-
数学学科教师辅导教案
学员编号：年级：课时数：
学员姓名：辅导科目：学科教师：
授课类型
星级
教学目的
授课日期及时段
T
：流水行船问题应用题
★★★★★
T
：诱导公式
(2)
★★★★★
T
：作业
★★★★★
1
、
掌握流水行船的基本概念
2
、能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系
2013
年
03
月
30
日
12
：<
/p>
50
——
14
：
50
教学内容
专题：流水行船问题应用题
★
教学目标
1
、掌握流水行船的基本概念
2
、能够准确处理流水行船中相遇和追及的速度关系
< br>
【解读：知识梳理环节要注意“诱导公式过程的推导”的讲解．
】
知识梳理
10
min.
船在江河里航行时，
除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和
< br>所行的路程，叫做流水行船问题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量
（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到
.
此外，流水
行船问题还有以下两个基本公式：
顺水速度
=
船速
+
水速，（
1
）
逆水速度
< br>=
船速
-
水速
< br>.
（
2
）
这里，
船速是指船本身的速度，
也就是在静水中单位时间里所走过的路程
.
水速，
是指水在单位时间里流过的路程
< br>.
顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程
。
根据
加减法互为逆运算的关系，由公式（
l
）可以得到：
水速
=
顺水速度
-
船速，
船速
=
顺水速度
-
水速。
由公式（
2
）可以得到：
水速
=
船速
-
逆水速度，
船速
< br>=
逆水速度
+
水速。
这就是说，只要知
道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和
顺水速度，根据公式（
1
）和公式（
2
），相加和相减就可以得到：
船速
=
（顺
水速度
+
逆水速度）÷
2
，
< br>水速
=
（顺水速度
-
逆水速度）÷
2
。
典例精讲
27
min.
例
< br>1
：
一艘每小时行
25
千米的客轮，在大运河中顺水航行
140
千米，
水速是每小时
3
千米，需要行几个小时？
解析：
顺水速度为
25
?
3
?
28
(
千米
/
时
)
，需要航行
140
?
28
?
5
(
小时
)
．
例
2
：
两个码头相距
352
千米，一船顺流而下，行完全程需
要
11
小时
.
逆流而上，行完全程需要
16
小时，求这条河
< br>水流速度。
解析：
（
352÷
11-352÷
16
）
÷
2=5
< br>（千米
/
小时）
．
例
3
：
解析
顺水速度：
208÷
8=26
（千米
/
小时）
，逆水速度：
208÷
13=16
（千米
/
小时）<
/p>
，船速：
（
26+16
< br>）
÷
2=21
（千米
/
小
时）
，水速：
（
26
—
16
）
÷
2=5
（千米<
/p>
/
小时）
例<
/p>
4
：
一位少年短跑选手，顺风跑
90
米用了
10
秒，在
同样的风速下逆风跑
70
米，也用了
1
0
秒，则在无风时他
跑
100
米要用秒．
解析：本题类似于流水行船问题．
根
据题意可知，这个短跑选手的顺风速度为
90
?
10
?
9
米
< br>/
秒，逆风速度为
70
?
10
?
7
米
/
秒，那么他在
无风时的速度为
(9
?
7)
?
2
?
8
米
/
秒．
在无风时跑
100
米，需要的时间为
100
?
8
?
12.5
< br>秒．
例
5
：
一只小船在静水中的速度为每小时
25
千米．它在长
144
千米的河
中逆水而行用了
8
小时．求返回原处
需用
几个小时？
< br>解析：
4.5
小时
例
6
：
（难度等级※）一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时
6
千米，顺水下行需要
4
小时，返回上行需要<
/p>
7
小时．求：这两个港口之间的距离
?
解析：
（船速
+6
）
×
4=
（船速
-6
）
×
7
，可得船速
=22
，两港之间的
距离为：
（
22+6
）
×
4=112
千米
．
例
7
：
甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的
两个码头相对开出，
4
小时后相遇．已知水流速度是
6
千米
/
时．求：相遇时
甲、乙两船航行的距离相差多少千米？
解析：在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设甲船顺水，
乙船逆水．甲船的顺水速度
?
船速
?
水速，乙船的逆水速度
?
船速
?
水速，故：速度差
?<
/p>
(
船速
?
水速<
/p>
)
?
(
船速<
/p>
?
水速
)
?
2
?
水速，
即：<
/p>
每小时甲船比乙船多走
6
?
2
?
12
(
千米
)
．
4
< br>小时的距离差为
12
?
4
?
48
(
千
米
)
例
8
：
（难度等级※※）乙船顺水航行
2
小时，行了
120
千米，
返回原地用了
4
小时
.
甲船顺水航行同一段水路，用
了
3
小时
.
甲船返回原地比去时多用了几小时
< br>?
解析：乙船顺水速度：
1
20÷
2=60
（千米
/
小时）
.
乙船逆水速度：
1
20÷
4=30
（千米
/
小时）
。水流速度：
（
60
-30
）
÷
2
＝
15
（千米
/
小时）
.
甲船顺水速度：
12O÷<
/p>
3
＝
4O
（千米
/
小时）
。甲船逆水速度：
40-2×
15=10
（千米
/
小
时）
.
甲船逆水航行时间：
120÷
10=12
（小时）
。甲船返回原地比去时多用时间：
12-3=9<
/p>
（小时）
．
,
例
9
：
（难度
等级※※）船往返于相距
180
千米的两港之间，顺水而下需用
10
小时，逆水而上需用
15
小时。由于暴
雨后水速增加，该船顺水而行只需
9
小时，那么逆水而行需要几小时
?
解析：本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出
.
但是由于暴雨的影响，水速发生变
化，要求船逆水而
行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度
.
船在静水
中的速度是：
（
180÷
10+180
÷
15
）
÷
2
=15
（千米
/
小时）
.
暴雨前水流的速度是：
（
180÷
10-180÷
15
）
÷
2=3
（千米
/<
/p>
小时）
.
暴雨后水流的速度是：
180÷
9-15=5
（千米
/
小时）
.
暴雨后船逆水而
上需用的时间为：
180÷
（
15-5
）
=18
（小时）
．
例
10
：
两港相距
560
千米，甲船往返两港需
105
小时，逆流航行比顺流航行多用了
35
小时．乙船的静水速度
是
甲船的静水速度的
2
倍，那么乙船往返两港需要多少小时？
（
105
?
35
）
?
2
?
70
（小时）
（
105<
/p>
?
35
）
?
2
?
35
（小时）
解析：先求出甲船往返航行的时间分别是：
，
< br>．再求出甲
船逆水速度每小时
560
?
70
?
8
（千米）
，顺水速度每小时
560
?
35
?
16
（
千米）
，因此甲船在静水中的
（
16<
/p>
?
8
）
?
2
?
12
（千米）<
/p>
（
16
?
8
）
?
2
?
4
（千米）
速度是每小时
，水流的速度是每小时
，乙船在静水中的
（
< br>24
?
4
）
?
560
?
（
24
?
4
）
?
48
速度是每小时
12
?
2
?
24
（千米）
，
所以乙船往返一次所需要的时间是
560
?
（小时）
．
例
11<
/p>
：
（难度等级※※）一条小河流过
A
，
B,
C
三镇<
/p>
.A,B
两镇之间有汽船来往
,
汽船在静水中的速度为每小时
11
千米
.B,C
两镇之间有木船摆渡
,
木船在静水中的速度为每小时
3.5
千米
.
已知
A,C
两镇水路相距
50
千米
,
水
流
速度为每小时
1.5
千米
.
某人从
A
镇上船顺流而
下到
B
镇
,
吃
午饭用去
1
小时
,
接着乘木船又顺流而下到
C
镇
,<
/p>
共用
8
小时
.<
/p>
那么
A,B
两镇间的距离是多少千米
?
解析：如下画出示意图
有
A
?
B
段顺水的速度为
11+1.5=12.5
千米
/
小时
,
有
B
?
C
段顺水的速度为<
/p>
3.5+1.5=5
千米
/
小时．
而从
A
?
C
全程的行驶时间为
8-1=7
< br>小时．设
AB
长
x
千米
,
有
25
千米
.
x
50
?
x
?
?
7
,
解得
x
=25
．所以
A,B
两镇间的距离是
12.5
5
例
12
：
（难度等级※※）河水是流动的，在
B
点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从
A
点到
B
点，然后
穿过湖到
C
< br>点，共用
3
小时；若他由
C
到
B
再到
A
，共需
6
小时．如果湖水也是流动的，速度等于
河水速度，从
B
流向
C
，那么，这名游泳者从
A
到
B
再到
C
只需
2.5
小时；问在这样的条件下，他
由
C
到
B
再到
A
，共需多少小时？
解析：设人在静水中的速度为
x
，水速为
y
，人在静水中从
B
点游到
C
点需要
t
小时．
根据题意，有
6
x
?
< br>(6
?
t
)
y
?
3
x
?
(3
?
t
)
y
，即
x
?<
/p>
(3
?
2
t
)
y
，同样，有
2
.5
x
?
2.5
y
?
3
x
?
(3
?
t
)<
/p>
y
，即
3
2
x
?
(2
t
?
1)
y
；所以，<
/p>
2
t
?
1
?
3
?
t
，即
t
?
1.5
，所以
x
?
2
y
；
(2
x
?
y
)
?
2.5
?
(2
y
?
y
)
?
< br>7.5
(
小时
)
，
3
所以在这样的条件下，
他由
C
到
B
再到
A
共需
7.5
小时．
巩固练习：
1
，
光明号
渔船顺水而下行
200
千米要
10
小时，逆水而上行
120
千米也要
10
小时．那么，在静水中航行
320
千米
需要多少小时？
解析：
（
20
?
12
）
?
2
?
16<
/p>
（千米
顺水速度：
200
?
10
?
20
（千米
/
时）
，逆水速度：<
/p>
120
?
10
?
12
（千米
/
时）
，静水速度：
/
时）
，该船在静水中航行
320
千米需要
320
?
16
?
20
（小时）
．
2
，
甲、<
/p>
乙两船在静水中速度相同，
它们同时自河的两个码头相对开出，<
/p>
3
小时后相遇．
已知水流速度是
4
千米
/
时．
求：
相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？
解析：
在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的呢？不妨设甲船顺水，乙船逆<
/p>
水．甲船的顺水速度
?
船速
?
水速，乙船的逆水速度
?
船速
?
水速，故：速度差
?
(
船速
?
水速
)
?
(
船速
?
水
速
)
?
2
?
水速，即：每小时甲船
比乙船多走
4
?
2
?
8
(
千米
)
．
3
小时的距离差为
8
?
3
?
< br>24
(
千米
)
< br>．
3
，
一只船在河里航行，
顺流而下每小时行
18
< br>千米．
已知这只船下行
2
小时恰
好与上行
3
小时所行的路程相等．
求<
/p>
船速和水速．
18
?
2
?
3
?
12
(
千
米
/
时
)
；<
/p>
18
?
15
?<
/p>
3
(
千
(18<
/p>
?
12)
?
2<
/p>
?
15
(
千米<
/p>
/
时
)
；
解析：
这只船的逆水速度为：
船速为：
水流速度为：
米
/
时
)
4
，乙
两港相距
360
千米，一艘轮船往返两港需
35
小时，逆水航行比顺水航行多花了
5
< br>小时，现在有一艘机帆船，静
水中速度是每小时
12
千米，这艘机帆船往返两港需要多少小时？
解析：
轮
船逆水航行的时间为
?
35
?
5
?
?
2
?
20
(
小时
)
，
顺水航行的时间为
20
?
5
?
15<
/p>
(
小时
)
，
轮船逆流速度为
360
?
< br>20
?
18
(
< br>千
米
/
时
)
，顺流速度为
360
?
15
?
24
(
千米
/
时
)
，水速为
?
24
?
18
?
?
2
?
3
(
千米
/
时
)
，所以机帆船往返两
港需要的时间为
360
?
?
12
?
3
?
?
360
?
?
12
?
3
?
?
64
(
小时
)
5
，轮船用同一速度往返
于两码头之间，它顺流而下行了
8
个小时，逆流而上行了
10
小时，如果水流速度是每小时
3
千
米，两码头之间的距离是多少千米？
解析：
方法一：
由题意可知，
(
船速
?
3
)
?
8
?
(
船速
?
< br>3
)
?
10
，
可得船速
?
27
千米
/
时，
两码头之间的距离
为
?
27
(
千
米
)
．
方法
二：由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相同，它们用的时间比为
8
:10
，那么时间小的速度大，因此顺
水速度和逆水速度比
就是
10
:
8
（由于五年级学生还没学习反比例，此处教师可以渗透比例思想，为以后学习
用比例解行
程问题做些铺垫）
，设顺水速度为
10
份，逆水速度为
8
份，则水流速度为
(
10
?
8)
?
2
?
1
份恰好是
3
千米
/
时，所以顺水速度是
10
?
3
?
30
(
千米
/
时
)
，所以两码头间的距离为
< br>30
?
8
?
240
(
千米
)
< br>．
6
，一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时
6
千米，顺水下行需要
4
小时，返回上行需要
7
小时
．
求这两个港
口之
间的距离
．
解析：
112
千米
7
，
轮船用
同一速度往返于两码头之间，在相同时间内如果它顺流而下能行
10
千米，如果逆流而上能行
8
千米，如果
水流速度是每小时
3
千米，求顺水、逆水速度
,
解析：由题意知顺水速度与逆水速度比为
10
:8
，设顺水速度为
10
份，逆水速度为
8
份，则水流
速度为
(10
?
8)
< br>?
2
?
1
份
恰好是
3
千米
/
时，所以顺水速度是
10
?
3
?
30
(
千米
/
时
)
，逆水速度为
8
?
3<
/p>
?
24
(
千米<
/p>
/
时
)
8
，甲、乙两船分别从
A
< br>港顺水而下至
480
千米外的
B
港，静水中甲船每小时行
56
千米，乙
船每小时行
40
千米，水速
为每小时<
/p>
8
千米，乙船出发后
1.5
小时，甲船才出发，到
B
港后返回与乙迎面相遇，此
处距
A
港多少千米？
解析：甲船顺水行驶全程需要：
48
0
?
(56
?
8)
?
7.5
(
小时
)
，乙船顺水行驶全程需要：
4
80
?
(40
?
8)
?
10
(
小时
)
．甲船到
达
< br>B
港时，乙船行驶
1.5
?
7.5
?
9
(
小时
)
，还有
1<
/p>
小时的路程
(48
千米
< br>)
①，即乙船与甲船的相遇路程．甲船逆水与
乙船顺水速
度相等，故相遇时在相遇路程的中点处②，即距离
B
港
24
千米处，此处距离
A
港
480
?
24
?
456
(
千
米
).
注意：①关键是求甲船到达
B
港后乙离
B
港还有多少距离②解决
①后，要观察两船速度关系，马上豁然开朗。
这正是此题巧妙之处，如果不找两船速度关
系也能解决问题，但只是繁琐而已，奥数特点就是体现四两拨千斤
中的巧劲
随堂检测：
1
，
某船在静水中的速度是每小时
15
千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了
8<
/p>
小时，水速每小时
3
千米，问从乙
地返回甲地需要多少时间？
分析要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、
乙两地之间的路程和逆水速度。
解：
<
/p>
从甲地到乙地，顺水速度：
15+3=18
（千米
/
小时），
甲乙两地路程：
< br>18
×
8=144
（千米），<
/p>
从乙地到
甲地的逆水速度：
15
—
3=12
（千米
/
小时），
返回时逆行用的时间：
144
÷
12
＝
12
（小时）。
答：从乙地返回甲地需要
12
小时。
2
，
小刚和小强租一条小船，
向上游划去，
不慎把水壶掉进江中，
当他们发现并调过船头时，
< br>水壶与船已经相距
2
千米，
假定
小船的速度是每小时
4
千米，水流速度是每小时
2
千米，那么他们追上水壶需要多少时间？
分析此题是水中追及问题，已知路
程差是
2
千米，船在顺水中的速度是船速
+
水速
.
水壶飘流的速度只等于水速
，
所以速度差
=
船顺水速度
-
水壶飘流的速度
=
（船
速
+
水速）
-
水速
=
船速
.
解：路
程差÷船速
=
追及时间
2
÷
4=0.5
（小时）。
< br>答：他们二人追回水壶需用
0.5
小时。
3
，甲、乙两船在静水中速度分别为每小时
24
千米和每小时
32
千米，两船从某河相距
336
千米的两港同时出发相向而
行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？
解：①相遇时用的时间
336
÷（
24+32
）
=336
÷
56
=6
（小时）。
②追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：
336
÷
（
32
—
24
）＝
42
（小时）。
答：两船
6
小时相遇；乙船追上甲船需要
42
小时。
4
，有一船行驶于
120
千米长的河中，逆行需
10
小时，顺行要
6
小时，求船速和水速。
这题条件
中有行驶的路程和行驶的时间，这样可分别算出船在逆流时的行驶速度和顺流时的行驶速度，再根据和
差问题就可以算出船速和水速。列式为
逆流速：
120
÷
10=12
< br>（千米
/
时）
顺流速：
120
÷
6=12<
/p>
（千米
/
时）
船速：
（
20+12
< br>）÷
2=16
（千米
/
时）
水速：
（
20
—
12
）÷
2=4
（千米
/
时
）
答：船速是每小时行
16
千米，水速是每小时行
4
千米。
5
，轮船以同一速度往返
于两码头之间。它顺流而下，行了
8
小时；逆流而上，行了
10
小时。如果水流速度是每小时
3
千米，求两码头之间的距离。
在同一线段图
上做下列游动性示意图
36-1
演示：
顺流
逆流
8
B
10
图
36
—
—
1
A
因为
水流速度是每小时
3
千米，所以顺流比逆流每小时快
6
千米。如果怒六时也行
8
小时，则只能到
A
地。那么
A
、
B
的距离就是顺流比逆流
< br>8
小时多行的航程，即
6
×
8=48
千米。而这段航程又正好是逆流
2
小时所行的。由此
得出逆流时的速度。列算式为
-
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-
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-
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