-
高考数学第一轮总复习
100
讲
1069
棱锥
一
.
知识回忆
:
棱锥：棱锥是一个面为多
边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形
.
[
注
]
：①一个棱锥能够四各面都为直角三角形
.
②一个棱柱能够分成等体积的三个三棱锥；因此
< br>V
棱
柱
?
S
h
?
3V
棱
柱
.
⑴①正棱锥定义：底面是正多
边形；顶点在底面的射影为底面的中心
.
[
注
]
：
i.
正四棱锥的各个侧面差不多上全等的等腰三角形
.
〔不是等边三角形〕
ii.
正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii.
正棱锥定义的推论：假设一个棱锥的各个侧面差不多
上全等的等腰三角形〔即侧棱相等〕
；底面为正
多边形
.
②正棱锥的侧面积：
S
?
Ch
'
〔底面周长为
C
，斜高为
h
'
〕
③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：
S
侧
?
a
1
2
S
底
cos
?
〔侧面与底面成的二面角为
?
〕
1
2
附：
c
以知<
/p>
c
⊥
l
，
cos
?
?
a
?
b
，
?
为二面角
a
?
l
?
b
.
l
b
那么
S
1
?
a
?
l
①，
S
2
?
l
?
b
②，
cos
?
?
a
?
b
③
?
①②③得
S
侧
?
< br>1
2
S
底
cos
?
.
注：
< br>S
为任意多边形的面积〔可分不多个三角形的方法〕
.
⑵棱锥具有的性质：
①正棱锥各侧棱
相等，各侧面差不多上全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等〔它叫做正棱
锥
的斜高〕
.
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一
个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的
射影也组成一个直角三角形
.
⑶专门棱锥的顶点在底面的射影位置：
<
/p>
①棱锥的侧棱长均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的外心
.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形的
外心
.
③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，那么顶点在底面
上的射影为底面多边形内心
.
④棱锥的顶点到底面各边距离相
等，那么顶点在底面上的射影为底面多边形内心
.
⑤三棱锥有
两组对棱垂直，那么顶点在底面的射影为三角形垂心
.
⑥三棱
锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影为三角形的垂心
.
< br>⑦每个四面体都有外接球，球心
0
是各条棱的中垂面的交
点，此点到各顶点的距离等于球半径；
⑧每个四面体都有内切
球，球心
I
是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离
等于半径
.
[
注
]
：
i.
各个侧面差不多上等腰
三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥
.
〔×〕
〔各个侧面的等腰三
A
角形不知是否全等〕
b
a
ii.
假设一个三角锥，两条对角线互相垂直，那么第三对角线必定垂直
.
简证：
A
B
⊥
CD
，
AC
⊥
BD
?
BC
⊥
AD.
令
AB
?
a
,
AD
?
c
,
AC
?
b
B
c
C
得
BC<
/p>
?
AC
?
AB<
/p>
?
b
?
a
,
AD
?
c
?
BC
?
AD
?
b
c
?
a
c
，
a
< br>?
?
c
?
b
?
?
0
,
b
?
?
a
?
c
?
?
0
?
a
c
?
b
c
< br>?
0
那么
BC
< br>?
AD
?
0
.
D
E
F
D
A
H
iii.
< br>空间四边形
OABC
且四边长相等，那么顺次连结各边的
中点的四边形一定是矩形
.
G
B
iv.
假设是四边长与对角线分不相等，那么顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形
. <
/p>
O'
C
简证：取
AC
中点
O
'
，那么
o
o
?
?
AC
,
B
O
?
?
AC
?<
/p>
AC
?
平面
O<
/p>
O
?
B
?
AC
?
BO
?
?
FGH
?
90
°易知
EFGH
为平行
四边形
?
EFGH
为长方形
.
假设对角线等，那么
EF
< br>?
FG
?
EFGH
为正方形
.
二
.
基础训练
:
1
．给出以下命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是
(
A
)
(
A
)
0
(
B
)
1
(
C
)
2
(
< br>D
)
3
2
．假如三棱锥
S
?
ABC
的底面是不等边三角形
，
侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点
S
< br>在底面的射
影
O
在
?
ABC
内，那么
O
是
?
ABC
的
(
D
)
(
A
)
垂心
(
B
)
重心
(
C
)
外心
(
D
)
内心
3
．
三棱锥
D
?
ABC<
/p>
的三个侧面与底面全等，
且
AB
?
AC
?
3
，
BC
?
2
，
那么以
BC
为棱，
以面
BCD
与
面
BCA
为面的二面角的大小是
(
C
)
2
?
?
?
?
(
A
)
(
B
)
(
C
)
(
D
)
3
4
3
2
4
、
假设一个三棱锥中，
有一条棱长为
a
，
其余棱长均为
1
，
那么其体积
F
(
a
)
取得最
大值时
a
的值为
〔
〕
A
、
1
B
、
三
.
例题分析<
/p>
:
例
1
．正四
棱锥
S
?
ABCD
中，高
SO
?
2
< br>6
，两相邻侧面所成角为
?
<
/p>
，
tan
(1)
求侧棱与底面所成的角。
(2)
求侧棱
长、底面边长和斜高
(
见图
)
。
3
5
6
C
、
D
、
2
2
2
?
2
?
2
3
,
3
解：
〔
1<
/p>
〕
作
CF
?
SB
于
F
，连结
AF
，那么
?
CFB
?
?
A
BF
且
AF
?
SB
，故
?
AFC
是相邻侧面所成二面
?
?
OC
角的平面角，连结
OF
，那么
?
AFC
?
?
，
?
OFC
?
，在
Rt
?
OFC
与
Rt
?
OBF
中，
tan
＝
＝
2
2
OF
3
OB
1
,
?
?
60
。
(
其中
?
SBO
为
SB
与底面所成的角，设为
?
)
故
sin
?
?
?
2
OF<
/p>
sin
?
〔
2<
/p>
〕在
Rt
?<
/p>
SOB
中，侧棱
SB
?
SO
=
4
2
，
OB
?
SO
?
cot
?
?
2
2
，
sin
a
∴边长
BC
?
2
?
OB
?
4
；取
BC
的中点
E
，连结
< br>SE
，那么
SE
是正四棱锥的斜
高，
在
Rt
?
SEB
中，斜高
SE
?
SB
2
?
< br>SE
2
?
2
7
；
例
2
．
如图正三棱锥
ABC
?
A
1
B
< br>1
C
1
中，
底面边长为
a
，
侧棱长为
2
a
，
假设通过对角线
AB
1
且与对角线
BC
1
2
D
F
E
G
C
B
C
1
平行的平面交上底面于
DB
1
。
〔
1
〕试确定
D
点的位置，并
证明你的结论；
〔
2
〕求平面
与侧面
AB
1
所成的角
及平面
AB
1
D
与底面所成的角；
〔
3
〕求
A
1
到平面
AB
1
D
的距
A
1
AB
1
D
B
1
A
离。
解：
〔
1
〕
D
为
A
< br>1
C
1
的中点。连结
A
1
B
与
AB
1
交于
E
，那么
E
为
A
1
B
的中点，
DE
为平面
AB
1
D
与平面
A
1
BC
1
的交线，∵
BC
1
//
平面
A
B
1
D
∴<
/p>
BC
1
//
DE
，∴
D
为
A<
/p>
1
C
1
的中点。
〔
2
〕过<
/p>
D
作
DF
?
A
1
B
1
于
F
，由正三棱锥的性质，
AA
1
?
DF
,
?
DF
?
平面
AB
1
，连结
< br>DG
，那么
?
DGF
为平面
AB
1
D
与侧面
AB
1
所成的角
的平面角，可求得
DF
?
3
?
a
，∴
?
DGF
?
4
4
3
a
，
< br>
4
由
?
B
1
FG
?
B
1
AA
1
，
得
FG
?
∵
D
为
A
1
C
1
的中点，∴
B
1
D
?
AC
1<
/p>
1
，由正三棱锥的性质，
AA
1
?
B
1
D
，∴
B
1
< br>D
?
平面
A
1
C
∴
B
1
D
?
AD
，∴
?
A
1<
/p>
DA
是平面
AB
1
D
与上底面所成的角的平面角，可求得
tan
?
A
1
DA
?
2
，∴
?
A
1
D
A
?
arctan
2
< br>
〔
3
〕过
A
1
作
A
1
M
?
AD
，
∵
B
1
D
?<
/p>
平面
A
1
C
，∴
B
1
D
?
A
1
M
，∴
A
1
M
?
平面
AB
1
D
即
A
< br>1
M
是
A
1
到平面
AB
1
D
的距离，
AD
?
3
6
a
，∴
< br>A
1
M
?
a
2
6
例
3
．如图，三棱锥
P
< br>?
ABC
的侧面
PAC
是底角为
45
0
的等腰
三角形，
PA
?
PC
< br>，且该侧面垂直于底
面，
?
AC
B
?
90
，
A
B
?
10,
BC
?
6
，
B
1
C
1
?
3
，
(1)
求证：二面角
A
?
PB
?
C
是直二面角；
(2)
求二面角
P
?
AB
?
C
的正切值；
(3)
假设
该三棱锥被平行于底面的平面所截，
得到一个几何体
ABC
?
A
1
B
1
C
1
，
求几
何体
ABC
?
A
1
B
1
C
1
的侧面积．
证
(1)
如图，在三棱锥
P
?
< br>ABC
中，取
AC
的中点
D
．
由题设知
?
PAC
是等腰直角三角形，且
PA
?
PC
．∴
PD
?
AC
．
A
1
∵
平面<
/p>
A
1
ACC
1<
/p>
?
平面
ABC
，
∴
PD
?
平面
ABC
，
∵
AC
?
BC
∴
PA
?
BC
，∴<
/p>
PA
?
平面
PBC
，
∵
PA
?
平面
PAB
，
∴平面
PAB
?
平面
PBC
，
即二面角
A
?
< br>PB
?
C
是直二面角．
解
(2)
作
DE
?
AB
，
那么
PE
?
AB
．
∴
?
PED
是二面角
P
?
AB
?
C
的平面角．
在<
/p>
Rt
?
ABC
E
为垂足，
中，
AB
?
10,
BC
?
< br>6
，那么
AC
?
8,
PD
?
4
B
1
A
E
B
图
31
－
31
D
C
P
C
1
A
1
B
1
A
B
图
31
—
3
C
P
C
1
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