-
2011
届本科毕业论文
论结式在多项式的应用
学
院
：
数
学
科
学
学
院
专
业
班
< br>级
：
数
学
07-4
班
学
生
姓
名
：
热
依
拉
.
艾<
/p>
则
孜
指
导
教
师
：
艾
合
买
提
老
师
答
辩
日
期
：
2011
年
5
月
12
日
新疆师范大学教务处
新疆师范大学
2011
届本科毕业生论文
目
录
1.
引言
.
.......................................
......................
1
2.
结式的基本概念
.
..................................
.................
1
2.1
结式的定义
...........
.........................................
1
2.2
结式的性质
...........
.........................................
2
3.
结式的应用
.
....................................
...................
3
3.1
判断两个一元多项式是否存在公根
................................
3
3.2
判断一元多项式有没有重根
......................................
5
3.3
结式与判别式的关系
.......
.....................................
7
3.4
用结式求解二元高次方程组
......................................
8
总结
<
/p>
.
............................
..................................
1
1
参考文献：
.
.................................................
.......
1
2
致谢
.
..
..................................................
..........
1
3
1 <
/p>
新疆师范大学
2011
届本科毕业生论文
论
结
式
在
多
项
式
的
应
用
摘要
：
多项式理论在整个高等代数课程中占有重要地
位，
因此在数学和实际应用
中常常遇到它。
求一组多项式的公共零点是整个代数学中的中心问题之一，
也是
一个需要进一步研究的问题。
本文我们要系统的讨论结式在多项式的应用，
首先
用结式来讨论一元多项式有没有重根，
两个
一元多项式有没有公根，
如此继续做
下去，
用结式来讨论两个二元多项式的公共零点问题，
虽然现在我们限于用结式
来讨论两个二元多项式的公共零点，
可以利用上面所指出的方法推广到多个
变元
的方程的方程组，
讨论多个变元有没有重根，
最后给出了结式与判别式的关系且
一些性质。下面我们讨论结式在多项式的应
用，通过举几个例子来介绍。
关键词
：结式；公根；多项式，判别式
2 <
/p>
新疆师范大学
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届本科毕业生论文
1.
引言
多项式理论是高等代数研究的基本对象之一，在整个高等代数课程中相对
独立。换句话说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等代数的其他内容而自成
体
系。从历史上看，求一组多项式的公共零点是代数学中的中心问题之一。这
个问题还远远
未能解决。在本文，我们只限于讨论两个二元多项式的公共零点
问题。
< br>
我们研究二元多项式的公共零之前先来研究两个一元多项式的公共零点问
题。按照一般的习惯，我们把两个一元多项式的公共零点叫这两个多项式的公
< br>根。根据代数基本定理，每一个一元多项式在复数域上可以完全分成为一次因
式的
乘积，而任意一个数环上的多项式都可以看成复数域上的多项式，因此我
们就在复数域上
来讨论问题。现在我们要从另外一个角度来探讨这个问题。
令
f
(
x
)
?
a
0
x
m
?
a
1
x
m
?
1
< br>?
?
?
a
m
(
m
?
0
)
g
(
x
)
?
b
0
x
n<
/p>
?
b
1
x
n
?
1
?
?
?
b
n
(
n
?
0
)
是复数域
C
< br>上两个一元多项式。在这里我们并不假定
a
0
?
0
,
b
0
?
0
。这一点以
后将会看到它的用处。
由一元多项式的分解理论可知，
f
(
x
)
与
g
(
x
)<
/p>
在
C
内有公
根的
充要条件是
f
(
x
)
与
g
(
x
)
有一个次数大于零的公因式。
因此
可以应用辗转相
除法来解决这两个多项式有没有公根的问题。公根的问题实际上等价于公
因子
问题现在我们给出从所给多项式的系数来判断它们有没有公根的一个方法。
2.
结式的基本概念
2.1
结式的定义
定义
2.1.1
设
< br>f
(
x
)
?
a
0
x
m
?
a
1
x
m
?
1
?
?
?
a
m
(
m
?
0
< br>)
g
(
x
)
?
b
0
x
n
?
b
1
x
n
?
1
?
?
?
b
n
(
n
< br>?
0
)
定义下列
m
?
n
阶行列式：
a
0<
/p>
?
R
(
f
,
g
)
?
b
0
?
a
1
a
0
?
b
1
b
0
?
?
a
1
?<
/p>
?
b
1
?
?
?
?
a
0
?
?
?
b
0
?
a
m
?
?
a
1
?
?
?
b<
/p>
1
?
?
?
b
n
?
?
?
b
n
?
?
?
?
?
b
n
a
m
?
?
?
?
?
a
m
1
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行列式
R
(
f
,
g
)
叫作多项式
f
(
x
)
与
g
(
x
)
的结式
（其中空白处元素都是零）
。
2.2
结式的性质
下面是结式的一些性质，
它们的证明并不复杂，只需用定义直接验证即可。
性质
1
(1)
R
(
f
,
g
)
?
(
?
1
)
mn
R
(
g
,
f
)
；
(2)
若
a
,
b
为常数，
R
(
af
,
bg
)
?
a
m
b
n
< br>R
(
f
,
g
)
。
证明：
(1)
对结式定义中的行列式
进行
mn
次行对换就可将
R
(
f
,
g
)
变成
R
< br>(
g
,
f
)
。因此（
1
）
R
(
f
,
g
)
?
(
?<
/p>
1
)
mn
R
(
g
,
f
)
；
(2)
用结式的行列式定义及行列式性质即得。
性质
2
R
(
f
,
g
1
g
2
)
?
R
(
f
,
g
1
)
R
< br>(
f
,
g
2
)
。
证明：
设
f
(
x
)
?
a
0
x
n
?
a
1
x
n
?
1
?
< br>?
?
a
n
?
1
x
?
a
n
，其
n
个根
为
x
1
,
x<
/p>
2
,
?
,
x
n
，又
设
g
(
x
1
)
和
g
2
< br>(
x
)
分别是
< br>m
1
,
m
2
次多项式，则
m
1
R
(
f
,
g
1
)
?
a
0
g
1<
/p>
(
x
1
)
g
1
(
x
2
)
?
g
1
(
x
n
)
，
m
2
R
(
f
,<
/p>
g
2
)
?
a
0
g
2
(
x
1
)
g
2
(
x
2
)
?
g
2
(
x
n
)<
/p>
，
m
1
?
m
2
R
(
f
,
g
1
g
2
)
?
a
0
g
1
(
x
1
)<
/p>
g
2
(
x
1
)
g
1
(
x
2
)
g
2
(
x
2
)
?
g
1
(
x
n
)<
/p>
g
2
(
x
n
)
比较上面三个等式即知结论成立。
例
2.1.1
：
求多项式
f
(
x
)
?
a
0
x
2
?
a
1<
/p>
x
?
a
2
，
g
(
x
)
?
b
0
x
2
?
b
1
x
?
b
2
的结式。
a
0
a
1
a
0
b
1
b
0
a
2
a
1
b
2
b
1
0
a
2
0
b
2
0
< br>b
0
0
解
：
?
R
(
f
,
g
)
?
如果
a
0
?
0
，以
?
a
0
0
b
0
0
b
0
乘第一行，然后按第
一列展开，即
a
0
< br>a
1
a
0
b
1
b
0
a
2
a
1
b
2
b
1
0
a
2
0
b
2
a
0
0
< br>a
1
a
0
a
0
b
1
?
a
1
b
0
a
0
b
0
a
2
a
1
a
0
b
2
< br>?
a
2
b
0
a
0
b
1
0
a
2
0
b
2
=
0
0
2
新疆师范大学
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a
0
a
b
?
a
1
b
0
=
a
0
0
1
a
0
b
0
< br>a
1
a
0
b
2
?
a
2
b
0
a
0
b
1
a
2
0
b
2
当
a
0
?
< br>0
时，以
?
< br>b
2
乘第一行加到第三行，然后按第三列展开，得
a
2
a
0
a
0
b
1
?
a
1
b
0
a
0
a
2
b
0
?<
/p>
a
0
b
2
a
2
a
1
a
0
b
2
?
a
2
b
0
a
0
a
2
b
1
?
a<
/p>
1
b
2
a
2
a
2
0
0
a
0
b
1
?
a
1
b
0
a
0
=
a
0
a
2<
/p>
a
2
b
0
?
a
0
b
2
a
2
a
0
b
2
?
a
2
b
0
a
0
a
2<
/p>
b
1
?
a
1
b
2
a
2
=
(
a
0
b
2
?
a
2
b
0
)
2
?
(
a<
/p>
0
b
1
?
a
1
b
0
)(
a
1
b
2
?
a
2
< br>b
1
)
如果
b
0
?
0
，同样的计算也可也得到上面的等式。当
a
< br>0
?
b
0
?
0
时，
上面的
展
开
式
的
右
端
等
于
零<
/p>
。
不
论
在
任
何
情
形
，
上
面
的
展
开
式
都
成
立
。
假
如
f
(
x<
/p>
)
?
x
2
?
4
x
?
5
，
g
(
x
)
?
x
2
?
7
x
?
10
这
时
R
(
f
,<
/p>
g
)
?
(10<
/p>
?
5)
2
?
(
?
7
?
4)(
?
4
?
10
?
35)
?
0
所以
f
(
x
)
与
g
(
x
)
< br>有公共根，实际上
?
?
5
是这两个多项式的公根。
3.
结式的应用
3.1
判断两个一元多项式是否存在公根
从
历史上看，求一组多项式的公共零点是代数学中的中心问题之一。根据
代数基本定理，<
/p>
每一个一元多项式在复数域上可以完全分成为一次因式的乘积，
而
任意一个数环上的多项式都可以看成复数域上的多项式，因此我们就在复数
域上来讨论问
题。现在我们要从另外一个角度来探讨这个问题。
定理
3.1.1
：如果多项式
< br>f
(
x
)
?
a
0
x
m
?
a
1
x
m
?
1
?
?
?
a
m
(
m
?
0
< br>)
g
(
x
)
?
b
0
x
n
?
b
1
x
n
?
1
?
?
?
b
n
(
n
< br>?
0
)
有公根，或者
a
0
?
b
0
?
0
，那么它们的结式
R
(
f
,
g
)
?
0
。
推论
3.1.1
(
f
,
g
)
?
1
的充分必要条件是
R
(
f
,
< br>g
)
?
0
。
3
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定理
3.1.2
如果多项式
f
(
x
)
与
g
(
x
)
的
R
(
< br>f
,
g
)
?
0
，
那么或者它们的最高次
项系数都等于零，或者这两个多项式有公根。
n
证明
:
设
R
(
f
,
g<
/p>
)
?
0
。
如果
a
0
?
0
，
那么由
R
(
f
,
g
)
?
a
0
< br>g
(
?
1
)
g
(
?
2
)
?
g
(
?
m
)
，
一定有某一个
g
(
?<
/p>
i
)
?
0
，
从而
?
i
是
f
(
x
)
与
g
(
< br>x
)
的一个公根。
如果
b
0
?
0
，那么
m
由
R
(
f
,
g
< br>)
?
(
?
1
)
m
n
b
0
f
(
?
1
)
f
(
?
2
)
?
f
(
?
n
< br>)
也可以推出
f
(
x
)
与
g
< br>(
x
)
有公根。
多项式的结式也可以用它的根来表示。
定理
3.1.3
设
f
(
x
)
?
a
0
x
m
?
a
1
x
m
< br>?
1
?
?
?
a
m
=
a
0
(
x
?
x
1
)
?
(
x
?
x
m
)
=
< br>a
0
?
(
x
?
x
i
)
，
其
中
a
0
?
0
，
x
1
,
x
2
,
?
,
< br>x
m
为
f
(
x
)
的
根
；
i
?
1
m
g
(
x
)
?
b<
/p>
0
x
?
b
1
x
n
n
?
1
?
?
?
b
n
=
b
0
(
x
?
y
1
)
?<
/p>
(
x
?
y
n
)
=
b
0
?
(
x
?
y
i
)
，
其
中
i
?
1
n
b
0<
/p>
?
0
,
y
1
,
?
,
y
n
为
g
(
x
)
的全部根，则
R
(
f
,
g
)
?
< br>a
b
n
m
0
0
??
(
x
i
?
1
j<
/p>
?
1
i
m
n
i
?
x
j
)
?
a
n
0
?
g
(
x
)
i
?
1
nm<
/p>
m
0
m
?
(
?
1
)
b
(
该定理的证明看参考文献
[4])
?
f
(
y
)
< br>i
i
?
1
n
定理
3.1.4
两个一元多项式有公根的充分必要条件
:
(1)
设
f
(
x
)
，
g
(
x
)
是数域
P
上的两个多项式，则
R
(
f
,
g
)
?
0
的充分必要条
件是
f
(
x
)
与
g
(
x
)
有非零次的最大公因式或它们的第一个系数
a
0
?
b
0
?
0
(2)
对复数域上两个多项式
f
< br>(
x
)
和
g
(
x
)
，
则
R
(
f
,<
/p>
g
)
?
0
的充分必要条件是
f
(
x
)
与
g
(
x
)
在复数域中有公共根或它们的第一
个系数全为零。
多项式的核心内
容是求多项式的根与值。
4
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判断两个多项式是否有公根可以通过它们是否有非零次的最大公因式或它
们的结式是否为零来判断。
例如：已知
f
(
x
)
?
x
2
?
5<
/p>
x
?
6
与
g
(
x
)
?
x
2
?
7
x
?
12
< br>有非零次的最大公因式
x
?
3<
/p>
，所以
f
(
x<
/p>
)
与
g
(
x
)
有公根。下面还可以用结式来判断它。<
/p>
1
?
5
6
0
0
1
?
5
6
R
(
f
,
g
)
?
1
?
7
12
0
0
1
?
7
12<
/p>
例
3.1.1:
?
< br>为何值时，多项式
f
(
x
)
?
x
3
?
?
x
?
2
与
g
(
x
)
?
x
2
?
?
x
?<
/p>
2
有公
共根？
分析
判断两个多项式是否有公共根可
以通过它们是否有非零次的最大公
因式或它们的结式是否为零来判断。
< br>
解：
f
(
x
)
与
g
(
x
)
的结
式为
1
0
0
1
R
(
f
,
g
)
?
1
?
0
1
0
0
?
< br>?
0
2
2
?
?
0
2
0
2
0
0
2
总之，通过以上两种方法都可以来判断两个多项式是否有公根。<
/p>
?
1
?
1
?
?
1
0
0
2
?
?
?
1
?
?
2
?
2
?
?
?<
/p>
2
?
2
0
?
?
2
1
?
2
2
0
?
1
1
2
?
?
2
0
2
?
?
?<
/p>
?
2
?
1
?
?
1
1
?
?
?
?
4
1
0
?
1
?
?
由定理
:3.1.1
，
令
R
(
f
,
< br>g
)
?
0
可得
?
?
?
1
（重根）
或
?
?
3
。
因此，
当
?
?
?
1
（重根）
或
?
?
3
时，多项式
f
(
x
)
与
g
(
x
)
有公
共根。
3.2
判断一元多项式有没有重根
定理
3.2.1
设
< br>f
(
x
)
?
a
0
x
m
?
a
1
x
m
?
1
?
?
?
a
m
(
m
?
0
< br>)
，
a
0
?
0
，
则
f
(
x
)
有重
5
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