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凑角虽巧
,
换元更妙
湖北省郧县第一中学（
442500
）
郑传根
在三角公式的应用中，
有一类题型是给值求值
,
这是三角中的一个重点题型
,
其形式多样
,
变化多端
.
学生在解这
类题时常常因为找不到恰当的方法而致错
,
也因此而烦恼
.
本文旨在通
过例题说明给值求值问题的不同
解法，
感受凑角法之巧
,
体会换元法之
妙
!
供同学们学习或教
师教学参考
.
一
.
公式法
利用已知条件、和差公式及同角三角函数的基本关系式，列方程组求出待求的三角
函数值，是一种基础而常规的方法
.
3
5
，
sinB =
，则
cosC
的值为…………（
A
）
5
13
16
56
16
56<
/p>
16
或
D
?
A
B
C
65
65
6
5
65
65
例
1
在△
ABC
中，已知
cosA =
解：∵
C =
?
?
(A
+ B)
∴
cosC =
?
cos(A + B)
3
12
而
sinB =
显然
sinA > sinB
5
13
4<
/p>
∴
A > B
即
B
必为锐角
∴
cosB =
5
12
3
5
4
16
?
?
?
?
∴
cosC =
?
cos(A + B) = sinAsinB
?
cosAcosB =
13
5
13
5
65
又∵
A
?
(0,
?
)
∴
sinA =
4
3
例
2 <
/p>
已知
?
,
?
?
(0,
),cos
?
?
,cos(
?
< br>?
?
)
?
,
求
sin
?
.
2
5
5
?
4
3
解
:
由
?
?
(0,
),cos
?
?
得
sin
?
?
.
2
5
5
根据两
角和的余弦公式与完全平方公式得
3
3
?
4
7
?<
/p>
cos
?
?
si
n
?
?
,
5<
/p>
5
解得
sin
?
=
,
或
sin
?
?
?
1.<
/p>
?
5
25
?
cos
2
?
?
sin
2
?
?
1.
?
?
7
?
?
?
(0,
),
?
sin
?
?
.
2
25
二
.
凑角法
当所给角与待求值的角都较复杂时
,
公式法要
么很繁
,
要么无法解答
,
这时用凑角法
显得巧而有效
.
?
例
3
已知
?
,
?
?
(
求
sin(
?<
/p>
+
).
4
?
3
?
3
?
12
,
?
),sin(
?
?
?
)
?
?
,sin(
?
?
)
?
.
4
5
4
13
解
:
?
?
,
?
?
(
3
?
3
?
?
?
3
?
,
?
),
?
?
?
?
?
(
,
2
?
),
?
?
?
(
,
).
4
2
4
2
4
< br>
4
?
5
?
cos(
?
?
?
)
?
,cos(
?
?
)
?
?
.
5
4
13
?
?
?
?
?
?
sin(
?
?
)
?
si
n
?
?
?
?<
/p>
?
?
?
?
?
?
?
?
4
4
?
?
?
?
=
sin(
?
?
?
?
)cos(
?
?<
/p>
)
?
cos(
?
?
?
)sin(
?
?
)
4
4
?
?
=
?
3
5
4
12
33
?
(
?
)
?
?
?
?
.
< br>5
13
5
13
< br>65
显然
,
此例如果再用常规的
方法
,
会有不甚其繁的感觉
,
因而不再使用常规法
,
而直接采
用凑角法
.
1
?
?
2
?
)=-
,
?
?
(
,
?
).sin(
-
?
)=
,
?
?
(0,
).
2
9
2
2
3
2
求
cos(
?
+
?
)
的值
.
例
4
已知
cos(
?
-
?
解
:
由
?
?
(
,
?
),
?
?
(0,
< br>)
得
?
?
?
?
?
,
-
?
?
?
?
.
2
2
4
2
4
2
2
?
1
?
2
< br>?
4
5
?
5
且
cos(
?
?
)
?
?
,sin(
?
?
)
?
.
?
sin(
< br>?
?
)
?
,cos(
?
?
)
< br>?
.
2
9
2
3
2
9
2
3
?
?
?
?
?
?
cos
?
cos[(
?
?
)
?
(
?
?
)]
2
2
2
?
?
?
?
7
5
?
cos(
?
?
)
cos(
?
?
)
?
sin(
?
?
)sin(
?
?
)
?
.
2
2
2
2
27
?
?
?
239
?
cos(
?
?
?
)
?
2cos
2
?
1
?
?
.
2
729
三
.
换元法
当待求角与已知角的关系较隐蔽时
,
你又会有凑角
不便之感
.
这时不妨用换元的方法来
简
化
.
?
?
?
?
?
?
?
2
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