-
.
一级模块名称
三级模块名称
先行知识
模块基本信息
积分学
二级模块名称
凑微分法
1
、积分基本公式
< br>2
、牛顿
—
莱布尼茨公式
知识内容
模块编号
计算模块
4-9
模块编号
4-7
模块编号
4-6
教学要求
掌握程度
1.
会运用凑微分法求
1.
凑微分法求不定积分
< br>
不定积分
熟练掌握
2.
会运用凑微分法求
2.
凑微分法求定积分
定积分
1.
培养学生的知识迁移能力
能力目标
2.
培养学生的计算能力
时间分配
90
分钟
编撰
尧克刚
校对
熊文婷
审核
危子青
修订人
张云霞
二审
危子青
一、正文编写思路及特点
<
/p>
思路：
在熟练掌握积分基本公式的基础上，引入凑微分法，按照<
/p>
由易到难的顺序讲题例题、
安排习题，
使
学生能够灵活运用凑微分积
分法求函数的不定积分。
在学习完不
定积分的凑微分法后再来学习定
积分的凑微分法。
特点：
通过变换习题的手段，
一方面进一步的巩固积分基本公式，
另一方面锻炼学生的观察能
力和知识的迁移能力。
二、授课部分
（一）
新课讲授
利用基本积分公式与不定积
分的性质，
所能计算的不定积分是非
常有限的
< br>.
因此有必要进一步来研究不定积分的求法
.
由微分运算与
积分运算的互逆关系，
我们可以把复
合函数的微分法反过来用于求不
定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，
称为换元法
积分法，简称换元法。我们来讨论两类换元法
---
--
第一类换元法和
第二类换元法
.<
/p>
本节课我们来学习第一换元法，也称为凑微分法
.
1
、不定积分的凑微分法（第一换元积分法）
（
1
）基本积分公式的推广
定理：若
?
f
(
x
)
dx
?
F
(
x
)
?
C
,
则
?
f
(
?
(
x
))
d
?
(
x
)
.
u
?
?
(
x
)
?
?
f
< br>(
u
)
du
?
F
(
u
)
?
C
?<
/p>
F
(
?
(
x
))
?
C
.
u
?
2
x
例如：
?
e
d
2
x
?
2
x
u
u
2
x
e
du
?
e
?
C
?
e
?
C
?
?
cos3<
/p>
xd
3
x
u
?
3
x
?
?
cos
udu
?
sin
u
?
C
?
sin
3
x
?
C
（
2
）引例
：求不定积分
?
e
2
x
dx
分析：
在基本积分公式中只有
?
e
x
dx
?
e
x
?
C
.
比较
?
e
x
dx
与
< br>x
2
x
这两个积分，我们发现区
别只是
的幂次相差一个常数因子，
e
e
dx
?
但显然
?
e
2
x
dx
?
e
2
x
?
C
.
如果将
dx
中的
x
凑上一
个常数因子
2
，
使之成
为下式
1
2
x
2
x
2
x
1
e
dx
?
e
d
2
x
?
e
d
2
x
?
?
2
2
?
然后再令
u
?
2
x
，那么上述积分就变为
1
2
x
1
u
2
x
e
dx
?<
/p>
e
d
2
x
?
e
du
?
?
?
2
2
这样就将原不定积分化为可用基本积分公式的问题了，而
< br>
?
e
du
< br>?
e
u
u
?
C
,
最后将
u
?
2
x
代
回，从而有
2
x
?
e
dx
?
1
2
x
1
u
e
d
2
x
?
e
du
2
?
2
?
1
1
?
e
u
?
C
?
e
2
x
?
C
2
2<
/p>
1
由于
(
e
2
x
)'
?
e
2
x
，所以计算结
果正确
.
2
（
3
）
不定积分的凑微分法（第一换元法）
将引例抽象化，对于具有形如
?
f
[<
/p>
?
(
x
)]
?
'(
x
)
dx
的不定积分，可利
用
下面的积分方法：
?
f
[
?
(
x
)]
?
'(
x
)
dx
?
?
f
[
?
(
x
)]
d
?
(
x
)
?
[
?
f
(
u
)
du
]
u
?
?
(
x
)
定理
1
设
f
(
u
)
具有原函数
?
u
?
?
(
x
)
可导
?
则有换元公式
?
f
[
?
(
x
)]
?
?
(
x
)
dx
?
?
f
< br>[
?
(
x
)]
d
?
(
x
)
?
?
f<
/p>
(
u
)
du
?
F
(
u
)
?
C
?
F
[
?
(
< br>x
)]
?
C
其中，
F
'
(
u
)
?
f
(
u
)
,
此称为积分形式的不变形，又称为
第一换元积
< br>分法或凑微分法
。
总结：
凑微分法的关键是凑成微分
?
'(
x
)
dx
?
d
?
(
x
)
的形式
，
即通
过凑成某个函数的微分，
进一步的凑成基本积分公式，
然后利用基本
公式积出来
.
.
（
4
）案例讲解
例
1.
求下列函数的不定积分
(1)
?
cos
2
xdx
（一级）
(2)
?
1
dx
（一级）
3
?
x
1
1
解
:
(1)
?
cos
2
xdx
?
?
cos
2
xd
2
< br>x
?
?
cos
< br>udu
(
令
u
< br>?
2
x
)
2
2
1
1
?
sin
u
?
C
?
sin
2
x
?
C
2
2
1
注：此题利用凑微分公式
d
2
x
?
dx
，从而凑出了
2
(3)
?
(1
?
2
x
)
3
dx
（一级）
?
cos
udu
?
sin
u
?
C
这个积分公
式
(2)
?
1
1
1
1
dx
?
?
d
(3
?
x
)
?
?
du
(
令
u
?
3
?
x
)
3
?
x
3
?
x
2
u
1
1
?
ln
u
?
< br>C
?
ln
3
?
x
?
C
2
2
注：此题利用凑微分公式
dx
?
d
(
x
?
3)
，从而凑出了
1
?
u
du
?<
/p>
ln
u
?
C
这个积分公式
1
(3)
?
(1
?
2
x
)
3
dx
?
?<
/p>
?
(1
?
2
x
)
3
d
(1
?
2
x
)
（）
2
1
?
?
?
u
3
du
（
u
?
1
?
2
x
）
2
1
1
?
?
u
4
?
C
?
?
(1
?
2
x
)
4
?
C
8
8
1
注：此题利用凑微分公式
?
d
(1
?
2
x
)
?
dx
< br>，从而凑出了
2
3
1
4
u
du
?
u
?
C
< br>这个积分公式
?
4
在计算比较熟练以后，
换元这一步可以省略，
即按
如下方法写出
计算过程：
3
?
(1
?
2
x
)
dx
?
?
1
1
3
< br>(1
?
2
x
)
d
(1
?
2
x
)
?
?
(1
?
2
x<
/p>
)
4
?
C
?
2
8
例
2.
求下列函数的不定积分
(1)
?
xe
x
dx
（二级）
(2)
?
x
1
?
x
2
dx
（二级）
1
1
1
(3)
?
dx
（二级）
(4)
?
2
cos
dx
（二级）
x
ln
x
x
x
2
.
.
(5)
?
（
7
）
?
c
os
x
e
x
d
x
（二级）
(6)
?
dx
（二级）
sin
x
x
dx
（二级）
x
< br>(1
?
2ln
x
)
2
解
:
(1)
?
xe
x
dx
?
1
x
2
2
1
x<
/p>
2
e
dx
?
e
?
C
2
?
2
1
(2)
?
x
1
?
x
2
dx
?
?
?
1
?<
/p>
x
2
d
(1
?
x
2
)
2
3
3
1
2
1
2
2
2
2
?
?
?
(1
?
x
)
?
C
?
?
(1
?
x<
/p>
)
?
C
2
3
3
1
1
dx
?
?
d
ln
x
?
ln
ln
x
?
C
x
ln
< br>x
ln
x
1
1
1
1
1
(4)
?
2
cos
< br>dx
?
?
?
cos
d
?
?
sin
?
C
x
x
x
x
x
(3)
?
(5)
?
(6)
?
cos
x
1
dx
?
?
d
sin
x
?
2
sin
x
?
C
s
in
x
sin
x
e
x
x
dx
?
2
?
e
x<
/p>
d
x
?
2
e
x
?
C
（
7
）
?
dx
1
?
< br>?
d
(1
?
2ln
x
)
x
(1
?
2ln
< br>x
)
1
?
2ln
x
?
ln
1
?
2ln
x
?
C
由以上题目可见，凑微分是通过凑出某个函数的微分进一步的
凑成基本的积分公
式，
从而掌握一些常用的凑微分方法是必要的，
下
面是
一些常用的凑微分方法
：
1
（
1
）
?
f
(
ax<
/p>
?
b
)
dx
?
?
f
(
ax
?
b
)
d
(
ax
?
b
)(
a
?
0);
a
（
2
）
?
f
(
x
?
)
x
?
?
1
dx
?
（
3
）
?
f
(ln
x
)
dx
?
f
(
x
?
?
1
?
)
d
(
x
?
);
< br>
1
f
(ln<
/p>
x
)
d
(ln<
/p>
x
);
a
?
1
x
x
（
4
）
?
f
(
a
x
< br>)
a
x
dx
?
f
(
a
)
d
(
a
);
?
ln
a<
/p>
特别地，
?
f
(
e
x
)
e
x
dx
?
?
f
(
e
x
)
d
(
e
x
);
.
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