神秘的本福特定律范文

头的数占 了多大的比例

（图片来自维基百科）

。

为什么会相差这么大呢？这正是

神秘的本福特定律在起作用。

本福特定律，

也称为本福德法则，

说明 一堆从实际生活得出的数据中，

以

1

为 首

位数字的数的出现机率约为总数的三成，接近期望值

1/9< /p>

的

3

倍，推广来说，越

< br>大的数字，

以它为首几位的数出现的机率就越低；

精确地 数学表述为：

在

b

进位

制中，以数

n

起头的数出现的机率为

< br>logb(n + 1) ? logb(n)

。

在十进制中，首位数字出现的概率为：

d

1

2

3

4

5

6

7

8

9

d

1

2

3

4

5

6

7

8

9

p 30.1%

17.6%

12.5%

9.7%

7.9%

6.7%

5.8%

5.1%

4.6%

这个定律的发现 ，

据说是因为本福特在翻对数表的时候发现前面几页被翻得很黑

很破烂，

越往后越颜色越浅。

由此他想到会不会是

1

开头的数字就是比其他数多，

他统计了一下发现果 然如此。

其实这个对数表的事情真假难辨了，

就像是牛顿说

自己是被苹果砸到了头才发现的万有引力定律一样，

只要最后的定律 有用就可以

了。

首先说明一下本福特定律的适用范围

这个定律是一个非常神奇的定律，

它的适用范围异常的广泛，

几 乎所有日常生活

中没有人为规则的统计数据都满足这个定律。

比 如说世界各国人口数量、

各国国

土面积、账本、物理化学常数、 数学物理课本后面的答案、放射性半衰期等等数

据居然都符合本福特定律。

值得一提的是，

科学家还发现，

统计物理的三个重要

分布，

Boltzmann- Gibbs

分布，

Bose- Einstein

分布，

Fermi-Dirac

分布，也基本

上满足

Benford

定律！（来源：李淼的

博客

）

其次这个定律毕竟还是有适用范围的

第一，这些数据必须跨度足够大，必须横跨好几个数量级才能产生这个结果。

第二，有人为规则的数据就不满足次定律，比如说手机号码、身份证号、发票编

< br>号等数据，

明显不满足这种对数分布律。

也就是说，

本福特定律正是没有任何限

制才显露出来的定律，

< br>越是对数据的产生有人为限制，

越是不满足该定律。

第三 ，

数据不能经过人为修饰，

随便人为修改的数据一般就不满足本 福特定律了，

比如

当年著名的安然公司造假案，

他们的账本就没有满足本福特定律，

因此这个神秘

的定 律甚至可以用来判别是否财务造假。

那么到底该如何理解这个 神秘的定律呢？为何自然产生的数据会满足这么奇特

的一个定律，而不是均匀分布呢？< /p>

本福特定律产生的根源，

就在于指数增 长。

这幅图可以直观的显示，

如果一个变

量随时间成指数增长的话，

那么这个变量开头的数字随着时间的变化就应该是如

下图：（横轴代表时间，纵轴代表那个变量）

显然，在某时刻你得到它以

1

开头的概率要大于

9

开头。而这是只取一个值 的

情况，

如果是取大量的数据的话，

在 某时刻你观察到他以

1

开头的数据数量就大

于以

9

开头的数量了。

而指数增长 的形式在自然界是十分普遍的，

只要一个变量

的增长率和他的大 小成正比，

结果就会是指数增长。

比如说人类科技发展的速度< /p>

大致和已有的科技成果成正比，

所以人类的科技发展就是个指数增 长；

人口增长

率会和已存在人口数成正比，

因此没有资源限制的人口增长也是指数增长。

指数

增长是自 然中极为普遍的一种变化规律，

而这种变化规律可以直接导致本福特定

< br>律。

另外一种直观的解释（来自维基百科）是这样的

从数数目来说，顺序从

1

开始数，

< br>1,2,3,…,9

，从这点终结的话，所有数起首的

机 会似乎相同，

但

9

之后的两位数

10

至

19

，

以

1

起首的数又大大抛离了其他数