e
-
=
0
x
=
e
e
-
x
>
0
g
?
x
=
-
=
0
，
ln
x
?
当
时
( )
，
即
max
，只需证
e
x
<
2
令
h
(
x
)
=
e
x
，
e
，故只需证
x
e
e
2
e
2
(
)
(
)
ex
2
-
x
)
e
2
．
x
=
2
h
?
(
x
)
=
(
x
h
x
h
x
=
h
2
=
2,
+?
?
0,
2
-
，故
(
)
在
)
当
时
，
(
)
min
(
)
4
<
2
，即证
(
)
，在
(
e
．
【
例
10<
/p>
】
（
2018
?
甘肃会宁
）已知函数
e
x
f
(
x
)
?
,
g
(
x
)
?
ln
x
?
1
x
（
1
）
求函数
f
(
x
)
的单
调区间；（
2
）证明：
x
3
f
(
x
)
?
g
(
x
)
解（
1
）参考例
9
；（
2
）思路<
/p>
1
：第
（
1
）问不会白给，故利用
“
分而治之
”
，此过程一定要有凹凸函数的反转，
1
-
构造
f
(
x
)
=
e
>
ln
x
+
=
h e
x
)
，利用
f
(
x
)
min
=
e
>
h
(
x
3
=
h
(
)
m
ax
x
x
x
( )
2
3
2
e
=
；
3
思路
2
：
“
放对后
放指
”
，要证明
x
2
e
x
>
ln
x
+
1
，只需证明
x
2
e
x
>
x
-
1
+
1
=
x
>
ln
x
+
1
，故只需证明
xe
x
>
1
显然
<
/p>
失败，失败区间在
(
0,1
)
，故思考取等区间在
(
0,1
)
上的切线放缩式子，构造
ln
ex
?
ex
-
1
，取等条件为
x
=
1
，
e
即
ln
x
?
ex
-
2
，只需证
x
2
e
x
>
ex
-
1
，这时需要涉及找点的知识，虽然此式已经构造成功，但这里不详叙述；
2
e
ln
x
+
1
ln
x
+
1
e
2
ln
x
+
1
x
x
x
构造
e
?
ex
e
>
利用切线放缩，过原点切线
，
x
?
2
，故
e
?
ex
>
x
?
恒成立
．
2
x
3
x
3
x
2
达标训练
1
．
（
2018
?
广东期末
）已知函数
f
(
x
)
的定义域是
R
，其导函数是
f
?
(
x
)
，且
f
?
(
x
)
…
0
，则满足不等式
f
(ln
t
)
?
ln
t
?
1
?
f
(1)
的实数
t
的集合是
（
）
C
．
(0,
e
]
D
．<
/p>
[
e
?
1
,
e
]
A
．
[
e
,
??
)
B
．
[1,
??
）
2
．
（
2019
?
沈阳一模
）已知
函数
f
(
x
)
?
alnx
?
2
x
，若不等式
f
(
x
?
1)
?
ax
?
2
e
x
在
x
?
(0,
??
)
上恒成立，则实
数
a
的取值范围是
（
A.
a
?
2
m
）
B.
a
…
2
C.
a
?
0
D
．
0
?
a
?
2
3
．
（<
/p>
2019?
全国
Ⅰ
卷调研
）设实数
m
?
0
，若对任意的
x
?
e
，若不等式
x
2
ln
x
?
me
x
?
0
恒成立，则
m
的最
大值为（
A.
）
e
B.
3
1
e
C.
2
e
D.
e
242
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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