-
拉普拉斯变换
定义式：
设有一时间函数
f(t)
[0,
∞
]
或
0
≤
t
≤∞单边函数
,
其中，
S=
σ
+j
ω
是复参变
< br>量，
称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，
又称为
f(t)
的拉普拉斯变换；
右端的
F(S)
是拉
普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数
f(t)
变换为
以复
频率
S
为自变量的复频域函数
F(S)
，称为
f(t)
< br>的拉普拉斯象函数。
以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，
称为单边拉普拉斯变换。
如
f(t)
是定义在整
个时间轴上的函数，
可将其乘以单位阶跃函数，
即变为
f(t)
（
ε
t
）
，
则拉普拉斯变换为
F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt
其中积分下标取
0-
而不是
0
或
0+
，是为了将冲激函数δ<
/p>
(t)
及其导函数纳入拉普
拉斯变换的范
围。
z
变换可将分散的信号（现在主
要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉
普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到
频域）是一样的。
拉普拉斯变换
是将时域信号变换到“复频域”，与
傅里叶变换
的“频域”有所区
别。
FT[f(t)]=
从负无穷到正无穷对
[f(t)exp(-jwt)]
积分
,LT[f(t)]=
从零到正无穷对
[f(t)exp(-st)]
积分
,(
由于实际应用，通常只做单边
拉普拉斯变换
，即积分从零开
始
) .
具体地，在
傅里叶
积分变换中，所乘因子为
exp(-jwt)
，此处，
-jwt
显然是为
一纯虚数；而在
拉普拉斯变换
中，所乘因子为
exp(-st)
，其中
s
为一复数：
s=
D+jw,jw
是为虚部，相当于
Fourier
变换中的
jwt
，而
D
则是实部，作为衰减
因子，这样就能将许多无法作
< br>Fourier
变换的函数（比如
exp(at),a>
0
）做域变
换。
拉普拉斯变换
主要用于电路分析，<
/p>
作为解微分方程的强有力工具
（将微积
分
运算转化为乘除运算）。但随着
CAD
的兴起，这一作用已不怎
么受重视了，
但关于其收敛域的分析（零极点图）依然常用。
Fourier
变换则随着
FFT
算法
（快速傅立叶变换）
的发展已经成为最
重要的数学工具应用于数字信号处理领域。
Z
变换
简单
地说，就是离散信号
(
也可以叫做序列
)
的
拉普拉斯变换
，可由抽样信号的
拉普拉斯变换
导出（如果你想要更多，我可以导给你看），表示式如下：
<
/p>
ZT[f(n)]=
从
n
为负无穷到正无穷对
[f(n)Z^(-n)]
求和<
/p>
,
其所变换的域称之为“
Z
域
”。
傅立叶变换是拉普拉斯变换的一种特例，
在拉普拉斯变换中，
只要令
Re[s]=1,
就得到傅立叶变换。
当然，
两者可以转换的前
提是信号的拉普拉斯变换的收敛域
要包含单位圆（即包含圆周上的点）。
很多信号都不一定有傅立叶变换，
因为狄力克雷条件比较苛刻，
而绝大多数
信号都
有拉普拉斯变换。
故对于连续信号，
拉普拉斯变换比傅立叶变换
用得更广
泛。
两者的共同点：
都把时域函数转换为频域函数
（对于拉普拉斯变换来说，
是转到
复频域上）。另外，两者都能很方便地解出低阶微分方程。
fourier
变换
是
laplace
变换
的特例
s=d+jw
实分量
d=0
laplace
变换是
z
变换的特例
z
的模等于
1
在单位圆上的
z
变换
L(s)=
积分
l(x)*e-st s=d+jw
w
是角频率
传递函数
transfer function
零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换与激励（即输入）量的
拉普拉斯变换之比。记作
G
（
s
）＝
Y
（
s
）／
U
（
s
），其中
Y
（
s
）、
U
（
s)
分别
为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
传递
函数是描述线性系统动态特性的基本数
学工具之一，
经典控制理
论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹法——都是
建立在传递函数的基础之上。
系统的传递函数与描述其运动规律的微分方程是对
应的。
可根据组成系统各单元的传递函数和它们之间的联结关系导出整体系统的
传
递函数，
并用它分析系统的动态特性、
稳定性，
或根据给定要求综合控制系统，
设计满意的控制器。以传递函数为工具分析和综
合控制系统的方法称为频域法。
它不但是经典控制理论的基础，
而且在以时域方法为基础的现代控制理论发展过
程中，
也不断发
展形成了多变量频域控制理论，
成为研究多变量控制系统的有力
工具。传递函数中的复变量
s
在实部为零、虚部为角频率时就是
频率响应。
传递函数
transfer
function
把具有线性特性的对象的输入与输出间的关系，
用一个函数
（输出波形的拉普拉
斯变换与输入波形的拉普拉
斯变换之比）
来表示的，
称为传递函数。
原是控制工
程学的用语，在生理学上往往用来表述心脏、呼吸器官、瞳孔等的特性。<
/p>
第
八
章
拉
普
拉
斯
变
换
基
本
要
求
：
1.
掌
握
拉
普
拉
< br>斯
变
换
的
基
本
概
念
以
及
常
见
函
数
的
拉
普
拉
斯
正
变
换
；
2.
利
用
拉
普
< br>拉
斯
变
换
的
基
本
定
理
，
拉
普
拉
斯
变
换
表
以
及
部
分
分
式
展
开
< br>法
对
常
见
函
数
进
行
拉
普
拉
斯
反
变
换
；
3.
利
用
拉
普
拉
斯
正
反
变
换
求
解
线
性
动
态
电
路
的
< br>常
微
分
方
程
。
引
言
：
所
谓
复
频
域
分
析
，
是
指
线
性
动
态
< br>电
路
的
一
种
分
析
方
法
，
这
种
方
法
不
是
在
时
间
域
里
直
接
进
行
< br>分
析
和
求
解
，
而
是
变
换
到
复
频
域
的
范
围
内
求
解
。
所
使
用
的
< br>教
学
工
具
就
是
拉
普
拉
斯
变
换
.
拉
普
拉
斯
变
换
是
一
种
积
分
变
< br>换
，
是
解
线
性
常
微
分
方
程
，
研
究
线
性
系
统
的
一
个
重
要
工
具
< br>。
下
面
回
顾
“
变
换
”
的
概
念
。
1
、
对
数
与
指
数
的
变
换
< br>
为
求
乘
积
ab
可
先
取
对
数
ln(ab)= lna+lnb
再
取
指
数
运
算
e
ln(
ab
)<
/p>
?
e
(ln
a<
/p>
?
ln
b
)
?
ab
2
、
相
量
与
正
弦
量
的
变
换
为
了
计
算
正
弦
稳
态
响
应
，
可
将
激
< br>励
源
变
为
相
量
，
然
后
在
频
率
域
里
求
相
量
（
即
相
量
法
）
，
然
< br>后
再
变
回
时
域
得
到
正
弦
时
间
函
数
响
应
。
?
e
j
?
t
u
(
t
)
?
U
m
s
i
< br>n
(
?
t
?
?
)
?
I
m
U
m
?
?
j
?
?
?
U
m
?
?
此
< br>复
数
的
模
U
m
就
是
正
弦
量
u(t)
的
振
其
中
U
m
?
U
m
e
幅
值
，
幅
角
就
是
< br>u(t)
的
初
相
角
。
这
种
对
应
关
系
就
是
一
种
变<
/p>
换
。
§
8-1
拉
普
拉
斯
变<
/p>
换
讲述要点：
1.
拉
< br>普
拉
斯
变
换
的
定
义
2.
常
见
函<
/p>
数
的
拉
普
拉
斯
变
换
一
．
拉
普
拉
斯
变
换
定
义
式
：
设
有<
/p>
一
时
间
函
数
f(t) [0,∞
]
或
0≤
t≤
∞
单
边
函
数
?
?
0
?
f
(
t
)
e
?
< br>s
t
d
t
?
F
(
s
)
其
中
，
S=
ζ
+j
ω
是
复
参
变
量
，
称
为
复
频
率
< br>。
左
端
的
定
积
分
称
为
拉
普
拉
斯
积
分
，
又
称
为
f(t)
的
拉
普
拉
斯
变
换
；
右
端
的
F(S)
是
拉
普
< br>拉
斯
积
分
的
结
果
，
此
积
分
把
时
域
中
的
单
边
函
数
f(t)
变
换
为
以
复
频
率
S
为
自
变
量
的
复
频
域
函
数
F(S)
，
称
为
f(t)
的
拉
普
拉
斯
象
函
数
。
<
/p>
以
上
的
拉
普
拉
斯
变
换
是
对
单
边
函
数
的
拉
普
拉
斯
变
换
，称
为
单
边
拉
普
拉
斯
变
换
。
如
f(t)
是
定
义
在
整
个
时
间
轴
上
的
函
数
，可
将
其
乘
以
单
位
阶
跃
函
数
，即
变<
/p>
为
f(t)
ε
（
t
）
，
则
拉
普
拉
斯
变
换
为
F
(
S
)
< br>?
?
?
0
?
f
(
t
)
?
（
t
)
e
?
s
t
d
t
其
中
积
分
下
< br>标
取
0
-
而
不
是
0
或
0
+
，
是
为
了
将
冲
激
函
数
δ
(t)
及
其
导
函
数
纳
< br>入
拉
普
拉
斯
变
换
的
范
围
。
二
．
拉
普
拉
斯
反
变
换
1
f
< br>(
t
)
?
?
(
t
)
2
?
j
?
?
?
?
j
?
?
j
?
F
(
S
)
e
< br>S
t
d
S
这
是
复
变
函
数
的
积
分
拉
氏
变
换
和
拉
氏
反
变
换
< br>可
简
记
如
下
-
1
F(S)=L[f(t)]
；
f(t)=L
[F(s)]
三
．
拉
氏
变
换
的
收
敛
域
：
例
8-1-1
单
边
指
数
函
数
e
a
t
?
(
t
)
（
其
中
a
为
复
常
数
< br>）
F
(
S
)
?
?
?
0
?
e
?
(
t
)
e
a
t
?
S
t
d
t
?
< br>?
?
0
?
e
?
(
S
?
a
)
t
?
(
t
)
d
t
??
1
e
?
(
s
?
a
)
t
?
(
s
?
a
)
?
0
?
当
R
e
[
s
?
a
]
＞
0
时
，
结
果
< br>为
有
限
值
即
F
(
s
)
?
L
[
e
a
t
?
(
t
)
]
?
1
s
< br>?
a
a
t
具
体
的
说
,
即
Re[s]-
Re[a]=
ζ
- Re[a] > 0
有
ζ
> R
e[a]
这
时
e
ε
(t)
的
拉
氏
变
换
存
在
。
我
们
称
ζ
> Re[a]
的
s=
ζ
+j
ω
的
范
围
为
该
函
数
的
拉
氏
变
换
的
收
敛
域
，
一
般
而
言
< br>，
对
一
个
具
体
的
单
边
函
数
f(t)
，
并
非
所
有<
/p>
的
ζ
值
都
能
使
ζ
t
ζ
t
f(t)e
绝
对
可
积
，
即
把
能
使
用
f(t)e
绝
对
可
积
的
s
的
范
围
称
为
单
边
函
数
f(t)
的
拉
氏
变
换
的
收
敛
域
。
收
敛
域
可
以
在
s
平
面
上
表
示
< br>出
来
，
如
下
图
。
j
ω
收
敛
域
s
平面
σ
σ
o
0
收敛轴
收敛坐标
如
前
例
变
换<
/p>
的
收
敛
域
为
:
ζ
>
Re[a]=
ζ
O
例
8-1-2
，
单
位
冲
激
函
数
δ
(t)
的
象
函
数
F
(
s
)
?
L
[
?
(
t
< br>)]
?
?
?
(
t
)
e
?
s
t
d
t<
/p>
?
e
?
s
t
0
?
?
t
?
0
?
?
0
?
?
(
t
)
d
t
?
1
收<
/p>
敛
域
为
整
个
s
平
面
例
8-1-3
单
位
阶
跃
函
数
ε
（
t
）
的
象
函
数
< br>F
(
s
)
?
L
[
?
(
t
)]
?
?<
/p>
?
0
?
?
(
t
)
e
?
s
t
d
t
?
?
?
0
?
e
?
s
t
d
t
?<
/p>
1
?
s
t
e
?
s
?
0
?
?
1
s
收
敛
域
ζ
>0
,
右
半<
/p>
s
平
面
§
8-2
拉
普
拉
斯
变
换
的
基
本
性
质
讲述要点：
微
分
定
理
，
积
分
定
理
，
< br>时
域
卷
积
定
理
假
定
以
下
需
进
行
拉
氏
变
换
的
函
数
，
其
拉
< br>氏
变
换
都
存
在
1
、
线
性
组
合
定
理
L[af<
/p>
1
(t)±bf
2
(t)]=aL[f
1
(t)]±b[f
2
(t)]
若
干
个
原
函
数
的
线
性
组
合
的
象
函
数<
/p>
，
等
于
各
个
原
函
数
的
象
函
数
的
线
性
组
合
。
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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