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贾老师数学
第八章
立体几何
第一节
空间几何体的结构特征、三视图和直观图
?
基础知识
1.
简单的几何体
< br>（
1
）多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
侧棱
侧面形状
①特殊的四棱柱
四棱柱
―
―
―
―
< br>→
平行四边形
底面为
多边形
相交于一点，但不一定相等
三角形
互相平行且相似
延长线交于一点
梯形
互相平行且相等
互相平行且相等
平行四边形
平行
侧棱垂直
直平行
底面为
底面
侧棱与底面
―
―<
/p>
―
―
→
―
―
→
长方体
―
―
―
―
→
正四棱柱
―
―
―
―
→
正方体
边长相等
边长相等
六面体
于底面
六面体
矩形
上述四棱柱有以下
集合关系：
{
正方体
}
{
正四棱柱
}
{
长方体
}
{
直平行六面体<
/p>
}
{
平行六面
体
}
{
四棱柱
}
．
②多面体的关系：
棱柱
(2)
旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
一个底面退化
―
―
→
为一个点
< br>棱锥
平行于底面的
平面截得
―<
/p>
―
→
棱台
贾老师数学
图形
母线
轴截面
侧面展
开图
互相平行且相等，垂直于底面
全等的矩形
矩形
长度相等且相交于一点
全等的等腰三角形
扇形
▲球的截面的性质
(1)
球的任何截面是圆面；
(2)
球心和截面
(
不过球心
)
圆心的连线垂直于截面；
(3)
球心到截面的距离
d
与球的半径
R
及截面的半径
r
的关系为
r
＝
R
2
－
d
2
.
2
．
直观图
(1)
画法：常用斜二测画法．
(2)
规则：
①原图形中
x
轴、
y
轴、
z
轴两两垂直，
直观图中
，
x
′轴、
y
′轴的夹角为
45
°
(
或
135
°
)
，
z
′轴与
x
′
轴和
y
′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，
直
观图中仍平行于坐标轴．
平行于
x
轴和
z
轴的线段在直观图中
保持原长度不变
，平行于
y
轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3
．
三视图
几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上
方观察几
何体画出的轮廓线
.
延长线交于一点
全等的等腰梯形
扇环
圆
?
常用结论
1
．
常见旋转体的三视图
(1)
球的三视图都是半径相等的圆．
(2)
底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的
等腰三角形．
(3)
底面与水平面平
行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形．
(4)<
/p>
底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形．
2
．
斜二测画法中的
< br>“
三变
”
与
“
三不变
”
贾老师数学
坐标轴的夹角改变，
?
?
“三变”
?<
/p>
与
y
轴平行的线段的长度变为原来的一半
，
?
?
图形改变
.
平行性不改变，
?
?
“三不变”
?
与
x
轴和
z
轴平行的线段的长度不改变，
?
?
相对位置不改变
.<
/p>
考点一
空间几何体的结构特征
[
典例
]
下列结论正确的是
(
)
A
．侧
面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B
．六条棱长均相等的四面体是正四面体
C
．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D
．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
[
解析
]
<
/p>
底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，所以
A
错；斜四棱柱
也有可能两个侧面是矩形，所以
C
错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，所以<
/p>
D
错．
[
答案
]
B
[
题组训练
]
1
．下列结论中错误的是
(
)
A
．由
五个面围成的多面体只能是三棱柱
B
．正棱台的对角面一定是等腰梯形
C
．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线
D
．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
解析：
选
A
由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，所以
A
选项错误．
B
、
C
、
D
说法均正确．
2
．下列命题正确的是
(
)
A
．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B
．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C
．直角梯形以一条直角腰所在的直线为
旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D
．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
解析：
选
C
如图所示，可排除
A
、
B
选项．只要有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截面才为矩
形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分．
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考点二
空间几何体的直观图
[
典例
]
<
/p>
已知等腰梯形
ABCD
，
CD
＝
1
，
< br>AD
＝
CB
＝
< br>2
，
AB
＝
3
，以
AB
为
x
轴，则由斜二测画法画出的直观图
A
′
B
′
C
′
D
′的面积为
________
．
[
解析
]
<
/p>
法一：
如图，取
AB
的中点
O
为坐标原点，建立平面直角坐标系，
y
轴交
DC
于点
E
，
O
，
E
在
所
在
直
线
斜二测画法中的对应点为
O<
/p>
′
，
E
′
，过
E
′
作
E
′
F
′
⊥
x
′
轴，垂足为
F
′
，
因为
OE
＝
?
2
?
2
－
1
2
＝
1
，
所以
O
′
E
′
＝
1
2
，
E
′
F
′
＝
2
4
.
所
以直观图
A
′
B
′
C
′
D
′
的面积为
S
′
＝
1
2
2<
/p>
×
(1
＋
3)<
/p>
×
2
4
＝
2
.
法二：
由题中
数据得等腰梯形
ABCD
的面积
S
＝
1
2
×
(1
＋
3)
×
1
＝
2.
由
S
直观图
＝
2
4
S
2
2
原图形
的关系，得
S
直观图
＝
4
×
2
＝
2
.
[
答案
]
2
2
[
题组训练
]
1.
用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所
示的一个正方形，则原来的图形是
(
)
贾老师数学
解析：
选
A
由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为
2
，所以原图形为平行四边形，
位于
y
轴上的对角线长为
2
2.
故选
A.
2
．已知正三角形
ABC
的边长为
2
，那么△
ABC
的直观图△
A
′
B
′
C
′的面积为
________
．
解析
：如图，图①、图②分别表示△
ABC
的实际图形和直观图．
从
图②可知，
A
′
B
′
＝
AB
＝
2
，
1
3
3
2
6
O
′
C
′
＝
OC
＝
，
C
′
D
′
＝
O
′
C
′
sin 45
°
＝
×
＝
.
2
2
2
2
4
1
1
6
6
所以
S
△
A
′
B
′
C
′
＝
A
′
B
′
·
C
′
D
′
＝
×
< br>2
×
＝
.
2
2
4
4
答案：
6
4
考点三
空间几何体的三视图
考法
(
一
)
由几何体识别三视图
贾老师数学
[
典例
]
<
/p>
(2019·
长沙模拟
)
如图是一个正方体，
A
，
B<
/p>
，
C
为三个顶点，
D
是棱的中点，则三棱锥
A
-
BCD
的正视图、俯视图是
(
注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图
)(
)
[
解析
]
<
/p>
正视图和俯视图中棱
AD
和
BD
均看不见，故为虚线，易知选
A.
[
答案
]
A
考法
(
二
)
由三视图判断几何体特征
[
典例
]
<
/p>
(1)(2018·
全国卷Ⅰ
)
某圆柱的高为
2
，底面周长为
< br>16
，其三视图
示．圆柱表面上的点
M
在正视图上的对应点为
A
，圆柱
表面上的点
N
图上的对应点为
B
，则在此圆柱侧面上，从
M
到
N
的路径中，最短路
度为
(<
/p>
)
A
．
2
17
C
．
3
B
．
2
5
D
．
2
如<
/p>
图
所
在
左
视
径
的
长
(2)(2019·
武汉调研
)
< br>已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中最小的面积为
____
____
．
贾老师数学
[
解析
]
<
/p>
(1)
先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点
M
，
N
的位置如图①所示
．
圆柱的侧面展开图及
M
，
N
的位置
(
N
为
OP
的四等分点
)
如图②所示，连接
MN
，则图中
MN
即为
1
M
到
N
的最短路径．
ON
＝
×
16
＝
4
，
OM
＝
2
，
4
∴
MN
＝
OM
2
＋
ON
2
＝
< br>2
2
＋
4
2
＝
2
5.
(2)
由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为
2,1,
1
的长方体中，截去一个三棱柱
AA
1
D
1
-
BB<
/p>
1
C
1
和一个三
棱锥
C
-
BC
1
D
后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥
D
-
ABC
1
D
1
，其中侧面
ADD
1
的面积最小，
1
其值为
.
2
[
答案
]
(1)B
(2)
1
2
考法
(
三<
/p>
)
由三视图中的部分视图确定剩余视图
[
典例
]
<
/p>
(2018·
唐山五校联考
)
如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为
(
贾老师数学
)