-
在
Matlab
中使
用
ode45
简介
< br>Matlab
中常微分方程常用的函数是
ODE45
，
这个函数能够利用
--
< br>龙哥库塔法
--
有效求解带时
间
变量步长的计算。
Ode45
用于求解如下的一般问题：
dx
?
f
?
t
,
x
?
,
x
?
< br>t
0
?
?
x
0
（
1
）
dt
其中，时间
t
是独立变量，
x
为时间相关矢量
，
f
?
t
,<
/p>
x
?
是时间
t<
/p>
和
x
的函数。当（
1
）右边的
f
?
t
,
x
?
是固定的，且给定
x
的初始值，那么问题的解是唯一的。
在
ME175
中，
解法是不完整的，但是只要你解决了问题，就可以获得
ODE
代
表的系统运
动趋势。
这有利于得到一个直观的印象，
看起来很复杂的常微分方程，
代表的质点运动轨迹
确实简单明了的。以下简要解释如何得到运动轨迹：
第一步：
对给定的
< br>ODE
方程进行降阶处理，得到一系列一阶方程
这就是你要做的第一步，在一张草稿纸上处理。例如，给定
ODE
方程如下：
m
y
?
y
e
?
y
?
5
,
y
0
?
3
,
y
0
?
< br>?
1
（
2
）
对本问题，矢量
x
有两个组成分量：
y
和
y<
/p>
，或
?
?
?
?
y
2
?
x
?
1
?
?
y
x
< br>?
2
?
?
y
且
?
（
3
）
d
?
x
?
1
?
?
?
x
?
2
?
dt
（
4
）
d
?
x
?
2
?
?
1
2<
/p>
?
5
?
x
?
2
?
e
?
x
?
1
?
?
?
?
x
?
1
?
?
dt
m
?
?
其中，用（
3
）中的式子代表了
y
，
y
，
y
，于是把（
2
）改写为
（
4
）
。
如果求解的问题有更多阶数更多变量呢？例如，
我们除了有上面的方程
（
2
）
，
同时还有以下
的方程：
?
d
3
z
d
2
z
?
?
sin
?
z
?
?
t
,
z
0
?
0<
/p>
,
z
0
?
1
.
（
5
）
dt
3
dt
2
?
?
?
那么，我们可以通过构造更大的矢量
x
同时求解
y
，
z
：
x
?
3
?
?
z
x
?
4
?
?
z
（
6
）
x
?
5
?
?
z
?
?
?
然后
?
?
?
?
?
?
x
?
?
y
,
y
,
z<
/p>
,
z
,
z
?
（
7
）
?
?
以及
<
/p>
?
x
t
?
0
?
?
y
t
?
0
,
y
t
?
0
,
z
t
?
0
,
z
t
?<
/p>
0
,
z
t
?
0
?
（
8
）
?
其中，
y
变量和
z
变量的放置位置对求解不造成影响。实际上，任意次序都是有效的，例如
?
?
?
?
?
x
?
?
y
,
z
,
y
,
z
,
< br>z
?
和
x
?
?
z
,
z
,
z
,
y
,
y
?
?
?
?
?
?
?
?
< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
但是重要的是，在整个计算过程中
，你使用的顺序都必须和一阶
ODE
方程中定义的变量顺
序相同。之后，如果你使用的是（
7
）中给定
的的式子，那么系统的一阶
ODE
方程，由以
< br>下方程组组成。
（
10
）
<
/p>
?
?
?
?
?
?
而涉及的表征变量
x
?
?
y
,
z
,
y
,
z
,
z
?
结果如下：
?
?
（
11
）
基本上，可以处理任意数量的高阶
ODE
方程
。重要的是把它们处理成多个一阶的
ODE
方
< br>程，并且确保记住被求解的矢量
X
中，不同变量所分配的
顺序。
第二步
编写代码
既然你已经有所求解问题的
一阶格式，在你编程的主要代码中，将会用到以下的命令
?<
/p>
t
,
x
?
?
ode
45
?
@
fname
,
t
span
,
xinit
,
options
?
·
fname
是函数的
M
文件名用于求解方程（
1
）右边代数式的值。这个函数将被
输入一阶
ODE
系统中，并且被积分（见（
10
）
，
（
11
）
）
。后面，将会更详细的解释
。
注：当然关于
ODE45
如何积分给定的方程有细微的差别，但是对于简单的问题，不分先后
次序
的积分，是可以接受的。
·
tspan
是矢量定义了积分的起
始点和终点，同时也定义了时间步长。例如，我们需要积分
t=0
到
t=10
，希望步数是
100
步，那么
tspan=[0:0.1:10]
或者
tspan=linspace
（
0,10,100).
·
xinit
是初始条件矢量。确保初始值的顺序和给定的
x
中变量和它倒
数的顺序是一致的。
同时注意如果
x
有
5
个变量，那么同时要输入
5
个初始值。
·
opt
ion
这个在
matlab
的帮助文件
中有很好的说明。
对于大部分的问题，
使用默认值就可以
满足计算要求。
·
t
是独立变量，计算数组
x
在时间点<
/p>
t
的数值。这个矢量不必等于
tspan
，
ODE45
自动调节
步数以取得最大的效率和精确度。
（在快速变化部分采用小步长，在变化缓慢部
分采用大步
长）
。
< br>·
x
相关内容如下。
X
是数组或矩阵，大小为
length
（
t
）
*length
（
xinit
）
。每一列
x
代表不
?
?
?
?
?
?
同的因变量。例如，
x
?
?
y
,
y
,
z
,
z
,
z
?
，为简单假定
t=0,1
,2....,10,
将会计算函数在
11
个点的
?
?
值。
< br>
（
12
）
如果
z
是<
/p>
x
的第四个变量，那么
x
?
1
,
4
?
得到了
z
在
t=0
时候的值，
x
?
7
,
4
?
得到了
z
在
t=6
时
候的值，
x
?
11
,
4
?
得到了
t=10
时候的值。简而言之，
·
x
?
:,
k
?
代表
x
的第
k
个变量，
k=1
与变量
y
相关，<
/p>
k=2
与变量
y
相关。
·
x
?
j
,
:
?<
/p>
计算所有变量在某一时间点
j
的数值
?
?
?
?
注：在产生
hokey
pokey
舞蹈前，史前儿童围坐在篝火前齐唱：
You put your left foot in
You put your left foot out'
You put your left foot in
And you shake it all about
当
你使用
matlab
函数
ODE45<
/p>
及时完成作业时，
x
就是要做得全部内容
。
不幸的是由于缺乏
matlab<
/p>
软件，使得这本书过时了。
·
x
?
j
,
k
?
?
x
< br>?
时间，变量值
?
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