-
雷诺数：
对于不同的流场，雷诺数可以有很多
表达方式。这些表达方式一般都包括流体性质
（
密度
、
黏度
）再加上流体速度和一个特征长度或者特征
尺寸。这个尺寸一般是根
据习惯定义的。比如说半径和直径对于球型和圆形并没有本质不
同，但是习惯上只
用其中一个。对于管内流动和在流场中的球体，通常使用直径作为特征
尺寸。对于
表面流动，通常使用长度。
管内流场
对于在管内的流动
,
雷诺数定义为
:
式中
:
?
?
?
?
?
?
?
是平均流速
(
国际单位
: m/s)
管直径
(
一
般为特征长度
) (m)
流体
动力黏度
(Pa·
s
或
N·
s/m?
)
运动黏度
(
流体
密度
(kg/m?
)
体积
流量
(m?
/s)
横截面积
(m?
)
ρ
) (m?
/s)
假如雷诺数的体积流率固定，则雷诺数与密度（
ρ
）、速度的开方（
比；与管径（Ｄ）和黏度（ｕ）
成反比
假如雷诺数的质量流率（即是可以稳定流动）固定，则
雷诺数与管径（Ｄ）、
黏度（ｕ）成反比；与
√
速度（
）成正比；与密度（
ρ
）无关
）成正
平板流
对于在两个宽板
(
板宽远大于两板之间距离
< br>)
之间的流动
,
特征长度为两倍
的两板
之间距离。
流体中的物体
对于流体中的物体的雷
诺数
,
经常用
Re
p
表示。用雷诺数可以研究物体周围的流
动情况，是否有<
/p>
漩涡分离
，还可以研究沉降速度。
流体中的球
对于在流体中的球，特征
长度就是这个球的直径，特征速度是这个球相对于远
处流体的速度，密度和黏度都是流体
的性质。在这种情况下，层流只存在于
Re=0.1
或者以下。
在小雷诺数情况下，力和运动速度的关系遵从
斯托克斯定
律
。
搅拌槽
对于一个圆柱形的搅拌槽，中
间有一个旋转的桨或者涡轮，特征长度是这个旋
转物体的直径。速度是
< br>ND,N
是转速
(
周
/
秒
)
。雷诺数表达为<
/p>
:
当
Re>
10,000
时，这个系统为完全湍流状态。
[1]
过渡流雷诺数
对于流
过平板的
边界层
，实验可以确认，当流过一定长度后
,
层流变得不稳
定形成湍流。对于不同的尺度和不
同的流体，这种不稳定性都会发生。一般
来说，当
,
这里
x
是从平板的前边缘开始的距离
,
流速是边
界层以外的自由流场速度。
一般管道流雷诺数＜
2100
< br>为
层流
(
又可称作黏滞流动、<
/p>
线流
)
状态，
大
于
4000
为
湍流
(
又可称作紊流、扰流
)
状态，<
/p>
2100
～
4000
为过渡流状态。
层流：流体沿着管轴以平行方向流动，因
为流体很平稳，所以可看作层层相
叠，各层间不互相干扰。流体在管内速度分布为抛物体
的形状，面向切面的
则是抛物线分布。
因为是个别有其方向和速
率流动，
所以流动摩擦损失较小。
湍
流：此则是管内流体流动状态为各分子互相激烈碰撞，非直线流动而是漩
涡状，流动摩擦
损失较大。
管道中的摩擦阻力
穆迪图
说
明达西摩擦因子
f
和雷诺数和相对粗糙度的关系
在管道中完全成形（
fully develope
d
）流体的压降可以用
穆迪图
来说明，
穆
迪图绘制出在不同相对粗糙度下，达西摩擦因子
f
和雷诺数
及相对粗糙
度
的
关系，
图中随着雷诺数的增加，
管流
由
层流变为过渡流及湍流，
管
流的特性和流体为层流、过渡流或湍
流有明显关系。
流动相似性
两个流动如果相似的话，
他们必须有相同的几何形状和相同的雷诺数和
欧拉
数
。当在模型和真实的流动之间比
较两个流体中相应的一点，如下关系式成
立
:
带
m
下标的表示模型里的量，
其他的表示实际流动里的量。
这样工
程师们就可以用缩小尺寸的
水槽
或者
风洞
来进行试验，与
数值模拟
的模型比对数据分析，节约试验成本和时间。实际应用中也许会需
要其他的
无量纲量
与模型一致，比如说
马赫数
，
福禄数
。
雷诺数的一般值
?
精子
~
1×
10
?
大脑
中的
血液
流
～
1×
10
?
主动脉
中的血流
~ 1×
10
3
2
?
4
湍
流临界值
~ 2.3×
10
3
-5.0×
10
4
(
对于管内流
)
到
10
6
(
边界层
)
?
棒球
(
职业棒球投手投掷
) ~
2×
10
?
游泳
(
人
)
~ 4×
10
?
蓝鲸
~
3×
10
?
大型
邮轮
~
5×
10
9
8
6
5
雷诺数的推导
< br>
雷诺数可以从
无因次化
的非可
压
纳维－斯托克斯方程
推导得来
:
上式中每一项的单位都是加速度乘以密度。无量纲化上式，需
要
把方程变成一个独立于物理单位的方程。
我们可以把上式乘以
系
数
:
这里的字母跟在雷诺数定义中使用的是一样的。我们设
:
无量纲的纳维
-
斯托克斯方程可以写为
:
这里
:
最后
,
为了阅读方便把撇去掉
:
这就是为什么在数学上所有的具有相同雷诺数的
流场是相似的。
韦伯数
(Weber
number)
的计算公式为
其中
为
流体密度
，
为特征流速，
为特征长度，
为流体的
表面张力
系数。
韦伯数代
表
惯性力
和表面张力效应之比，韦伯数愈小代表表面张力愈重要
，譬
如毛细管现象、肥皂泡、表面张力波等小尺度的问题。一般而言，大尺度的问
题，韦伯数远大于
1.0
，表面张力的作用便
可以忽略。
阿基米德数
是一个因希腊科学家
阿基米德
< br>而得名的
流体力学无因次
数，可用来判别
因
密度
差异造成的
流体
运动，其形式如下：
其中：
?
g
为
重力加速度
(9.81 m/s?
),
?
ρ
l
为流体的密度，单位为
?
ρ
为物体的密度，单位为
?
为动黏滞系数，单位为
?
L
为物体特征长度，单位为
m
阿基米德数也可表示为
格拉斯霍夫数
和
雷诺数
平方的比值，也是浮力及惯性力
的比
值：
[1]
在分析液体潜在的混合
对流
现象时，
阿基米德数可用来比较自由对流
及
强制
对流
的相对强度，若
Ar >> 1
，对流现象中以自由对流为主，若
Ar <<
1
，则
以强制对流为主。
阿特伍德数
是一个
< br>流体力学
中的无
因次
量，和研究
密度分层流中的
流体动力不稳定
性
（<
/p>
hydrodynamic instabilities
）有关
。定义为二流体密度的比值：
其中
=
较重流体的密度
=
较轻流体的密度
应用
不论在研究和重力、惯性力有关
的
瑞利泰勒不稳定性
或是和激波有关的
Richtmyer-Meshkov
不稳定性
（
Richtmyer
–
Meshkov inst
ability
），阿特伍德数都
是其中的重要参数。
在瑞利泰勒不稳定性中，较重流体泡泡穿透较轻流体的距离是时间的函
数
其中
g
是重力加速度而
t
是时间。
[1]
，
参考资料
1.
^
Glimm, J.,
Grove, J. W., Li, X.-L., Oh, W., and Sharp, D. H.,
A critical
analysis of
Rayleigh
–
Taylor growth
rates, J. Comput. Phys.,
169
,
652-677
(2001).
毕奥数
是
热传学
中的无因次数，以法国物理学家
让
-
巴蒂斯特
·
毕奥
的名字命名。
热量传递中，毕奥数指传热阻力与对流阻力之比，决定固体温度的一致性，计算式
为：
其中，
?
?
?
为
膜系数
或
传热系数
或
热对流系数
为
特征长度
为固体的
热导率
质量传递中，毕奥数指扩散阻力与反应阻力之比，决定固体浓度的一致性，计
算式为
：
其中，
?
为
膜传质系数
?
?
为
特征长度
为固体的
质量扩散率
Damk?
hler
数
（
Da
< br>）为一
无量纲
标量，用于描述同一系统中化学反应相比其
它现
象的相对时间尺度，
其命名是为纪念德国化学家
Gerhard Damk?
hler(190
8
–
1944)
。
根据系统的不同，
Damk?
h
ler
数
有不同的定义。
对于一个
n
阶反应来说，
Da
通常
定义为：
其物理意义为无量纲反应时间，其中：
?
k
：
化学动力学
常数
?
C
0
：
初始浓度
?
n
：
反应阶数
?
t
：
时间
<
/p>
对于连续或半连续
反应器
中，
Damk?
hler
数
的
通常定义为：
或
在连续
反应器
中，
Da
为
其中
为
残留时间
或
空间时间
。
在包含界面传质的反应系统中，
Damk?
hler
数
(
Da
II
)
的定义为：
化学
反应速率与传质速率之比，即：
其中：
?
：
总
传质
系数
?
：界面面积
底波拉数
是
流变学
中的一个
无量纲量
，用来描述材
料在特定条件下的流动性。底波
拉数最早是由
以色列理工学院<
/p>
的教授
马库斯
·
莱纳
（
英语
：
Markus Reiner
）所提出，
其名称是因为圣经
士师记
5:5
中，士师底波拉的歌中的一句
“
The mountains
flowed before the Lord
”
底波拉数是假设在时间足够的条件下，即使是最坚硬的物体（例如山）也会流动。
因此流动特性不是一个材料本身的固有属性，而是一种相对属性，此相对属性和二
个有本质上完全不同的特征时间有关。
底波拉数定义为<
/p>
驰豫时间
及观测时间尺度的比值。驰豫时间表示一材料反应施力或
形变时所需要的时间，观测时间尺度是指探索材料反应的实验（或电脑模拟）的时
间尺度。底波拉数中整合了材料的弹性及粘滞度。若底波拉数越小，材料特性越接
近流体，其运动越接近牛顿粘性流。若底波拉数越大，材料特性主要以弹性为主，
底波拉数非常高时，材料特性接近固体
[1]
[2]
。
其方程式为：
其中
?
<
/p>
t
c
是指
应力<
/p>
的驰豫时间（有时称为马克士威驰豫时间）
?
t
p
是指观测的时间尺度
欧拉数
是
流体力学
的一个
无量纲<
/p>
量，
表示局部
压强
损失和单位体积
动能
之间的比例，
常
用来描述一流场损失的特性，一个理想的无滞性流其欧拉数为
1
。
欧拉数的定义如下
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