-
2014
高教社杯
全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则
.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮
件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问
题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的
,
如果引用别人的成果或其他
公开的资料（包括网上查到的资料）
，必须按照规定的参考文献的表述方式在正
文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平
性。如有违反
竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从
A/B/
C/D
中选择一项填写）
：
我
们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）
：
< br>
所属学校（请填写完整的全名）
：
参赛队员
(
打印并签名
)
：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人
(
打印并签名
)
：
日期：
年
月
日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
201
4
高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编
号
专
用
页
评
阅
人
评
分
备
注
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
摘要
投票是生活中经常被用到的在一定时间内有效且公平的推选出
一定人数的
一种决策方法。投票规则的制定与评委人数、参选人数和当选人数都紧密相关
，
在一定的已知投票条件下，
不同的投票规则会产生不同的投票
结果。
因此，
对不
同的投票条件制定对
应的投票规则显得尤为重要。
本文就是对一定投票条件下的
投票
规则的制定、完善与推广。
对于问题一，
我们先假设每个评委投赞成票的数目相同，
再用概率统计的知
识根据下面的式子：
n
1
?
1
n
1
?
1
C
C
< br>i
i
39
?
i
27
27
P
(
i
)
?
C
(
)
(1
?
)
1
39
算出
每个候选人被选中的概率，由
n
1<
/p>
n
1
C
28
C
28
n
1
?
1
n
1
?
1
C
C
i
i
39
?
< br>i
27
T
?
28
?
C
39
(
27
)
(1
?
)
n
1
n
1
C
C
i<
/p>
?
26
28
28
39
一次投票后能够选出的人数，当
人
数小于规定需投出的人数时再进行第二次投票。
再用
matla
b
和
Excel
画出一次
或两次投票选出人数和需投的票数的关系。用
spss
软件分析出投票数与选出人
3
2
数的
函数关系式：
T
?
0.009
n
?
0.196
n
?
1.117
n
?
1.484
，用非线性规划求出最优
的
投票规则：当投票次数为
1
次并且每位评委投赞成票的数目为<
/p>
18
票时最简便
省时，此时选出的先进工
作者为
12
人。
对于问题二，利用一中的式子，代入
18
算出具体值：
n
1
?
1
n
1
?
1
C
C
i
< br>i
39
?
i
27
27
P
(
i
)
?
C
(
)
(1
?
)
?
39
当
n<
/p>
1
=18
时，
2
=44.94%
n
1
n
1
C
C
i
?
26
28
28
39
则一次投票成功的概率
P
=14.73%
当第二次投票成功时
①第
1
次投票每位评委投赞成票数为
1~14
，第二次评委投赞成票为
18
，两次候
选人选出人数为
12
人，成功
的概率为
14.73%
②第
1
次投票每位评委投赞成票数为
15
，第二次评
委投赞成票为
17
，两次候选
人选出人
数为
11
人，成功的概率为
11.17
%
③第
1
次投票每位评委投赞成票数
为
16
，第二次评委投赞成票为
15<
/p>
，两次候选
人选出人数为
12
人，成功的概率为
13%
④第
< br>1
次投票每位评委投赞成票数为
17
，第二次评委投赞成票为
12
，两次候选
< br>人选出人数为
10
人，成功的概率为
23.87%
对于问题三，在
matlab
中，随机输入每位评委投赞成票的数目，第一次选
出的人数
< br>T
如果大于
13
则报输入错误；
如果小于
10
则进入循环，进行第二次
投票；如果恰好在
10
到
13
之间则依次投票得出结果。
对于问题四，问题
五，候选人获赞成票记为
1
，获反对票或弃权票记为
0
，
构造投票计分矩阵
m
个候选
人，
n
个评委
编程思路：将每位候选人得分累计与
2/3n
进行比较，大于
2/3n
时，选出该
候选人，若选出候
选人数超过
k
，选出前
k
名评分高的；若选出的候选人数在
4/5k
~k
人之间，则投票成功；若选出的候选人
数少于
4/5k
人，则对剩下的候选
人
进行下一轮投票。
关键词：概率统计
非线性规划
投票计分矩阵
一、问题重述
1.1
引言
投票制度是指根据投票人的选择以
选出结果的方法，
多用于授奖、
选出行动
计划、
由电脑程式决定复杂问题的解决方案。
它规定了选民表
达民意的方式，
通
常是以“少数服从多数”的理念为基础，票多
者为胜。
然而，
当可供选择的方案多
于两个，
可能没有一个获得规定的支持票数，
采
用不同的投票制度便会产生不同的结果，
所以，
投票制
度的选取对选举结果有重
要影响。
制定一个既能实现评选的公平
合理，
又能快速评选出当选人的有效的投
票规则是十分重要的。
1.2
问题的提出
现有一些常见的投票规则
：
（
1
）采用无记名方式，每位评委对
每个候选人投
票，在赞成、弃权和反对中必须选一个且只能选一个；
（
2
）每个候选人获得赞成
的票数
必须大于等于评委的三分之二才能当选；
（
3
< br>）
如果第一次投票选出的当选
人数小于规定人数，需要进
行第二次投票、第三次投票
……
.
，直
至选出的人数
等于规定人数或者相差不大，但不能超过规定人数。先请解决以下问题：<
/p>
1
）
、某单位
要评选
10-13
名先进工作者，共
2
8
为候选人，
39
位评委。请你
设计一个比较公平合理，
简单省时的投票规则，
包括投票次数、
每次投票时美味
评委投赞成票的数目等。
2
）
、分析第一
问中所提出的规则一次投票成功的可能性的大小；如果该规则
有第二次投票，分析两次投
票成功的可能性。
3
）
、设计一个仿真实验，验证第一问中提出的投票规则。
4
）
、如规定：美味评委投赞成票的数目可以小于也可以等
于但不能超过规定
的赞成票数，请设计一个投票规则。
4
5
）
、将你设计的
投票规则推广到以下情形：
m
个候选人，
n
个评委，
k
≤
5
当选人数≤
k
二、模型假设与符号说明
1.
模型的假设
（
1
）
k
个评委之间的投票是相互独立的
（
2
）每个候选人入选的概率相同
（
3
）选中人数随着投票次数的增加是收敛的，在有限次投票内一定会
投票成功
2.
符号的约定与说明
符号
符号的意义
n
1
第一次投票每位评委投赞成票数
n
2
第二次投票每位评委投赞成票数
P
1
（
i
）
第一次投票每个候选人获得
i
票的概率
P
2
（
i
）
第一次投票每个候选人选中的概率
T
第一次投票选中人数
P
3
（
i
）
第二次投票每个候选人选中的概率
T
2
第二次投票选中人数
三、模型建立与求解
1.
问题分析：
要设计公平合理的投票规则，就是
要保证每个候选人获得的赞成票数必须大
于等于评委数的三分之二，
如果第一次投票选出的人数远小于规定人数，
需要进
行第二
次、
第三次投票
…
，
< br>直至选出人数等于规定人数或相差不大并且不超过规
定人数；
要设计简便省时的投票规则，
就是要使投票次数少并且评委投票数少才省时，
及要进行非线性规划，找到简便省时时的投票次数和评委投票数。
问题求解：
(1)
第一次投票
< br>每个评委可投
n
1
票，则每个候
选人获得
i
票的概率为
n
1
?
1
< br>n
1
?
1
C
C
i
i
3
9
?
i
27
2
7
P
(
i
)<
/p>
?
C
(
)
(1
?
)
1
39
n
1
n
1
C
28
C
28
候选人要当选，获得的赞成票数必须大于或等
于评委数的三分之二，即
26
，
则
每个候选人当选的概率为
n
1
?
1
< br>n
1
?
1
C
C
i
i
3
9
?
i
27
P
2
(
i
)
?
?
C
39
(
27
)
(1
?
)
n
1
n
1
C
C
i
?
26
< br>28
28
39
则候选人可以选中的人数为
n
1
?
1
n
1
?
1
C
27
C
27
i
T
?
28
?
< br>C
(
n
1
)
(1
?
n
1
)
39
?
i
C
28
C<
/p>
28
i
?
26<
/p>
39
i
39
在
mat
lab
中画出第一次投票候选人选中人数与评委投赞成票数的关系如图
< br>
所示
投
票
一
次
30
25
20<
/p>
候
选
人
选
中
人
数
15
10
5
0
0
5
10
15
评
委
投
赞
成
票
数
20
25
30
图
1
第一次投票候选人选中人数与评委投赞成票数对应曲线
由图
1<
/p>
可以得出候选人选中人数与评委投赞成票数的关系如表
1
表
1
第一次投赞成票数和候选人当选人数对应关系
第一次
投赞成
1~14
15
16
17
18
19
20
21
22~25
26~28
票数
第一
次
候选人
当选人
数
(
取整
)
0
1
4
7
12
17
22
25
27
28
用
SPSS
软件分析投赞成票数和候选人当选人数关系
表
2
投赞成票和候选人选中人数关系
Model Summary and Parameter
Estimates
Dependent
Variable:VAR00001
Equation
R
Square
Cubic
Exponenti
al
The
independent variable is VAR00002.
.943
.817
F
71.535
67.114
Model Summary
df1
3
1
df2
13
15
Sig.
.000
Parameter Estimates
Constant
-1.484
b1
1.117
3.177
b2
-.196
b3
.009
.000
2.126E-19
用立方曲线对数据进行拟合，
图
2
立方曲线对数据进行拟合
可以看出，当第一次投赞成票数小于
18
票时，
投赞成票数和候选人当选人
数关系近似于立方曲线，即
T
?
0.009
n<
/p>
3
?
0.196
n
2
?
1.117
n
?
1.484
由表
1
可知，第一次投票每位评委投赞成票
必须小于
19
票，否则选出的先
进工作
者数将超过规定的
10~13
名
①当每位评委投赞成票数等于
18
票时，<
/p>
选出的先进工作者为
12
人，
满足题目要
求，故此时一次投票就可以成功。
②当每位评委投赞成票数小于
18
票时，选出的先进工作者远小于
10~
13
名，此
时要进行第二次投票。
(2)
第二次投票：
只有第一次评委投赞成票数小于
18
票时，即第一次投
票选出的人数
T
取
0,1,4,7
（由表
1
知）
，才
进行第
2
次投票
第二次投票时，每位评委可投
n
2
票，第一次投票评选出的先进工作者数为
T
则第二次每个候选人选中的概率为
n
2
?
1
n
2
?
1
C
27
C
27
?
T
j
?
T
39
?
j
P
(
i
)
?
(28
?
T
)
C
(
)
(1
?
)
?
3
n
2
n
2
C
C
j
?
26
28
?
T
28
?
T
39
j
39
用
matlab
编程，得出当第一次投票选出人数为
T
（
< br>T
取
0,1,4,7
）时，第二
次
投票选出人数与评委投赞成票的关系如表
3
表
3
第二次投票选出人数与评委投赞成票的关系
第二次投
第一次投票
第一次投票
第一次投票
第一次投票
赞成票数
选出人数0人
选出人数1人
选出人数4人
选出人数7人
1
3.4
1E-27
8.33E-27
1.49E-25
3.88E-24
2
1.43E-19
3.43E-19
5.74E-18
1.38E-16
3
3.32E-15
7.81E-15
1.22E-13
2.66E-12
4
3.55E-12
8.16E-12
1
.18E-10
2.32E-09
5
6
.93E-10
1.56E-09
2.07E-08
3.64E-07
6
4.58E-08
1.00E-07
1.22E-06
1.89E-
05
7
1.42E-06
3.03E-
06
3.34E-05
0.00044962
< br>8
2.52E-05
5.22E-05
< br>0.00051385
0.0059186
9
0.00028868
0.00057809
0.
0050389
0.048646
10
0.0023215
0.0044852
0.034151
0.27013
11
0.013914
0.025843
0.1693
1.069
12
0.064861
0.11534
0.63902
3.1283
13
0.24262
0.41116
1.890
1
6.9596
14
0.74553<
/p>
1.198
4.4758
12.066<
/p>
15
1.9154
2.9025
8.6326
16.809
16
4.1711
5.9275
13.789
19.719
17
7.7856
10.323
18.626
20.788
< br>18
12.584
15.513
21.932
20.986
19
17.
814
20.417
23.48
21<
/p>
20
22.412
24.03
23.929
21
21
2
5.588
26.02
23.996
2
1
22
27.238
26.788
24
23
27.842
26.975
24
24
27.98
2
26.999
24
25
27.999
27
26
28
27
27
28
27
28
28
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