-
第二节
不定积分的凑微分法
< br>一、不定积分的凑微分法
x
x
x
x
例
6
．
2
．
1
e
cos
e
dx
（
e
dx
?
de
）
?
?
?
cos
e
x
de
x
（
?
cos
?
d
?
）
?
sin
e
x
?
C
（
sin
?
?
C
）
通过凑微分公式，凑出一个中间变量（被积函数中那个复合函数的中间变量“
?
”
）
，
得到一个不定积
分公式的左边，从而套公式解决问题———这是《凑微分法》的主要思想
.
二、不定积分的凑微分举例
例
6
．
2
．
2
求下列积分：
3
x
（
1
）
< br>e
dx
；
（
2
）
?
1
1
x
dx
；
（
3
）
；
(4)
dx
?
1<
/p>
?
2
x
?
x
sin
2
x
dx
.
?
1
?
x
4
解
3
x
（
1
）
e
dx
?
1
3
x
e
d
3
x
3
?
1
?
e
3
x
?
C<
/p>
；
3
1
dx
（
2
）
?
1
?
2
x
1
1
?
?
< br>?
d
?
1
?
2
x
?
2
1
?
2
x
1
?
?
ln
1
?
2
x
?
C
；
2
?
（
3
）
?
x
1
?
x<
/p>
4
dx
?
1
1
dx
2
?
2
1
?
x
2
2
?
?
?
1
< br>arcsin
x
2
?
C
；
2
（
4
）
?
2
1
dx
x
sin
2
x
1
d
x
?
2
?
sin
x
?
2
?
csc
2
xd
x
<
/p>
?
?
2cot
x
?
C
.
例
6
．
2
．
3
求下列
积分：
1
e
x
dx
；
dx
；
(1)
?
（
2
）
?
（
3<
/p>
）
?
tan
xd
x
；
（
4
）<
/p>
?
sec
xdx
.
x
x
ln
x
1
?
e
解
(1)
1
?
x
ln
x
dx
1
?
?
d
ln
x
ln
x
?
ln
ln
x
?
C
（注：
此类积分一般
都含
“
ln
x
”
，
所以
“
1
dx
?
d
ln
x
”
中
“
x
”
不用加绝对值
.
）
；
x
<
/p>
e
x
dx
（
2
）
?
x
1
?
e
?
?
1
x
de
<
/p>
1
?
e
x
1
x
?
?
d
(1
?
e
)
x
1
< br>?
e
?
ln(1
?
e
x
)
?
C
；
（
3
）
tan
xdx
?
?
?
sin
x
dx
cos
x
1
?
?
?
d
c
os
x
cos
x
?
?
ln
cos
x
?
C
即
tan
xdx
?
?
ln
cos
x
?
C
------------
------------------------
不定积分公式
（
16
）
；
?
类似可得
cot
xdx
?
ln
sin
x
?
C
-------
------------------------
不定积分公式（
< br>17
）
；
?
（
4
）
sec
xdx
?
?
?
sec
x
(sec
x
?
tan
x
)
dx
sec
x
?
tan
x
?
?
?
?
?
sec
x
?
tan
x
?
?
dx
sec
x
?
tan
x
d
?
sec
x
?
tan
x
?
sec
x
?
tan
x
?
ln
sec
x
?
tan
x
?
C
即
sec
x
dx
?
ln
sec
x
?
tan
x
?
C
------------------------
------
不定积分公式
（
18
）
；
?
类似可得
csc
xdx
?
?
ln
< br>csc
x
?
co
t
x
?
C
----------------------
不定积分公式
（
19
）
.
?
例
6
．
2
．
4
求下列积分：
（
1
）
1
1
1
2
cos
dx
dx
dx
；
（
2
）
；
（
3
）
；
（
4
）
2
2
2
2
?
xdx
.
?
a
?
x
?
a
?
x
< br>?
x
?
1
?
x
?
1
解
（
1
）
1
?
a
2
?
x
2
dx
1
2
a
?
?
dx
< br>
x
2
1
?
2
a
?
1
a
?
1
?
x
?
1
?
?
?
?
a
?
d
2
x
< br>
a
1
x
arctan
?
C
；
a
a
1
dx
< br>（
2
）
?
2
a
?
x
2
?
?
?
1
?
a
?
x
??
a
?
x
?
dx
1
?
1
< br>1
?
?
?
?
?
dx
2
a
?
?
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/p>
a
?
x
?
?
a
?
x
?
?
?
1
1
1
1
d
a
?
x
?
d
?
a
?
x<
/p>
?
?
?
2
a
?
?
a
?
x
?
2
a
?
?
a
?
x
?
1
a
?
x
ln
?
C
；
2
a
a
?
x
?
（
3
）
?
1
dx
x
?
1
?
x
?
1
?
?
x
?
1<
/p>
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x
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1
?
x
?
1
?
x
?
1
??
x
?
1
< br>?
x
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1
?
dx
?
?
x
?
1
?<
/p>
x
?
1
dx
2
1
1
1
1
2
?
?
(
x
?
< br>1)
d
(
x
?
1)
?
?
(
x
?
1)
2
d
(
x
?<
/p>
1)
2
2
3
3
1
1
?
(
x
?
1)
2
?
(
x
?
1)
2
< br>?
C
；
3
3
2
（
4
）
cos
xdx
?
?
1
?
1
?
cos
2
x
?
dx
?
2
?
1
1
dx
?
cos
2
xd
2
x
?
?
2
4
1
1
?
x
?
sin
2
x
?
C
.
2
4
<
/p>
例
6
．
2
．
5
求下列积分：
（
1
）
2
x
?
3
1
1
3
dx
；
(2)<
/p>
；
(3)
(4)
?
cos
xdx
.
dx
?
x
2
?
3
x
?
2
?
e
x
?
e
?
x
dx
；
?
x
?
x
2
解
（
1
）
2
x
?
3
?
x
2
?
3
x
< br>?
2
dx
2
?
?
dx
x
2
?
3
x
?
2
1
?
?
2
d
?
x
2
?
3
x
?
2
?
< br>
x
?
3
x
?
2
?
x
?
3
x
?
2
?
?
?
ln
x
2
?
3
x
?
2
?
C
；
(2)
?
1
x
?
x
2
dx
?
?
?
?
1
x
?
1
?
x
?
dx
1
dx
x
1
?
x
?
2
?
1
< br>1
?
?
x
?
2
d
x
?
2arcsin
x
< br>?
C
；
(3)
< br>
1
?
e
x
?
e
?
x
dx
?
?<
/p>
?
?
e
x
?
e
?
x
2
dx
?
1
x
de
2
1
1
?
?
e
x
?
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