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凑微分练习
凑微分
?
?
(
x
)
dx
?
d
[
?
(
x
)]
，就是由
?
?
(
x
)
找它的一个原函数
?
(
x
)
，
而不定积分给出了被积
函数的所有原函数，从中恰当地选取一个原函数即可（常选
C
=0
的原函数）
。
根据微分法则和
基本积分表即可得到一些常用的凑微分形式，以下设函数
u
?
u
(
x
)
，
v
?
v
(
x
)<
/p>
可导，
C
为常数。
由
d
(
C
u
)
?
Cdu
，有
Cdx
?
d
(
Cx
)
。
由
d
(
u
?
v
)
?
du
?
dv
，有
du
?
d
(
u
?
C
)
。
x
2
< br>1
由
?
xdx
< br>?
?
C
，有
xdx
?
d
(
x
2
)
。
2
2
由
?
1
x
dx
?
2
x
?
C
，有
1
x
dx
?
2
d
(
x
)
。
1
1
由
?
dx
?
ln
|
x
|
?
C
，有
dx
?
d
(l
n
|
x
|)
。
x
x
1
1
由
?
，有
dx
?
arctan
x
?
C
?
?<
/p>
arc
cot
x
?
C
dx
?
d
(arctan
x
)
< br>?
?
d
(
arc
cot
x
)
< br>。
2
2
1
?
x
1
?
x
由
?
1
1
?
x
2
dx
?
arcsin
x
?
C
?
?
arccos
x
?
C
，有
1
1
?
x
2
dx
?<
/p>
d
(arcsin
x
)
?
?
d
(arccos
x
)
。
由
?
cos
xdx
?
sin
x
?
C
，有
cos
xdx
?
d
(sin<
/p>
x
)
。
由
?
sin
xdx<
/p>
?
?
cos
x<
/p>
?
C
，有
sin
xdx
?
?
d
(cos
x
)
。
1
1
2<
/p>
，有
dx
?
se
c
xdx
?
tan
x
?
C
dx
?
sec
2
xdx
< br>?
d
(tan
x
)
。
2
2
?
cos
x
cos
x
1
1
由
?
2
dx
?
?
csc
2
xdx
?
?
cot
< br>x
?
C
，有
2
dx
?
csc
< br>2
xdx
?
?
< br>d
(cot
x
)
。
sin
x
sin
x
由
?
由
?
sec
x
tan
xdx
?
sec
x
?
C
，有
sec
x
tan
xdx
?
d
(sec
x
)
。
由<
/p>
?
csc
x
co
t
xdx
?
?
csc
x
?
C
，有
csc
x
cot
< br>xdx
?
?
d
< br>(csc
x
)
。
由
?
e
x
dx
?
e
x
?
C
，有
e
x
dx
?
d
(
e
x
)
。
a
x
1
?
C
，有
a
x
dx
?
由
?
a
dx
?
d
(
a
x
)
。
ln
a
ln
a
x
在熟记基本积分表之后，很容易记住上述凑微分的形式，而熟练掌握上述凑微分形式，
在运用第一类换元法（即凑微分法）积分时会更加快捷灵活。
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