-
第一章、空间几何体
本章概述
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．空间几何体是几
何学
的重要组成部分，
它在土木建筑、
机械设计、
< br>航海测绘等大量实际问题中都有着广泛的
应用，
是下一章
研究空间点、线、面的位置关系的载体，
是初中学过的平面几何的继续和发
展．另外，三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展空间想象力、推理
理论证能力、运用图形语言进行交流的能力，是高中阶段必修系列课程的基本要求．
本章从我们周围存在的各种物体的“形”的角度把握和认识了柱、锥、台、球
的结构
特征，
它们是我们认识空间几何体的基础．在此基础上，
我们认识了简单组合体，
并从不同
的方
面对空间几何体进行了分类．
学习在平面上画出空间几何体的三视图和直观图，
并掌握
两者的联系．
最后学习如何计算空间几何
体的表面积和体积，
从中了解解决空间几何问题的
基本方法．<
/p>
本章重点是空间几何体的结构特征，三视图和直观图的画法，几
何体的表面积和体积
的计算．
本章难点是对柱、
锥、
台、
球的结构特征的概括，
识别三视图所表示的空间几何体，
对一些几何体的表面积和体积公式的推导．
1.1
空间几何体的结构
1.1.1
柱、锥、台、球的结构特征
(
一
)
【考纲要求】
[
学习目标
]
1
．知道空间几何体的概念及其含义，了解空间几何体的分类及相关概念．
2
．了解棱柱、棱锥、棱台的定义，知道这三种
几何体的结构特征，给出几何体能够识
别和区分．
[
目标解读
]
1
．理解棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征是重点；
2
．通过实例，培养学生的观察能力和空间想象能力是难点．
【自主学习】
1
．空间几何体
(1)
空间几何体的定义
空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑这些物体的
和
，
而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
类
多面体
旋转体
别
定
由若干个
围成的几何
义
体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条
旋转所形成的
．
图
形
相
面：围成多面体的各个
．
关
棱：相邻两个面的
．
轴：形成旋转体所绕的
.
概
顶点：
的公共点
.
念
2
．多面体
多面
体
定义
图形及表示
相关概念
有两个面互相
，
其余各面
都是
，并且每相邻两个
棱柱
四边形的公共边都互相
，<
/p>
由这些面所围成的多面体叫做
棱柱
.
底面
(
底
)
：两个互相平行的面．
侧面：
．
侧棱：相邻侧面的
．
顶点：侧面与底面的
．
如图可记作：棱柱
有一个面是
，其余各
面
都
是
有
一
个
公
共
顶
点
棱锥
的
，由这些面所围成
的多面体叫做棱锥
如图可记作：棱锥
底面
(
底
)<
/p>
：
面．
侧面：有公共顶点的各个
．
侧棱：相邻侧面的
．
顶点：各侧面的
．
用一个
的平面去
棱台
截棱锥，底面与截面之间的部
分叫做棱台
.
上底面：原棱锥的
．
下底面：原棱锥的
．
侧面：其余各面．
侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：<
/p>
侧面与上
(
下
)
底面的公共顶点
.
如图可记作：棱台
特别提醒：
面数最少的棱锥是三棱锥，棱台的各侧面是梯形
.
【考点突破】
要点一
棱柱、棱锥、棱台的概念
1.
棱柱的结构特征
侧棱都相等，侧面都是平行四边形，两个底面相互平行；
2
．棱锥的结构特征
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形；
3
．棱台的结构特征
上下底面相互平行，各侧棱的延长线交于同一点．
典型例题
1
、
有下列说法
：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体
一定是棱柱；
②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫做棱台；
④棱柱的各相邻侧面的公共边互相平行．
以上说法中，正确说法的序号是
________(
写出所
有正确说法的序号
)
．
【思路启迪】
根据棱柱、棱锥、棱台的概念解答．
【解析】
由图甲知，说法①错误；<
/p>
如图乙，
由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成
的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，说法②错误；由棱台的定义知，说法③错误；
由棱柱的特点知，说法④正确．
【答案】④
方法指导：
解决该类题目需准确理解多面体的定义，
要真正把握多面体的结构特征．
要
学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个说法是错误的，设法
举出一个反例即可．
反馈训练
1
、
有下列说法：
①一个棱锥至少有四个面；
②如果四
棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
③五棱锥只有五条棱；
④用与底面平
行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
以上说法中，正确说法的序号是
________(
写出所有正
确说法的序号
)
．
< br>典型例题
2
、
如图所示为长方体
ABCD
－
A
′
B
′
C
′<
/p>
D
′，当用平面
BCFE
把这个长方体分
成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说
明理由；如果是，
指出底面
及侧棱．
【思路启迪】
可先确定两个互相平行的面，再根据棱柱的定义作出判断．
【解】
截
面
BCFE
右侧部分是棱柱，
因为它满
足棱柱的定义．
它是三棱柱
BEB
′－
CFC
′，
其中△
BEB
′和△
CFC
′是底面，<
/p>
EF
，
B
′
C
′，
BC
是侧棱
，截面
BCFE
左侧部分也是棱柱．它
是四棱柱
ABEA
′－
DCFD
′.其中四边形
ABEA
′和四边形
DCFD
′是底面，
A
′
D
′，
EF
，
BC
，
AD
为侧棱．
方法指导：
根据形成几何体
的结构特征的描述，
结合棱柱、
棱锥、
棱台的定义进行判断，
注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过演
示进行准确判断．
反馈训练
2
、
下列说法：
①有
两个面互相平行，
其余的面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，
故
一定不是棱台；
②
两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；
③两个互相平行的面是正方形，
其余各面是四边形的几何体一定是棱台．
其中正确的个
数为
(
< br>
)
A
．
3
B
．
2
C
．
1
D
．
0
要点三
多面体的表面展开图
1.
绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，
发挥空间想象能力或者
是亲手制
作多面体模型，
在解题过
程中，
常常给多面体的顶点标上字母，
先把多面体的底面画出来
，
然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
2
．若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可
把上述过程
逆推．
典型例题
3
、
请画出如图所示的几何体的表面展开图．<
/p>
【思路启迪】
假定一个面不动，进行空间想象，展开几何体．
【解】
展开图如图所示．
方法指导：
解答此类问题要结合多面体的结构特征，
发
挥空间想象能力和亲自动手制作
模型的能力。
反馈训练
3
、
根据下图所给的
几何体的表面展开图，画出立体图形．
考点巩固
一、选择题
1
．下列说法中正确的是
(
)
A
．棱
柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B
．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
C
．棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高
D
．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
2
．
如图，
D
，
E
，
F
分别是等边△
ABC
各边的中点，
把该图按虚线折起，
可以得到一个
(
)
A
．棱柱
C
．棱台
3
．下列三个说法，其中正确的是
(
)
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A
．
0
个
B
．
1
个
C
．
2
个
D
．
3
个
4
．在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1<
/p>
中，
AB
=3
，
AD
=2
，
C
C
1
=1
，一条绳子从点
A
沿表面拉到点
C
1
，
则绳子的最短的长是
(
)
B
．棱锥
D
．旋转体
A
．
3
2
B
．
2
5
C.
26
D
．
6 <
/p>
5
．如图，下列几何体中，
______
__
是棱柱，
________
是棱锥
，
________
是棱台．
6
．在正方体上任意选择
4
个顶点，它们可能是如下各种几何图形的
4
个顶点，这些几
何体是
________(
写出所有正确结论的序号
)
．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，
有一个面为等边三
角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
7
．在如图所示的三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分
都是一个三棱锥．
8
．如图所示，在正三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，
AB
=2
，
AA
1
=2
，由顶点
B
沿棱柱侧面
(
经过棱
AA
1
)
到达顶点
C
1<
/p>
，与
AA
1
的交
点记为
M
.
求：
(1)
三棱柱侧面展开图的对角线长；
< br>(2)
从
B
经
< br>M
到
C
1
的最短路线长及此时
A
1
M
的值．
AM
考点巩固
-
答案
1
、解析：把该图按虚线部分折起后，点
A
、
B
、
C
重合，得到一个三棱锥．<
/p>
答案：
B
2
、解析：棱柱中也存在互相平行的侧面，故
A
< br>错；棱柱上、下底面的距离叫棱柱的高，
若侧棱与底面垂直，
则侧棱长即为高；若侧棱与底面不垂直，
则侧棱长就不是棱柱的高，故
C
错；长方体是棱柱，其底面为平行四边形，故
D<
/p>
错．综上，选
B.
答案：
B
3
、
解析：
对①，
如图
< br>(1)
，
当截面不平行于底面时棱锥底面和截面之间的部
分不是棱台．
对于②③，如图
(2)
中
AA
1<
/p>
，
DD
1
交于一
点，而
BB
1
，
CC
1
交于另一点，此几何体不能还原
成四棱锥，故不是棱台．
答案：
A
4
、解析：①沿平面
AA
1
B
1
B
< br>、平面
A
1
B
< br>1
C
1
D
1
铺展成平面，此时
AC
1
=3
2.
②沿平面
AA
1
D
1<
/p>
D
、平面
A
1<
/p>
D
1
C
1
B
1
铺展成平面，此时
AC
1
=2
5.
③沿平面
AA
1
B
1
B
、
平面
BB
1
C
1
C
铺展成平面，此时
AC
1
=
26.
故绳子的最短的长为
3
2.
答案：
A
5
、解析：由多面体的定义及其结构特征可得．
答案：
(1)(2)
(3)(4)
(5)
6
、解析：如图，在正方体<
/p>
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，四边形
ABCD
和四边形
ABC
1
D
1
为矩形，故①正确；
在三棱锥
D
－
ACD
< br>1
中，有
三个面为等腰直角三角形，一个面为等边三角形
，故③正确；在三棱锥
B
1
－
ACD
1
中，每个面