-
SPP
基本理论
1
基本理论
2.1
体材料无限大金属表面等离子体的传输和激发原理
对于二
维无限大平板问题，以平板所在平面
为
x-y
< br>平面，
以平板外法向为
z
轴建立
坐标系
（如
图
2.1
< br>）
。若要激起表面等离子体激元，使导体
表面的自由电子
重新分布，
就要求电场在金属表
面处于表面垂直。因此对于二维
问题，只有
TM
极化的入射光才能激发表面等离子体激元，
这也
与试验相吻合
[12]
。
图
2.1
表面等离子体激元效应发生
时金属表面
电荷和电场的分布情况
1986
年
Raether
总结前人的理论和试验，结
合表面等离子体激元的特性，
< br>给出了
Maxwell
方
程表面模式的解
[13]
。
下面就简要介绍一下这个
理论。
2.1.1
二维体材料表面等离子体在无限大光滑金属表面的传输理论
2.1.1.1
二维表面等离子体激元传输的色散关系
对于图
2.1
中所示的表面光滑，在
z
轴负方
向上无限大的二维平板，当
T
M
激化的电磁场入
射在界面上时，结合表面等离子体沿
x
方向传
输，
在
z
轴正负方向都指数衰减的特点，
Maxwe
ll
方程的解可以写成
z
?
0
:
H
1
?
(0,
H
y
1
,0)
e
i
(
k
x
1
x
?
k
z
1
z
?
?<
/p>
t
)
E
1
?
(
E
x
1
,0,
E
z
1
)
e
i
(
k
x
1
x
?
k
z
1
z
?
?
t<
/p>
)
(2.1a)
z
?
< br>0
:
H
2
?
(0,
H
y
2
,0)
e
i
(
k
x
1
x
?
k
z
1
z
?
?
t
)
E
2
?
(
E
x
2
< br>,0,
E
z
2
< br>)
e
i
(
k
x
1
x
?
k
z
1
z
?
?
t
)
(2.1b)
< br>其中下标
1
表示
z<0
的介质，
下标
2
表示<
/p>
z>0
的
介质，
k
表示波矢。将
(2.1)
式代入
Maxwell
方
程中的
< br>??
H
i
?
?
i
?
E
i
?
t
（
i=
1, 2
）得
k
z
1
H
y
1
?
??
1
E
x
1
k
z
2
H
y
2
?
?
??
2
E
x
2
(2.
2a)
错误
!
未指定书签。
k
x
1
H
y
1
?
?
??
1
E
z
1
k
x
2
H
y
2
?
?
??
2
E
z
2
(2.
2b)
错误
!
未指定书签。
在边界上电磁场须满足如下的边条件：
E
x
1
?
E
x
2
,
H
y
1
?
H
y
2
?
1
E
z
1
?<
/p>
?
2
E
z
2
,
k
x
1
?
k
x
2
?
k
x
(2.3)
由
(2.2a)
和
(2.3)
式可以得出
H
y
1
?
H
y
2
?
0
k
z
1
H
y
1
/
?
1
?
k
< br>z
2
H
y
2
/
?
2
?
0
若要此方程组有解，
则必须系数矩阵
行列式为
0
，
即
k
z
1
k
z
2
?
1
?
?
2
?
0
(2.4)
将
(2.1)
式代入
Maxwell
（
i=1, 2
）可得
?
k
z
1
< br>E
x
1
?
k
x
1
E
z
1
?
??
0<
/p>
H
y
1
k
z
2
E
x
2
?
k
x
2
E
z
2
?
??
0
H
y
2
方程中的
??
E
i
?
?
?
0
?
H
i
?
t
(2.5)
由
(2.5)
式和
(2.2)
式可得到
2
2
k
2
?
k
x
?
k
zi
?
?
ri
(
)
2
c
?
(2.6)
其
中
ε
ri
为介质
1
或
2
的相对介电常数。
(2.6)
式结合
(2.4)
式可得到二维无限大光滑金属平面
表面的色散方程为
k
x
?
?
?
?
1
?
2
?
?
?
< br>c
?
?
1
?
?
2
?
1
/
2
1/
2
(2.7)
k<
/p>
z
?
?
?
c
?
?
?
1
?
?
1
?
2
?
?
?
1
?
?
2
?
,(
z
?
0)
(2.8a)
?
1
< br>?
2
?
k
z
?
?
?
2
?
?
c
?
?
1
?
?
2
?
?
?
1/
2
,
(
z
?
0)
(2.8b)
将
(2.8)
式代入
(2.1)
式后可知，若要求波
矢量在
z
< br>轴的正负方向上都衰减，
则需要
k
z
为纯
虚数。
从而若光线从介质中入
射，
即
ε
2
为
正值，
由
(2.8b)
式可以得到
ε
1
一定为负值。而表面波
要沿着表面传输，这要求
k
x
为实数，所以有
|
ε
1
|>|
ε
2
|
。
目前金属和靠近本征频率的掺杂半
导体的介电常数满
足这个要求，
所以目前只有在
这些材料上可以看到表面等离子体
激元的效应。
借用三维自由空间等离子体（
< br>plasma
，不同
于表面等离子体激元
plasmon
）的介电常数公式
[14]
2
?
p
?
p
?
1
?
2
?
(2.9)
其中
ε
p
为等离子体的介电常数，
ω
为入射场频
率，ω
p
为等离子频率，它等于
4
?
ne
2
/
m
，其中
n
为电子密度，
e<
/p>
为电子电量，
m
为电子质量。如
果假设表面等离子体激元共振时金属的介电常
数为三维空间等离子体密度
，将
(2.9)
式代入
(2.7)
式的
ε
1
可得：<
/p>
k
x
?
2
?
d
(
?
p
?
?
2
)
2
?
p
?
(1
?
?
d
)
?
2
?
c
(2.10)
其中
ε
d
为介质的介电常数。由此可以得到二维
表面等离子体
激元传输的色散关系如图
2.2
所
示。
由
(2.10)
式可以马上得到，
在
k
x
很大的地方
，
它们应该分别趋于
?
p
/
2
和
?
< br>p
/
1
?
?
d
。
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：小数的意义
下一篇：表面活性剂的性能与作用