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三角形“四心”的向量性质及其应用
三角形“四心”
的概念介绍
(1)
重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成
2
：
1
；
(2)
外心—三边中垂线的交点
(
外接圆的圆心
)
：外心到三角形各顶点的距
离相等；
(3)
垂心—三条高线的交
点：高线与对应边垂直；
(4)
内心
—三条内角平分线的交点
(
内切圆的圆心
)
：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
工具：
O
为
△
ABC
内一点，则有：
S
?
OBC
?
OA
?
S
?
OCA
?
OB
?
S
?
OAB
?
OC
?
0
证明：延长
< br>AO
交
BC
于
< br>D
，如图必有：
A
S
?
OBC
|
OD
|
?
，
S
?
OCA
?
S
?
OAB
|
OA
|
S
?
OAB
|
BD
|
S
?
OCA
|
CD
|
?
?
，
；
---
（
*
）
S
?
OCA
?
S
?
OAB
|
BC
|
S
?<
/p>
OCA
?
S
?<
/p>
OAB
|
BC
|
O
C
OA
OD
由
A
,
O
,
D
共线，得：
?
?
0
|
OA
|
|
OD
|
进而得：<
/p>
B
D
|
OD
|
?
OA
?
OD
?
0
----------------
①
|
OA
|
|
CD
|
|
BD
|
?
OB
?
?
OC
----------
②
|
BC
|
|
BC
|
由
B
,
D
,
C
共线，得：
OD
?
由①②得：
|<
/p>
OD
|
|
CD<
/p>
|
|
BD
|
?
OA
?
?
OB
?
?
OC
?
0
代
入（
*
）结论
|
OA
|
|
BC
|
|
BC
|
得
S
?
OB
C
S
?
OCA
S
?
OAB
?
OA
?
?
OB
?
?
OC
?
0
S
?
OCA
?
S
?
OAB
S
?
OCA
?
S
?
OAB
S
?
OCA
?
S
?
OAB
消去分母得：
S
?
OBC
?
OA
?
S
?
< br>OCA
?
OB
?
S
?
OAB
?
OC
?
0
证毕
.
A
另
证：作
OH
//
AB
< br>,
OG
//
AC
，如图：
AGOH
为平行四边形；
G
由
S
?
OBC
?
OA
?
S
?
OCA
?
OB
?
S
?
OAB
?
OC
F
O
H
E
?
S
?
ABC
(
OA
?
AO
)
?
0
．
C
反方向思考：
设
O
在
?
AB
C
的内部，若有正实数
?
1
,
?
2
,
?
3
满足：
?
1
?
OA
?
< br>?
2
?
OB
?
?
3
?
OC
?
0
，
必有：
?
1
:
?
2
:
?
3
?
S
?
BOC
:
S
?
COA
:
S
?
AOB
．
B
D
A
'
证明：作：
OA
'
?
?
1
?
OA
，
OB
'
?
?
2
?
OB
，
OC
'
?
?
3
?
OC
则
OA
'
?
OB
'
?
OC
'
?
0
，
则
O
为
?
A
'
B
'
C
'
的重心，
< br>
则：
S
?
B
'
OC
'
?
S
?
C
'
OA
'
?
S<
/p>
?
A
'
OB
'
.
设为
S
B
A
O
C
C
'
B
'
1word
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?
S
?
B
'
OC
'
?
?
2
?
3
< br>?
S
?
BOC
< br>?
S
?
又
?
S
?
C
'
OA
'
?
?<
/p>
3
?
1
?
S
?
COA
?
S
?
S
?
?
A
'
OB
'
?
?
< br>!
?
2
?
S
?
AOB
?
S
从而得：
?
1
:
?
2
:<
/p>
?
3
?
验证式思
考：
先证引理：若
a
,
b
不共线，对
p
，有
a
?
p
?
0
且
b
< br>?
p
?
0
，必有
p
?
0
.
证明：若
p
?
0
.
必有
a
?
p
且
b
?
p
，得
a
//
b
，与题设矛
盾，故必有
p
?
0
.
再证：设
?
< br>BOC
?
?
，
< br>?
COA
?
?
< br>，则
?
AOB
?
2
?
?
?
?
?
；
由
OA
(
S
?
OBC
?
OA
?
S
?
OCA
?
OB
?
S
?
OAB
?
OC
)
A
S
?<
/p>
2
?
3
?
3
?
1
?
1
?
2
:
S
:
S
?
S
?
BOC
:
S
?
COA
:
S
?
AOB
．
O
C
1
?
OA
2
?
O
B
?
OC
[sin
?
?
sin(
?
< br>?
)]
?
0
；
2
B
有对称性知：
OB
(
S
?
OBC
?
OA
?
S
?
OCA
?
OB
?
S
?
OAB
?
OC
)
?
0
，又
OA
，
OB
不共线，
故：必有
S
?
OBC
?
OA
?
S
?
OCA
?
OB
?
S
?
OAB
?
OC
?
0
成立．
一、三角形的重心的向量表示及应用
知识：
G
是
△
ABC
的重心
?
AG
< br>?
1
(
AB
?
AC
)
< br>3
1
?
GA
?
GB
?
GC
?
0
?
OG
?
(
OA
?
OB
?
OC
)
(
O
为该平面上任意一点
)
3
略证：
S
?
GBC
:
S
?
GCA
:
S
?
GAB
?
1
:
1
:
1
，得：
GA
?
GB
?
GC
?
0
．
变式：
已知
D
，
E
，
F
分别为
△
ABC
的边
BC
，
AC
，
AB
的中点．则
AD
?
BE
?
CF
?
0
．
二、三角形的外心的向量表示及应用
知识
：
O
是
△
ABC
的外心
?
|
OA
|
?
|
OB
|
?
|
OC
|
?
OA
?
OB
?
OC
略证：
S
?
OBC
:
S
?
OCA
:
S
?
OAB
?
sin
2
A
:
sin
2
B
:
sin
2
C
，得：
sin
< br>2
A
?
OA
?
sin
2
B
?
OB
?
sin
< br>2
C
?
OC
?
0
2
2
2
|
AB
|
2
|
AC
|<
/p>
2
;
AC
?
AO
?
.
常用结论：
O
是
△
ABC
的外心
?
AB
?
AO
?
2
2
三、三角形的垂心
的向量表示及应用
知识
：
H
是
△
ABC
的垂心
?
HA
?
HB
?
HB
?
HC
?
HC
?
HA
略证：
S
?
HBC
:
S
?
HCA
:
S
?
HAB
?
tan<
/p>
A
:
tan
B<
/p>
:
tan
C
，得
：
tan
A
?
HA
?
tan
B
?
HB
?
tan
C
?
HC
?
0
扩展：若
O
是
△
ABC
的外心，点
H
满足：
OH
?
OA
?
OB
?
OC
，则
H
是
△
ABC
的垂心．
证明：
如图：
BE
为直径，
H
为垂心，
O
为外心，
D
为
BC
中点；
A
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< br>
E
O
H
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?
AH
?
BC
?
?<
/p>
AH
//
EC
?
?
EC
?
BC
?
?
有：
?<
/p>
?
AHCE
为平行四边形
CH
?
AB
?
?
?
?
CH
//
EA
?
< br>EA
?
AB
?
< br>?
进而得到：
AH
//
EC
,
且
AH
?
EC
，即：
AH
?
EC
；
又易知：
EC
?
2<
/p>
OD
?
OB
?<
/p>
OC
；
故：<
/p>
AH
?
OB
?<
/p>
OC
?
OH
?<
/p>
OA
，即：
OH
?
OA
?
OB
?
OC
．
又
：
OA
?
OB
?
OC
?
3
?
OG
（
G
为重
心）
，故：
OH
?
3
?
OG
；
故：得到欧拉线：
△
ABC
的外心
O
，重心
G<
/p>
，垂心
H
三点共线
(
欧拉线
)
，且
OG
?
的内心的向量表示及应用
1
GH
．证毕．
四、三角形
2
?
?
< br>?
AB
?
BA
< br>AC
?
AC
?
< br>?
?
?
?
AI
?
?
?
0
AI
?
?
?
?
?
|
AB<
/p>
|
|
AC
|
?
?
|
BA
|
|
AC
|
?
?
0
?
?
?
?
?
< br>?
?
?
?
BA
?
?
CB
BC
BA
?
?
?
?
?
?
?
知识：
I
是
△
ABC
的内心
< br>?
?
BI
?
?
|
BA
|
?
|
BC
|
?
?
0
?
?<
/p>
BI
?
?
|
CB
|
?
|
BA
|
?
?
0
?
?
?
?
?
?
< br>?
?
?
?
?
CA
CB
?
CI
?
?
?
CI
?
?
?
?
0
?
BC
?<
/p>
CA
?
?
0
?
?
|
CA
|
|
CB
|
?
?
|
BC
|
|
CA
|
?
?
?
?
< br>?
?
?
?
?
?
sin
A
?
IA
?
sin
B
?
IB
?
sin
C
?
IC
?
0
注：式子中
a
?
|<
/p>
BC
|,
b
?<
/p>
|
CA
|,
c<
/p>
?
|
AB
|
，
O
为任一点．
略证：
S
?
I
BC
:
S
?
I
CA
:
S
?
I
AB
?
a
:
b
:
c
?
sin
A
:
sin
B
:
sin
C
，
得之．
五．欧拉线
：
△
ABC
的外心
O
，重心
G
，垂心
H
三点共线
(
欧拉线
)
，且
OG
?
测
试题
一．选择题
< br>1
．
O
是
?
ABC
所在平面上一定点，动点
P
满足
OP
?
O
A
?
?
(
AB
?
AC
)
，<
/p>
?
?
?
0
,
??
?
，
则点
P<
/p>
的轨迹一定通过
?
ABC
的
(
)
A
．外心
B
．内心
C
．重心
D
．垂心
2
．
(03
全国理
4)
O
是
?
ABC
所在平面上一定点，动点
P
满足
OP
?
OA
?
?
(
则点
P<
/p>
的轨迹一定通过
?
ABC
的
(
)
A
．外心
B
．内心
C
．重心
D
．垂心
3
．
O
是
?
ABC
所在平面上一定点，动点
P
满足
OP
?
OA
?
?
(
1
（前已证）
GH
．
2
AB
AB
?
AC
AC
)
，
?
?
?
0
,
??
?
，
AB
AB
cos
B
?
A
C
AC
cos
C
)
，
?
?
R
，
则点<
/p>
P
的轨迹一定通过
?
ABC
的
(
)
A
．外心
B
．内心
C
．重心
D
．垂心
4
．
O
是
?
ABC
所在平面上一定点，动点
P
满足
OP
?
OA
?
?
(
AB
AB
sin
B
?
AC
AC
sin
C<
/p>
)
，
?
?
?
0
,
??
?
，
3word
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