-
第
20
练
平面向量的综合应用
刷基础
1
．
（
2020·
东莞市东华高级中学月考
）
在平行四边形
ABCD
中，
|
AB
|
?
3
，
若
（
）
A
．
2
3
【答案】
B
【详解】
B
．
3
BA
BA
?
BC
BC
?
BD
BD
，
则
|
AC
|
=
3
C
．
4
3
D
．
3
BA
|
BA
|
|<
/p>
BC
|
?
BC<
/p>
?
BD
BD
，则
BD
平分
?
A
BC
，则四边形
ABCD
为菱形
.
且
?
ABC
?
120
，由
AB
?
BC
?
3<
/p>
，则
|
AC
|<
/p>
?
3
3
,
故选：
B.
2
．
（
2020·
湖北随州
·
月考）
设
A
、
B
、
C
是半径为
1
的圆上三点，
若<
/p>
AB
?
A
．
3
?
3
【答案】
C
【详解】
设圆心为点
O
，则
OA
?
OB
?
1
，
< br>B
．
则
AB
?
AC
的最大值为
（
）
2
，
3
?
3
2
C
．
1
?
2
D
．
2
AB
?
2
，
?
AB
2
?
OA
2
?
OB
2
，则
OA
?
OB
，
?
AB
?
AC
?
OB
?
OA
?
OC
?
OA
?
OB
?
OC
?
OA
?
OC
?
OA
?
OB
?
OA
?
OC
?
1
?
AB
?
OC
?
1
?
AB
?
OC
cos
?
AB
,
OC
?
?
1
?
2
?
1
.
< br>当且仅当
AB
与
OC
方向相同时，等号成立，因此，
AB
?
AC
的最大值为
1
?
2
.
故选：
C.
3
．
（
202
0·
重庆月考）直线
ax
by
c
?
?
?
?
2
?
?
< br>0
与圆
O
:
x
2
?
y
2
?
4
相交于
M
，
N
两点，若
c
2
?
a
2
?
b
2
，
P
为
圆
O
上任意一点，则
PM
?
PN
的取值范围为（
）
A
．
[
?
2,6]
【答案】
A
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
1
B
．
?<
/p>
?
2,4
?
<
/p>
C
．
?
1,4<
/p>
?
D
．
[
?
1,4]
【详解】
解：取
MN
的中点
A
< br>，连接
OA
、
OP
，则
OA
?
MN
，
∵
c
2
?
a
2
?
b
2
，
∴点
O
到直线
MN
的距离
OA
?
在
Rt
AON
中，
cos
?
AON
?
2
|
c
|
a
?
< br>b
2
2
?
1
，
OA
1
?
，
ON
2
2
1
?
1
?
∴
cos
?
MON
?
2co
s
?
AON
?
1
?
2
?
?<
/p>
?
?
1
?
?
，
2
?
2
?
∴
OM
?
ON
?
|
OM
|
?
< br>|
ON
|
cos
?
MON
?
2
?
2
?
?
?
∴
PM
?
PN
?
(
OM
?
OP
)
?
(
ON
?
OP
)
?
1
?<
/p>
?
?
?
2
，
?
2
?
?
OM
?
ON
?
OP
?
OP
?
(
OM
?
ON
)
?
?
2
?
4
?
2
OP
?
OA
?
2
?
2
|
OP
|
?
|
OA
|<
/p>
cos
?
AOP
2
?
2
?
4cos
?
AOP
，
当
OP
，
OA
同向时，取得最小值，为
2
?
4
?
?
2
；
当
OP
，
OA
反向时，取得最大
值，为
2
?
4
?
6
.
∴
P
M
?
PN
的取值范围为
?
?
2,6
?
.
故选：
A.
4
．
（
2020·
江苏镇
江
·
月考）
已知
ABC
是顶角
A
为
< br>120°
腰长为
2
的等腰三角形
，
P
为平面
ABC
内一点，
则
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
PA
?
(<
/p>
PB
?
PC
)<
/p>
的最小值是（
）
A
．
?
1
1
2
B
．
?
3
2
< br>
C
．
?
4
D
．
-1
【答案】
A
【详解】
如图，以
< br>BC
为
x
轴，
< br>BC
的垂直平分线
DA
为
y
轴，
D
为坐标原点
建立平面直角坐标系，
则
A
(0,1)
，
B
(
?
3,0)
，<
/p>
C
(
3,0)
，
设
P
(
x
,<
/p>
y
)
，
所以
PA
?
(
?
x
,1
?
y
)
，
PB
?
(
?
3
?
x
,
?
y
)
，
PC
?
(
3
?
x
,
?
y
)
，
所以
PB
?
PC
?
(
?
2
x
,
?
2
y
)
，
PA
?
< br>(
PB
?
PC
< br>)
?
2
x
2
?
2
y
(
1
?
y
)
?<
/p>
2
x
2
?
2(
y
?
1
2
1
1
2
)
?
2
?
< br>?
2
当
P
(0,
1
1
2
)
时，所求的最小值为
?
2
.
故选：
A
5
．
（
2018·
浙江台州
·
期中）已知
O
为四边形
ABCD
所在平面
内的一点，
OA
，
OB
，
OC
，
OD
满足
OA
?
OC
?
OB
?
OD
，
OA
2
?
OC
2
?
OB
2
?
OD
2
< br>，则四边形
ABCD
一定为（
）
A
．正方形
B
．矩形
C
．菱形
D
．等腰梯形
【答案】
B
【详解】
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
3
由
OA
?
OC
?
OB
?
OD
可得：
OA
?
OB
?
OD
?
OC
，即
BA
?
CD
,
所以四边形
ABCD
为平行四边形，
由
OA
?
OC
?
OB
?
OD
得：
OA
?
OB
?
OD
?
OC
，
即
(
OA
?
OB
)
?
(
OA
?
OB
)
?
(<
/p>
OD
?
OC
)<
/p>
?
(
OD
?
OC
)
?
(
OA
?
OB
)
?
BA
?
(
OD
?
OC
)
?
CD
，
因为
BA
?
CD
，所以
(
OA
?
OB
)
?
BA
?
(
OD
?
OC
)
?
BA
?
0
?
(
OA
?
OB
?
OD
?
OC
)
?
BA
?
0
，
所以
(
< br>DA
?
CB
)
< br>?
BA
?
0
又四边形
ABCD
为平行四边形
，所以
DA
?
CB
，所以
CB
?
BA
?
0
，
所以四边形
ABCD
为矩形，
故选：
B.
6
．
（
2020·
北京其他模拟）已知
非零向量
a
，
b
满足
a
?
?
b
，则
“
?
?
?
1
”
是
“
a
2
?
b
2
”
的（
）
A
．充分而不必要条件
C
．充分必要条件
【答案】
C
【详解】
非零向量
< br>a
，
b
满足
a
?
?
b
，
“
?<
/p>
?
?
1
”
，
?
“
a
2
?
b
2
”
，
“
a
2
?
b
2
”<
/p>
，
a
?
?
b
，
B
．必要而不充分条件
D
．既不充分又不必要条件
2
2
2
2
2
2
2
2
< br>?
a
?
?
b
?
?
b
?
b
，
?
?
?
?
1
，
?
“
?
?
?
< br>1
”
是
“
a
2
?
b
2
”
的充分必要条件．
故选：
C.
．
7
．
（
202
0·
河南月考（理）
）如图，点
P
在
ABC
的内部，
D
，
E
是边
A
B
，
AC
的中点
(
D
，
P
，
E
三点
不共线
)
，
PE
?
2
PD
?
2
，<
/p>
BC
?
PD
?<
/p>
?
4
，则向量
P
D
与
PE
的夹角大小为（
）
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
4
A
．
105°
【答案】
B
【详解】
B
．
120°
C
．
135°
D
．
150°
连接
DE
，如下图所示
.
因为
D
，
E
是边
AB
，
AC
的中点，所以
DE
//
BC
，且
DE
?
1
BC
，所
以
BC
?
2
D
E
，所以
2
BC
?
PD
?
2
DE
?
PD
?
2
PE
?
PD
?
PD
?
?
1
?
2
PE<
/p>
?
PD
?
2
PD
?
2
PE
PD
cos
?
DP
E
?
2
PD
?
4
cos
?
D
PE
?
2
?
?
4
，解得
cos
?
DPE
?
?
.
2
2
2
又
因为
?
DPE
?
?
0,
π
?
，
所以
?
D
PE
?
120
?
.
则向量
PD
与
PE
的夹角大小为
120°
，
故选：
B
. <
/p>
8
．
（
2020
·
上海市七宝中学月考）已知命题甲：非零向量
a
，
b
，
c
< br>满足
a
?
b
?
c
?
0
；命题乙：
a
，
b
，
c
可以构成三角形，则甲是乙的（
）条件
A
．充分非必要
【答案】
D
【详解】
若
a
?
b
?
c<
/p>
?
0
且
a
，
b
，
c
共线，则
a
，
b
，
c
不可以构成三角形，故甲不能推出乙；
在
ABC
中，若
a
?
AB
，<
/p>
b
?
BC
，
c
?
AC
，则
a
，
b
，
c
可以构成三角形，
5
B
．必要非充分
C
．充要
D
．非充分非必要
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
但
a
?
b
?
c
?
AB
?
BC
?
AC
?
2
A
C
?
0
，
故
a
，
b
，
c
可以构成三角形推不出
a
?
b
?
c
?
0
；
所以甲是乙的非充分非必要条件
.
故选：
D.
9
．
（
2020·
北京人大附中月考）
在四面体
ABCD
中，
P
在面
ABC
内，
Q
在面
BCD
内，且满足
AP
?
xAB
?
y
AC
，
AQ
?
s
AB
?
t
AC
?
u
A
D
，若
A
．
A
Q
与
DP
所在直线是异面直线
C
．线段
AQ
与
DP
必相交
【答案】
C
【详解】
x
s
?
，
则下面表述中，
线段
AQ
与
DP
的关系是
（
）
y
t
B
．
AQ
与
DP
所在的直线
平行
D
．线段
AQ
与
DP
延长后相交
解：若
x
?
s
?
0
，则
AP
?
y
AC
，
AQ
?
t
< br>AC
?
u
AD
< br>，所以
AQ
?
面；
t
AP
?
u
AD
，所以
A
,
P
,
D
< br>,
Q
四点共
y
< br>s
t
s
t
?
若
x
?
0
，则
s
?
0<
/p>
，则
，设
?
?<
/p>
k
，所以
s
?<
/p>
kx
,
t
?
ky
，
x
y
x
y
所以
AQ
?
s
AB
?
t
AC
?
u
AD
?
kxAB
?
ky
AC
?
u
AD
?
k
AP
?
u
AD
，
所以
A
,
P
,
D
,
Q
四点共面；
综合以上有，线段
AQ
与
DP
必相交
.
故选：
C
10
．已知
ABC
所在平面内一点
P
，满足
PA
?
PB
?
PC
?
（<
/p>
）
A
．
1
AB
，则
△
ABP
与
ABC
的
面积的比值为
2
1
< br>6
B
．
1
4
C
．
1
3
D
．
1
2
【答案】
C
【详解】
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
如图所示
,
PA
?
PB
?
PC
?
1<
/p>
1
3
1
AB
?
(
PB
?
PA
)
,
所以
PA
?
PB
?
PC
?
0
,
即
3
PA
?
PB
?
2
PC
?
0
,
所以
2
2
2
2
< br>2(
PA
?
PC
)
?
(
PA
< br>?
PB
)
?
0
,
设
AB
和
AC
的中点分别为
D
,
E
,
则由
2(
PA
?
PC
)
?
(
PA
?
PB
)
?
0
可得
2
PE
?
PD
?
0
< br>,
即
PD
?
?
2
PE
,
即点
P
是
ABC
的中位线
DE
上靠近点
E
的三等分点
,
所以
S<
/p>
故选
:C
ABP
?
2
S
3
A
BE
?
2
1
?
S
3
2
ABC
1
?
S
3
ABC
,
刷能力
1
．
P
是
?
ABC
内一点，满足
2
PA
?
3
PB
?
4
PC
?
0
，则
S
?
PBC
:
S
?
PCA
:
S
?
PAB
?
（
）
A
．
4:3:
2
【答案】
B
【详解】
B
．
2:3:
4
C
．
1
1
1
:
:
4
3
2
D
．
1
1
1
:
:
2
3
< br>4
P
是
?
ABC
内一点，且满足
2
PA
?
3
PB
?
4
PC
?
0
，
?
PA
?
PB
?
2
PC
?
0
．
< br>
延长
PB
到
< br>B
1
，使得
PB
1
?
3
PB
< br>，延长
PC
到
C
1
，使得
PC
1
?
2
PC
，
2
3
2
连结
PB
1
、
PC
1
、
B
1
C
1
，则
PA
?
PB
1
?
PC
1
?
0
．
?
P
是
?
AB
1
C
1
的重心，
设
S
PB
1
C
1
?
3
S
，则
S
APB
1
?
S
APC
1
?
S
PB
1
C
1
?
S
，
2
1
1
S
?
PBC
?
?
?
S
?
S
，
<
/p>
3
2
3
S
?
PCA
?
1
2
S
，
S
?
PAB
?
S
，
2
3
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
7
?
S
:
S
1
1
2
?
PBC
:
S
?
PCA
?
PAB
?
3
S
:
2
S
:
3
S
?
2:3:
4
．
故选：
B
．
2
．在
?<
/p>
ABC
中，
?
A
?
60
?
，<
/p>
?
A
的平分线
A
D
交边
BC
于点
D
，已知
AD
?
2
3
，且
?
AB
?
AD
?
1
3
AC
(
?
?
R
)
，则
AB
在
AD
方
向上的投影为
(
)
A
．
1
B
．
3
2
C
．
3
D
．
3
3
2
【答案】
D
【详解】
因为
?
AB
?
AD
?
1
3
AC
(
?
?
R
)<
/p>
，如图设
AE
?
1
3
AC
,
D
F
/
/
AC
,
所以四边形
AFDE
为菱形；
因为
AD
?
2
3
，
?
A
?
60
?
，所以
AE
?
2
,
即有
AC
?
6
;
结合比例性质可得
BF
?
1
,
所以
A
B
?
3
;
A
B
在
AD
方向上的投影为
AB
cos30
?
?
3
3
2
.
故选：
D.
3
．
（
2020·
天津
静海一中高一月考）点
O
、
P
是
?
ABC
所在平面上
的两点，满足
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
8
(<
/p>
OB
?
OC
)<
/p>
?
(
OB
?
OC
?
2
OA
)
?
0
和
|
PB
?
PC
|
?
|
PB
?
PC
?
2
PA
|
?
0
，则
?
ABC
的形状是（
）
A
．等腰直角三角形
B
．直角三角形
C
．等腰三角形
D
．等边三角形
【答案】
A
【详解】
点
O
、
P
是
?<
/p>
ABC
所在平面上的两点，满足
(
OB
?
OC
)
?
(
OB
?
OC
?
2
OA
)
?
0
所以
?
OB
?
OC
?
?
?
OB
?
OA
?
OC
?
OA
?
?
0
即
CB
?
?
AB
?
AC
?
?
0
因为
CB
?
AB
?
AC
所以
?
AB
?
AC
?
?
?
AB
?
AC
?
?
0
即<
/p>
AB
2
?
AC<
/p>
2
，所以
AB
?
AC
又因为
|
PB
?
PC
|
?
|
PB
?
PC
?
2
PA
|
?
0
则
CB
?
?
PB
?
PA
?
?
?
PC
?
PA
?
?
0
所以
CB
?
AB
?
AC
即
AB
?
AC
?
AB
?
AC
两边同时平方并展开化简可得
AB
?
AC
?
0
即
AB
?
< br>AC
所以
?
< br>A
?
?
2
综上可知，
?
< br>ABC
的形状是等腰直角三角形
故选：
A
t
?
4
．
?
OA
B
中，若
OA
?
a
，
OB
?
b
，
OP
?
p
?
?
a
?
?
b
?
?
，
t
?
R
，则点
P
在（
?
a
b
?
?
A
．
?
AOB
的平分线所在的直线上
B
．
线段
AB
的中点上
< br>C
．
AB
边所在直线上
D
．
AB
的中线上
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9
）
【答案】
A
【详解】
a
b
∵
,
分别表示
a
,
b
方向上的单位向量，
a
b
∴向量
a
a
?
b
b
为以
|
a
a
|,|
b
b
|
为邻边的菱形的对角线所在的向量，
?
a
b
?
< br>a
b
?
?
?
∵
OP
?
p
?
t
，∴
O
P
与
?
共线，
?
a
b
?
a
b
?
?
∵菱形的对角线互相平分，
∴点
P
在
?
AOB
的平分线所在的直线上
.
故选：
A.
5
．
（
2020·
四川省绵阳南山中学
开学考试）在
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，
?
a
?
c
??
sin
A
?
sin
C
?
?
b
sin
B
?
a
sin
B
，
b
?
2
a
?
4
，点
D
在边
AB
上，且
AD
?
2
DB
，则线段
CD
长
度的最小值为（
）
A
．
2
3
3
B
．
2
2
3
C
．
3
D
．
2
【答案】
A
【详解】
由
?
a
?
c<
/p>
??
sin
A
?
sin
C
?
?
b
sin
B
?
a
sin
B
及
正弦定理，
得
?
a
?
c
??
a
?
c
?
?
b
?
ab
，
即<
/p>
a
2
?
b
2
?
c
2
?
ab
，
2
?
a
2
?
< br>b
2
?
c
2
1
由余弦定理得，
cos
C
?
?
，∵
C
?
?
0,
?
?
，∴
C
?
.
3
2
< br>ab
2
由于
AD
?
2
DB
，∴
CD
?
CA
+
AD
?
CA
+
2
2
2
1
2
AB
?
CA
+
AC
+
CB
?
CA
?
CB
，两边平方，得
3
3
3
3
?
?
1
4
4
1
4
2
1
2
1
1
?
b
?<
/p>
2
a
?
2
2
CD
?
b
2
?
a
2
?
ab
cos
C
?
b
2
?
a
2
?
ab
< br>?
?
b
?
2
a
?
?
a
b
?
?
b
?<
/p>
2
a
?
?
?
?
，当且仅当
9<
/p>
9
9
9
9
9
9
9
9
9
?
2
?
2
b
?
2
a
?
2
时取等号，
即
CD
?
< br>故选：
A.
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1
0
2
1
4
2
2
3
b
?
2
a
?
.
，∴线段
CD
长度的最小值为
?
?
12
3
3