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光
的
衍
射（附答案）
一．
填空题
1.
波长
λ
= 500 nm
（
1 nm =
10
?
9
m
）的单色光垂直照射到宽度
a
= 0.25 mm
的
单缝上，单缝后
面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观
测衍射条纹．今测得屏幕上中
央明条纹之间的距离为
d
= 12
mm
，则凸透镜
的焦距
f
为
1
m
．
2.
在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光
（
λ
1
≈
?
9
589
nm
）中央明纹宽度为
4.0
mm
，则
λ
2
≈
442
nm
（
1 nm = 10
m
）的蓝紫
色光的中央明纹宽度为
3.0
mm
．
3.
平行单色光垂直入射在缝宽为
a
=
0.15
mm
的单缝上，缝后有焦距为
f
=
400
mm
的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕．现测得屏幕上中央明纹两侧的
两个第三级暗
纹之间的距离为
8
mm
，则入射光的波长为
500 nm
（或
5
×
10
?
4
mm
）．
4.
当一衍射光栅的不透光部分的宽
度
b
与透光缝宽度
a
< br>满足关系
b
=
3
a
时，
衍射光谱中第±
4
, ±
8
,
…级谱线缺级．
5.
一毫米内有
500
条刻痕的平面透射光栅，用平行钠
光束与光栅平面法线成
30
°
角入射，
在屏幕上最多能看到第
5
级光谱．
6.
用波长为
λ
的单色平行红光垂直照射在光栅常数
d
=
2
μ
m
（
1
μ
m
=
10
?
6
m
）
的光栅上，用焦距
f
= 0.500 m
的透镜将光聚在屏上，测得第一级谱线与透
镜主焦点的距离
l
= 0.1667 m
，则可知该入射的红光波长
λ
=632.6
或
633nm
．
7.
一会聚透镜，直径为
3
cm
，焦距为
20 cm
．照射光波长
550nm
．为了可以分
辨，两个远处
的点状物体对透镜中心的张角必须不小于
2.24
×
10
?
5
rad
．这时
在透镜焦平面上两个衍射图样中心间的距离不小于
4.47
μ
m
．
8.
钠黄光双线的两个波长分别是
589.00
nm
和
589.59
nm
（
1 nm =
10
?
9
m
），若
平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是
500
．
9.
用平行的白光垂直入射在平面透
射光栅上，波长为
λ
1
= 440
nm
的第
3
级光
谱线将与波长为
λ
2
=660 n
m
的第
2
级光谱线重叠（
1 nm = 10
?
9
m
）．
10.
X
射
线入射到晶格常数为
d
的晶体中，可能发生布拉格衍射的最大波
长为
2
d
．
二．
计算题
11.
在某个单缝衍射实验中，光源
发出的光含有两种波长
λ
1
和
λ
2
，垂直入射于
单缝
上．假如
λ
1
的第一级衍射极小与
λ
2
的第二级衍射极小相重合，试问：
(1)
这两种波长之间有何关系？
(2)
在
这两种波长的光所形成的衍射图样
中，是否还有其它极小相重合？
解：
(1)
由单缝衍射暗纹公式得
a
sin
θ
1
= 1
λ
1
a
sin
θ
2
= 2
λ
2
由题意可知
θ
1
=
θ
2
,
sin
θ
1
=
sin
θ
2
代入上式可得
λ
1
= 2
λ
2
(2)
a
sin
θ
1
=
k
1
λ
1
=2
k
1
λ
2
(
k
1
=1, 2,
…
)
sin
θ
1
= 2
k
1
λ
2
/
a
a
sin
θ
2
=
k
2
λ
2
(
k
2
=1,
2, …)
sin
θ
2
= 2
k
2
λ
2
/
a
若
k
2
= 2
k
1
，则
θ
1
=
θ
2
，即
λ<
/p>
1
的任一
k
1<
/p>
级极小都有
λ
2
的
2
k
1
级
极小与之
重合．
12.
在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽
a
=
0.100 mm
，平行光垂直如射在单缝上，
波长
λ
= 500
nm
，会聚透镜的焦距
f
=
1.00 m
．求中央亮纹旁的第一个亮纹
的宽度
Δ
x
．
< br>解：单缝衍射第
1
个暗纹条件和位置坐标
x
1
为
a
sin
θ
1
=
λ
x
1
=
f
tan
θ
1
≈
f
sin
θ
1
≈
f
λ
/
a
(
∵
θ
1
很小
)
单缝衍射第
2
个暗纹条件和位置坐标
x
2
为
a
sin
θ
2
= 2
λ
x
2
=
f
tan
θ
2
≈
f
sin
θ
2
≈
2
f
λ
/
a
(
∵
θ
2
很小
)
单缝衍射中央亮纹旁第一个亮纹的宽度
Δ
x
1
=
x
2
?
x
1
≈
f
(2
λ
/
a
?
λ
/
a
)
=
f
λ
/
a=
1.00
×
5.00
×
10
?
7
/(1.00
×
10
?
4
)
m
=5.00mm
．
13.
在单缝夫琅禾费衍射中，垂直
入射的光有两种波长，
λ
1
=
400
nm
，
λ
2
=
760
nm
（
1
nm =
10
?
9
m
）．已知单缝宽度
a
= 1.0
×
10
?
2
cm
，透镜焦距
f
=
50 cm
．
(1)
求两种光第一级衍射明纹中心间的距离．
(2)
若用光栅常数
a
= 1.0
×
10
-3
cm
的光栅替换单缝，其它条件和上一问相
同，求两种光第一级主极大之
间的距离．
解：
(1)
由单缝衍射明纹公式可知
a
sin
φ
1
=
(2
k
+ 1)
λ
1
=
λ
1
（取
k
=
1
）
a
sin
φ
2
=
(2
k
+ 1)
λ
2
=
λ
2
tan
φ
1
=
x
1
/
f
，
ta
n
φ
2
=
x
1
/
f
由于
sin
φ
1
≈
tan
φ
1
，
sin
φ
2
≈
tan
φ
2
所以
x
1
=
f
λ
1
/
a
3
2
3
x
2
=
f
λ
2
/
a
2
1
2
3
2
1
2
1
2
则两个第一级明纹之间距为
3
Δ
x
1
=
x
2
?
x
1
=
f
Δ
λ
/
a =
0.27 cm
2
(2)
由光栅衍射主极大的公式
d
sin
φ
1
=
k
λ
1
= 1
λ
1
d
sin
φ
2
=
k
λ
2
= 1
λ
2
且有
sin
φ
= tan
φ
=
x
/
f
所以
Δ
x
1<
/p>
=
x
2
?
x
1
=
f
Δ
λ
/
a =
1.8 cm
14.
一双缝缝距
d
= 0.40
mm
，两缝宽度都是
a
=
0.080 mm
，用波长为
λ
=
480
nm
（
1 nm =
10
?
9
m
）的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距
f
= 2.0
m
的透镜．求：
(1)
在透镜焦平面
的屏上，双缝干涉条纹的间距
l
；
(2
)
在单
缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉数目
N
和相应的级数．
解：双缝干涉条纹
(1)
第
k
级亮纹条件：
d
sin
θ
=
k
λ
第
k
级亮条纹位置：
x
1
=
f
tan
θ
1
≈
f
sin
θ
1
≈
k f
λ
/
d
相邻两亮纹的间距：
Δ
x
=
x
k
+1
?
x
k
=
(
k
+ 1)
f
λ
/
d
?
k
λ
/
d
=
f
λ
/
d
= 2.4
×
10
?
3
m = 2.4
mm
(2)
单缝衍射第一暗纹：
a
sin
θ
1
=
λ
单缝
衍射中央亮纹半宽度：Δ
x
0
=
f
tan
θ
1
≈
f
sin
θ
1
≈
k f
λ
/
d
= 12 mm
Δ
x
0
/
Δ
x
=
5
∴
双缝干涉第
±5
级主极大缺级．