-
Normal
?
?
第
1
讲
空间几何体的结构、三视图和直观图
【
2013
年高考会这样考】
1
．几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点．
2
．
三视图和其他的知识
点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势．
【复习指导】
1
．备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．
2
．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长
(
正
)
方体、三棱锥等几何
体的三视图．
基础梳理
1
．多面体的结构特征
(1)
棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．
< br>
(2)
棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶
点的三角形．
(3)
棱台可由平行于
底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
2
．旋转体的结构特征
(1)
圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．
(2)
圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一
周得到．
(3)
圆台可以由直角梯形
绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋
转半周得到，也可由平
行于底面的平面截圆锥得到．
(4)
球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到．
3
．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用平行投影得到，
这种投影下，
与投影面平行的平面图形留下的影子，
与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三
视图包括正视图、侧视图、俯视图．
4
．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)
画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的
x
轴、
< br>y
轴，两轴相交于点
O
，画直观
图时，把它们画成对应的
1
页脚内容
Normal
?
x
′轴、
y
′轴，两轴相交于点
O<
/p>
′，且使∠
x
′
O
′
y
′＝45°或
< br>135°，已知图形中平行于
x
轴、
y
轴的线段，在直观图中平行于
x
′轴、
y
′轴．已知图形中平行于
x<
/p>
轴的线段，在直观
图中长度不变，平行于
y
轴的线段，长度变为原来的一半．
(2)
画几何体的高
在已知图形中过
O
点作
z
轴垂直于
xOy
平面，
在直观图中对应的
z
′轴，
也垂直
于
x
′
O
′<
/p>
y
′
平面，已知图形中平行于
z
轴的线段，在直观图中仍平行于
z
′轴且长度不变．
一个规律
三视图的长度特征：“长对
正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯
视图一样长，
侧视图和俯视图一样宽．
若相邻两物体的表面相交，
表面的交线是它们的分界
线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
< br>
两个概念
(1)
正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫
做正棱柱．反
之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
(2)
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的
射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱
锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面
体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶
点在底面的射影是底面正多边形的中心．<
/p>
双基自测
1
．
(
人教
A<
/p>
版教材习题改编
)
下列说法正确的是
(
)
．
A
．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B
．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C
．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几
何体叫棱锥
D
．棱台各侧棱的延长线交于一点
答案
D
<
/p>
2
．(2012·杭州模拟
)
用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一
定是<
/p>
(
)
．
A
．圆柱
C
．球体
B
．圆锥
D
．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析
当用过高线的平面截圆柱和圆锥
时，
截面分别为矩形和三角形，
只有球满足任意截面
都是圆面．
2
页脚内容
Normal
?
答案
C
3
．(2011·陕西
)
某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
(
)
．
2π
A
．
8
－
3
C
．
8
－2π
<
/p>
π
B
．
8
－
3
D.
2π
3
2
解析
<
/p>
圆锥的底面半径为
1
，
< br>高为
2
，
该几何体体积为正方体
体积减去圆锥体积，
即
V
＝
2
×2
1
2
2
－
×π×1
×2＝
8
－
π，正确选项为
A.
3
3
答案
A
4
．(2011·浙江
)
若某几何体的三视图
如图所示，则这个几何体的直观图可以是
(
)
．
解析
所给
选项中，
A
、
C
选项的正视图、俯视图不符合，
D
选项的侧视图不符合，只有
选项
B
符合．
答案
B
5
．(2011·天津
)
一个几何体的三视图如图所示
(
< br>单位：
m)
则该几何体的体积为
________m
.
页脚内容
3
3
Normal
?
解析
< br>
由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为
3
、
2
、
1
，上面
1
3
是一个圆锥，
底面圆半径为
1
，
高为
3
，
所
以该几何体的体积为
3×2×1＋
π×3＝
6
＋π(m
)
．
< br>
3
答案
6
＋π
考向一
空间几何体的结构特征
【例
1
】
?
(2012·天
津质检
)
如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥
”，四
条侧棱称为它的腰，以下
4
个命
题中，假命题是
(
)
．
A
．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B
．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C
．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D
．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
[
审题视点
]
可借助几何图形进行判断．
解析
如图
，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则
其腰与底面所成角相等，即
A
正确；底面四边形必有一个外接圆
，即
C
正确；在高线上可以找到一个点
O
，使得该点到四
棱锥各个顶点的距离相等，
< br>这个点即为外接球的球心，
即
D
正确；
但四棱锥的侧面与底面所
成角不一定相等或互补
(
若为正四棱锥则成立
)
．故仅命题
B
为假命题．选
B.
答案
B
三棱柱
、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是
重要的几何模型
，有些问题可用上述几何体举特例解决．
【训练
1
】
以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
页脚内容
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