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杭州二中高三三月月考数学卷
< br>一、选择题
(
本大题共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分
)
1
．已知集合
M
＝
< br>{
x
|1
≤
x
≤
3}
，
N
＝
{
x
|
x
>2}
，则集合
M
∩
(
?
R
N
)
等于
(
)
A
．
{
x
|1
≤
x
≤
2}
B
．
{
x
|
x
≥
1}
C
．
{
x
|1
≤
x
<2}
D
．
{
x
|2<
x
≤
3}
．设双曲
线
x
2
y
2<
/p>
2
a
2
－
9
＝
1(
a
>0)
的两焦点之间的距离为
10
，则双曲线的离心率为
(
)
A.
3
5
B.
4
5<
/p>
5
5
C.
4
D.
3
3<
/p>
．已知
x
，
y<
/p>
∈
R
，且
x
>
y
>0
，若
a
>
b
>1
，则一定有
(
)
A
．
log
a
x
>lo
g
b
y
B
．
sin
a
x
>sin
b
y
C
．
ay<
/p>
>
bx
D
．
a
x
>
b
y
4
．将函数
y
＝
cos(2
x<
/p>
＋
φ
)
的图象向
右平移
π
3
个单位长度，得到的函数为
奇函数，则
|
φ
|
的最小值为
(
A.
π
12
B.
π
π<
/p>
5π
6
C.
3
D.
6
5<
/p>
．函数
f
(
x<
/p>
)
＝
e
|
x
－
1|
－
2cos(
x
－
1)<
/p>
的部分图象可能是
(
)
6
．随机
变量
ξ
的分布列如下：
ξ
－
1
0
1
P
a
b
c
其中
a
，
b
，
c
成等差数列，则
D
(
ξ
)
的最
大值为
(
)
A.
2
3
B.
5
9
C.
2
9
D.
3
4
<
/p>
7
．已知单位向量
e
，
e
1
5
1
2
，且
e
1
·
e
2
＝－<
/p>
2
，若向量
a
满
足
(
a
－
e<
/p>
1
)·(
a
－<
/p>
e
2
)
＝
4
，则
|
a
|
的取值范围为
(
)
)
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A.
?
2
－
?
1
1
?
1
?
3
3
?
?
0
，
2
＋
3
?
?
?
2<
/p>
－
，
2
＋
0
，
2
＋
B.
C.
D.<
/p>
，
2
＋
2
2
?
2
?
?
?
2
2
?
2
?
?
8.
在等腰梯形
ABCD
中，已知
AB
＝
AD
＝
CD
＝
1
，<
/p>
BC
＝
2
，将△
ABD
沿直线
BD
翻折成
△
A
′
BD
，如图，则直线
BA
′与
CD
所成角的取值范围是
(
)
π
π
?
π
π
π
π
，
B.
?
，<
/p>
?
C.<
/p>
?
，
?
A.
?<
/p>
?
3
2
?
?
6
3
?
?
6
2
?
π
0
，
?
D.
?
?
3
?
?
2
x
－
x
2
，
0
≤
x
<2
，
9
．
已知函数
f
(
x
)
＝
?
g
(
x
)
＝
< br>kx
＋
2
，
若函数
F
(
x
)
＝
f
(
x
)
－
g
(<
/p>
x
)
在
[0
，
＋∞
)
上只有两
个零点，
?
2
f
?
x
－
2
?
，
x
≥
2
，
则实数
k
的值不
可能为
(
)
2
1
3
A
．－
B
．－
C
．－
D
．－
1
<
/p>
3
2
4
1
10
．已知数列满足，
a
1
＝
1
，
a
2
＝
，且
[
3
＋
(
－
1)
n
]
a
n
＋
2
－
2
a
n
＋
2
[(
－
1)
n
－
1
]
＝
0
，
n
∈
N
*
，记
T
2
n
为数列
{
a
n
}
的前<
/p>
2
1
1
T
2
n
＋
?
·
<1
成立的最小整数
n
为
(
)
2
n
项和，数列
{
b
n
}
是首项和公比都是
2
的等比数列，则使不等式
?
b
n
?
b
n
?<
/p>
A
．
7
B
．
6
C
．
5
D
．
4
二、填空题
(
本大题共
7
小题，多空题每题
6
分，单空题每题
4
分，共
< br>36
分
)
1
3
x
－
?
n
的展开式中所有项的系数的绝对值之和为
< br>64
，则
n
＝
< br>________
；该展开式中的常数项是
11
．若
?
x
?
?
____________
．
< br>
x
≥
1
，
?
?
12
．已知实数
x
，
y
满足
?
x
－
2
y
＋
1
≤
0
，
?
?
x
＋
y
≤
m
，
若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则
m
的取值范围
为
_______
，如果目
标函数
z
＝
2
x
－
y
的最小值为－
< br>1
，则实数
m
＝
________.
2
13
．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
，则
a
＝
________
，该
几何体的表面积为
________
．
3
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14
．
在△
ABC
中，<
/p>
内角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
若
a
＝
7
，
c
＝
3
，
A
＝
60°
，
则
b
＝
________
，
△
AB
C
的面积
S
＝
________.
15.
如图所示
，在排成
4
×
4
方阵的
16
个点中，中心位置
4
个点在某圆内，其余
12
个点在圆外．从<
/p>
16
个点中任
选
3
点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有
____
个．
16<
/p>
．若实数
x
,
y
满足
x
2
?<
/p>
y
2
?
1
，则
2
x
?
y
?
2
?
6
?
x
?
< br>3
y
的最小值是
_______
_
．
→
→<
/p>
→
→
→
→
17
．设点
P
是△<
/p>
ABC
所在平面内一动点，满足
CP
＝
λCA
＋
μCB
，
3
λ
＋
4
μ
＝
2(
λ
，
μ
∈
R
)
，
|
P
A
|
＝
|
PB
|
＝
|
PC
|.
若
|
A
B
|
＝
3
，则△
A
BC
面积的最大值是
________
．
三、解答题
(
本大题共
5
小题，共
74
分．
)
2
18
．
(14
分
)
已知函数
f
(
x
)
?
3
sin
?
x
cos
?
x
?
cos
?
x
(
?
?
0)
的最小正周期
为
?
，
→<
/p>
(1)
求
?
的值
；
(2)
若
x
0
?
[
?
7
?
4
12
,
]
且
f
(
x
0
)
?
3
1
?
，求
< br>cos
2
x
0
< br>的值。
3
2
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1
9
．
(15
分
)
如图，已知四边形
ABCD
是正方形
，
AE
⊥平面
ABCD
，
PD
∥
AE
，
PD
＝
AD
＝
2
EA
＝
< br>2
，
G
，
F
，
H
分别为
BE
，
BP
，
PC
的中点．
(1)
求证：平面
ABE
⊥平面
G
HF
；
(2)
求直线
GH
与平面
PBC
所成的角
θ
的正弦值．
1
a
－
1
20
．
(15
分
)
已知数列
{
a
n
}
满足：
a
1
＝
，
a
n
＋
1
＝
e
n
(
n
< br>∈
N
*
)
．
(
其中
e
为自然对数的底数，
e
＝
2.7182
8
…
)
2<
/p>
(1)
证明：
a
n
＋
1
>
a<
/p>
n
(
n
∈
N
*
)
；
(2)
设
b
n
＝
1
－
a
n
，是否存在实数
M
>0
，使得
b
1
＋
b
2
＋…＋
b
n
≤
M
对任意
n
∈
N
*
成立？若存在，求出
M
的一个
值；若不存在，请说明理由．
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2
21
．<
/p>
(15
分
)
如图
，
O
为坐标原点，点
F
为抛物线
C
1
:
x
?
2
py
,(
p
?
0)
的焦点，且抛物线
C
1
上点<
/p>
P
处的切
线与圆
O
:
x
2
?<
/p>
y
2
?
1
相切于点
Q,
（<
/p>
1
）当直线
PQ
的方程为
x
?
y
?
2
?
0
时
，求抛物线
C
1
的方程；
（
2
）当正数
p
变化时，记
S
1
,
S
2
分别为
?
FPQ
,
?
FOQ
的面积，
求
S
1
的最小值。
S
2
π
0
，
?
(e
为自然对数的底数
)
．
22
．
(15
分
)
已知函数
< br>f
(
x
)
＝
e
x
－
e
x
sin
x
，
x
∈
?
?<
/p>
2
?
(1)
求函
数
f
(
x
)<
/p>
的值域；
π
0
，
?
恒成立，求实数
< br>k
的取值范围；
(2)
若不等式
f
(
x
)
≥
k
(
x
－
1)(1
－
sin
x
)
对任意
x
∈
?
?
2
?
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/p>
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1
3
－
(3)
证明：
e
x
1
＞－
(
x
－
)
2
＋
1.
< br>2
2
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杭州二中高三三月月考数学卷参考答案
一、选择题
(
本大题共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分
)
1
．
答案
A
解析
<
/p>
∵
N
＝
{
x
|
x
>2}
，
∴
?
R
N
＝
{
x
|
x
≤
2}
< br>，
∴
集合
M
∩
(
?
R
N
)
＝
{
x<
/p>
|1
≤
x
≤
2}
．
2
．
答案
C
x
2
y
2
解析
因为双曲线
2
－
＝<
/p>
1(
a
>0)
的
两焦点之间的距离为
10
，所以
2
c
＝
10
，
c
＝
5
，所以
a
2
＝
c
2
－
9
＝
16
，所
a
9
5
以
a
＝
4.
所以离心率
e
＝
.
4
3
< br>．
答案
D
解析
<
/p>
当
x
>
y
>0
，
a
>
b
>1
时，由指数函数和幂的性质易得
a
x
>
a
y
>
b
y
< br>.
4
．
答案
B
2π
π<
/p>
2
x
－
＋
φ
?
，因为
g
(
x
)
为奇
解析
设
y
＝
cos(2
x
＋
φ
)
向右平移
个单位
长度得到的函数为
g
(
x
)
，则
g
(
x
)
＝
cos
?
3
?
?
3
2π
π
7π
π
函数，且在原点有定义，所以－
＋
φ
＝
k
π
＋
(
k
∈
Z
)
，解得
φ
＝
k
π
＋
(
k
∈
Z
)
，故当
k
＝－
1
时，
|
φ
|
min
＝
.
3
2
6
6
< br>5
．
答案
A
解析
因为
f
(1)
＝－
1
，所以排除
B
；因为
f
(0)
＝
e
－
2cos 1>0
，所以排除
D
；因为当
x
>2
时，
f
(
x
)
＝
e
x
1
－
2cos
(
x
－
1)
，
∴
f
′
(
x
)
＝
e
x
1
＋
2sin(
x
－
1)>e
－
2>0
，即
x
>2
时，
< br>f
(
x
)
具有单调性，排除
C.
6
．
答案
A
2
解析
由分
布列得
a
＋
b
＋
c
＝
1
，又
因为
a
，
b
，
c
成等差数列，所以
2
b
＝
a
＋
c
，则
a
＋
c
＝
，所以
E
(
ξ
)
＝
c
－
3
a
，
D
(
ξ
)
＝
a
(
c
－
a
＋
1)
2
＋
b
(
c
－
a
)
2
＋
c
(
c<
/p>
－
a
－
1)
2
＝
a
(
c
－
a
)
2
＋
b
(
< br>c
－
a
)
2
＋
c
(
c
－
a
)
2
＋
2
a
(
c
－
a
)
＋
a
－
2
< br>c
(
c
－
a
)
＋
c
＝
2
2
－
(
c
－
a
)
2
＋
，则当
a
＝
c
时，
D
(
ξ
)
取得最大值
.
3
3
7
．
答案
B
1
解析
因为
向量
e
1
，
e
2
为单位向量，且
e
< br>1
·
e
2
＝
|
e
1
|
·|
e
2
|·cos
< br>〈
e
1
，
e
2
〉＝－
，所以
< br>|
e
1
＋
e
2
|
＝
2
1
－
?
1
＋
1
＋
2
×
?
?
2
?
－
－
5
< br>5
7
＝
1.
因为
(
a
－
e
1
)·(
a
－
e
2
)
＝
，所以
a
2
－
a
·(
e
1<
/p>
＋
e
2
)
＋
e
1
·
e
2
＝
，所以
|
a
|
2
－
a
·(
e
< br>1
＋
e
2
)
＝
，所以
|
a
|
2
－
|
a
|·cos
〈
a
，
4
4
4
-
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