-
2.<
/p>
二次函数
y
?
a
x
的性质
2
★二次函数知识点汇总★
姓名：
。
2
1.<
/p>
定义：一般地，如果
y
?
ax
?
bx
?
c
(
a
,
b
,
c
是常数，
< br>a
?
0
)
，那么
y
叫做
x
的二次函数
.
(1)
抛物线
y
?
ax
（
a
?
0
）
的顶点是坐标原点，
对称轴是
y
< br>轴
.(2)
函数
y
?
ax
的图像与
a
的符
号关系
.
①当<
/p>
a
?
0
时
?
抛物线开口向上
?
顶点为其最低点；②当
a
?
0
时
?
抛物线开口向下
?
顶点
为其最高点
3.
二次函数
y
?
ax
?
bx
?
c
的图像是对称轴平行于
(
包括重合
)
y
轴的抛物线
.
2
4.
二
次
函
数
y
?
ax
?<
/p>
bx
?
c
用
配
方
法
可
化
成
：
y
?
a
?
x
< br>?
h
?
?
k
的
形
式
，
其
中
2
2
2
2
h
?
?
b
4
ac
?
b
2
.
，
k
?
2
< br>a
4
a
2
2
2
2
5.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①
y
?
ax
；
②
y
?
ax
?
k
；
③
y
?
a
?
x
?
h
?
；<
/p>
④
y
?
a
?
x
?
h
?
?
k
；
⑤
y
?
ax
< br>?
bx
?
c
.
2
6.
抛物线的三要素：开口
方向、对称轴、顶点
.
①
a
决定抛物线的开口方向：
当
< br>a
?
0
时，开口向上；当
a
?
0
时，开口向下
；
a
相等，抛物线的开口大小、形状相同
.
②平行于
y
轴
< br>(
或重合
)
的直线记作
x
?
h
.
特别地，
y
轴记作直线
x<
/p>
?
0
.
7.<
/p>
顶点决定抛物线的位置
.
几个不同的二次
函数，如果二次项系数
a
相同，那么抛物线的开口
方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同
.
8.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
b
4
ac
?<
/p>
b
2
b
?
4
ac
?
b
2
?
2
（
?
，
）
(1)
公式法：
y
?
ax
?
bx
?
c
?
a
?
x
?
，∴顶点是
，对称轴是
?<
/p>
?
2
a
4
a
2
a
4
a
?
?
b
直线
x
?
?
< br>.
2
a
2
(2)
配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为
y
?
a
?
x
?
h
?
?
k
的形式，得到顶点为
(
h<
/p>
,
k
)
，对称<
/p>
轴是
x
?
h
.
(3)
运用抛物线的对称性：由于抛物
线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂
直平分线是抛物线的对称轴，对
称轴与抛物线的交点是顶点
.
★用配方法求得的顶点，再用公
式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
9.
抛物线
y
?
ax
?
bx
?
c
中，
a
,
b
,
c
的作用
(1)
a
决定开口方向及开口大小，这与
y
?
ax
中的
a
完全一样
.
2
(2)
b
和
a
共同决定抛物线对称轴的位置
.
由于抛物线<
/p>
y
?
ax
?
bx
?
c
的对称轴
是直线
x
?
?
b
,
故：
2
2
2
2
a
①
b
?
0
时，对称轴
为
y
轴；②
b
?
0
(
即
a<
/p>
、
b
同号
)
时
,
对称轴在
y<
/p>
轴左侧；
a
③
b
?
0
(
即
a
、
b
异号
)
时
,
对称轴在
y
轴右侧
. <
/p>
a
(3)
c
的大
小决定抛物线
y
?
ax
?
bx
?
c
< br>与
y
轴交点的位置
.
当
x
?
0
时，
y
?
c
，∴抛物线
y
?
ax
?
bx
?
c
与
y
轴有且只有一个交点
(0
，
c
)
：
1
2
2<
/p>
①
c
?
0
，抛物线经过原点
;
②
c
?
0
,
与
y
轴交于正半轴；③
c
?
0
,
与
< br>y
轴交于负半轴
.
以上三点中
，当结论和条件互换时，仍成立
.
如抛物线的对称轴在
y
轴右侧，则
b
?
0
. <
/p>
a
10.
几种特殊的二次函数的图像特征
如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
(0,0)
(0,
k
)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
y
?
ax
2<
/p>
x
?
0
(
y
轴
)
2
y
?
ax
2
?
k
y
?
a
?
x
?
h
?
y
?
a
?
x
?
h
?
?
k
2
当
a
?
0
时
< br>
开口向上
当
a
?
0
时
开口向下
x
< br>?
0
(
y
轴
)
x
?
h
x
?
h
b
x
?
?
2
a
y
?
ax
?
bx
?
c
< br>11.
用待定系数法求二次函数的解析式
2
b
4
ac
?
b
2
，
(
?
)
2
a
4
a
根据条件确定二次函数表达式
的几种基本思路。
〈一〉三点式。
2
1
，已知抛物线
y=ax
+bx+c
经过
A
（
3
，
0
）
，
B
（
2
3
，
0
< br>）
，
C
（
0
，
-3
）三点，求抛物线的
解析式。
2
，已知
抛物线
y=a(x-1)
+4
，
经过点
A
（
2
，
3
）
，求抛物线的解析式。
〈二〉顶点式。
1
< br>，已知抛物线
y=x
-2ax+a
+b
顶点为
A
（
< br>2
，
1
）
，求抛物线的解析式。
2
，已知抛物线
y=4(x+a)
-2a
的顶点为（
3
，
1
）
，
求抛物线的解析式。
〈三〉交点式。
1
，已知抛物线与
x
轴两个交点分别为（
3
，
0
）
,(5,0),
求抛物线
y=(x-a)(x-b)
的解析式。
2
，已知抛物线线与
x
轴两个交点（
4
，
0
）
，
（
1
，
0
）求抛物线
y=<
/p>
〈四〉定点式。
1
，在直角坐标系中，不论
a
取何值，抛物线
y
?
?
2
2
2
２<
/p>
1
a(x-2a)(x-b)
的解析式。
2
1
2
5
?
a
x
?
x
?
2
a
?
2
经过
x
轴上一定
2
2
点
Q
，直线
y
?
(
a
?
2
)
x
?
2
经过点
Q,
求抛物线的解析式。
2
，抛物线
y=
x
+(2m-1)x-2m
与
x
轴的一定交点经过直线
y=mx+m+4
，
求抛物线的解析式。
3
，抛物线
y=ax
+ax-2
过直线
y=mx-2m+2
上的定点
A
，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。
2
< br>，
把抛物线
y=
-2x
向左平移
2
个单位长度，
再向下平移
1
个单位长度，
得到抛物线
y=a(
x-h)
+k,
求此抛物线解析式。
2
，抛物线
y
?
?
x
?
x
?
3
向上平移
,
使抛物线经过点
C(0,2),
求抛物线的解析
式
.
〈六〉距离式。
1
，抛物线
y=ax
+4a
x+1(a
﹥
0)
与
< br>x
轴的两个交点间的距离为
2
，
求抛物线的解析式。
2
2
2
2
2
2
2
2
，已知抛物线
y=m
x
+3mx-4m(m
﹥
0)
与
x
轴交于
A
、
B
两点，与
轴交于
C
点，且
A
B=BC,
求此
抛物线的解析式。
〈七〉对称轴式。
1
，
抛物线
y=x
-2x+(m
-4m+4)
与
x
轴有两个交点，
这两点间的距离等于抛物线顶点到
y
轴距离
的
2
倍，求抛
物线的解析式。
1
，
已知抛物线
y=-x
+ax+4,
< br>交
x
轴于
A,B
（
点
A
在点
< br>B
左边）
两点，
交
y
轴于点
C,
且
OB-OA=
求此抛物线的解析式。
〈八〉对称式。
1.
平行四边形
ABCD
对角线
A
C
在
x
轴上，且
A
（
-10
，
0
）
，
AC=16
< br>，
D
（
2
，
6
）
。
A
D
交
y
轴于
E
，
将三角形
ABC
< br>沿
x
轴折叠，点
B
到
B
1
的位置，求经过<
/p>
A,B,E
三点的抛物线的解析式。
<
/p>
2.
求与抛物线
y=x
< br>+4x+3
关于
y
轴（或
x
轴）对称的抛物线的解析式。
〈九〉切点式。
1
< br>，已知直线
y=ax-a
(a
≠
0)
与抛物线
y=mx
有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2
，
直线
y=x+a
与抛物线
y=ax
+k
的唯一公共点
A
（
2
，
1
）
,
求抛物线的解析式。
〈十〉判别式式。
1.
已知关于
X
的一元二次方程（
m+1
）
x
+2(m+1)x+2=
0
有两个相等的实数根，求抛物线
y=-x
+(m+1)x+3
解析式。
2
.
已知抛物线
y=(a+2)x
-(a
+1)x+2a
的顶点在
x
轴上
,
求抛物线的解析式。
3.
已知抛物线
y=(m+1)x
+(m+2)x+1
与
x
轴有唯一公共
点，求抛物线的解析式。
12.
直线与抛物线的交点
(1)
y
轴与抛物线
y
?
ax
?
< br>bx
?
c
得交点为
(
0
,
c
< br>)
(2)
与
y
轴
平
行
的
< br>直
线
x
?
h
与
抛
物
线
y
?
ax
?<
/p>
bx
?
c
有
且
只
有
一
个
交
点
(
h
,
ah
2
?
bh
?
c
< br>).
(3)
抛物线与
x
轴的交点
二次函数
y
?
ax
?
bx
?
c
的图像与
x
轴的两个交点的横坐标
x
1
、
x
2
，是对一元
二次方程
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
OC
，
4
ax
2
?
bx
?
c
?
0
的两个实数根
.
抛物线与
x<
/p>
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式
判定：
①有两个交点
?
?
?
0
?
抛物
线与
x
轴相交；
②有一个交点
(
顶点在
x
轴上
)
?
?
?
0
?
抛物线与
x
轴相切；
③没有交
点
?
?
?
0<
/p>
?
抛物线与
x
轴
相离
.
(4)
平行于
x
轴的直线与抛物线的交点
同
(3)
一样可能有
0
个交点、
1
个交点、
2
个交点
.
当有
2
个交点时，两交点的纵坐标相等，设
2
纵坐
标为
k
，则横坐标是
ax
?
bx
?
c
?
k
的两个实数根
.
(5)
一次函数
y
?
kx
?
n
?<
/p>
k
?
0
?
的图像
l
与二次函数
y
?
ax
?
b
x
?
c
?
a<
/p>
?
0
?
的图像<
/p>
G
的交
2
点，由
方程组
3
?
y
?
kx
?
n
的解的数目来确定：
?
2
?
y
?
ax
?
bx
?
c
①方程组有两组不同的解时
?
l
与
G
有两个交点
< br>;
②方程组只有一组解时
?
l
与
G
只有一个交点；③方程组无解时
?
l
与
G
没有交点
.
2
(
6)
抛
物
线
与
x
轴
两
交
点
之
间
的
距
离
：
若
抛
物
线
y
< br>?
ax
?
bx
< br>?
c
与
x
轴
两
交
点
为
b
c
A
?
x
1
，
0
?
，
B
?
x
2
，
0
< br>?
，
由于
x
1
、
x
2
是方程
ax
2
?
bx
?
c
?
0
的两个根，
故
x
1
?
x
2
?
?
,
x
1
?
x
2<
/p>
?
a
a
AB
?
x
1
?
x
2
?
?
x
1
?
< br>x
2
?
2
?
?
x
1
?
x
2
?
2
b
2
?
4
ac
?
?
b
?
4
c
?
4
x
1
x
2
?
?
?
?
?
?
?<
/p>
a
a
a
?
a
?
2
2
13
．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)
一元二次方程
y
?
ax
?
bx
?
c
是二次函数
y
< br>?
ax
?
bx
< br>?
c
当
y
的值为
0
时的情况．
(2)
二次函数
y
?
ax
?
bx
?
c
的图象与
x
轴的交
点有三种情况：有两个交点、有一个交点、
没有交点；
当二次函
数
y
?
ax
?
bx
?
c
的图
象与
x
轴有交点时，
交点的横坐标就是
当
y
?
0
时自
变量
x
的值，即一元二次方程
ax
?
bx
?
c
?
0
的根．
2
(3)
当
二
次
函
数
y
?
ax
?
bx
?
c
的
图
象
与
x
轴
有
两
个
交
点
时
，
则
一<
/p>
元
二
次
方
程
2
2
2
2
y
?
ax
2
?
bx
?
c
有两个不相等的实数根；当二次函数
y
?
ax
2
?
bx
?
c
的图象与
x
轴有一个
2
交点时，<
/p>
则一元二次方程
ax
?
< br>bx
?
c
?
0
有两个相等的实数根；
当二次函数
y
?
ax
?
bx
?
c
2
的
图象与
x
轴没有交点时，则一元二次方程
ax
?
bx
?
c
?
0
没有实数根
< br>
14.
二次函数的应用：
<
/p>
(1)
二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函
数的最大
(
小
)
值；
(2)
二次函数的应用包括以
下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关
系；运用二次函数的知
识解决实际问题中的最大
(
小
)
值．
2
知识点一、二次函数的概念
1
．下列函数中，其形状为抛物线的是（
）
A
．
y
?
?
3
1
1
2
B
．
y
?
?
x
?
5
C
．
y
?
x
D
．
y
?
x
x
2
2
2
2
．若函数
y
?
?
m
?
1
?
x
m
?
1
?
3
x
?
1
是二次函数，则
m
的值为
.
3
．若二次函数
y
?
x<
/p>
2
?
mx
?
1
的图象经过点（
2
，
1
）
，则
m
的值为
.
4
知识点二、二次函数的图象和性质
1
、二次函数的性质：
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
练一练：
函数
开口方向
.
即当
x
.
即当
x
.
即当
x
.
即当
x
对称轴
时，
y
随<
/p>
x
的增大
时，
y
随
x
的增大
时
，
y
随
x<
/p>
的增大
时，
y
随
x
的增大
顶点坐标
y
?
ax
2
?
bx
?
c
a
＞
0<
/p>
时，开口
；
a
＜
0
时，开口
。
（
，
）
y
?
a
?
x
?
h
?
?
k
2
a
< br>＞
0
时，开口
；
a
＜
0
时，开口
。
（
，
）
y
?
?
x
2
y
?
2
x
2
?
< br>1
y
?
?
3
(
x
?
2
)
2
y
?
?
2
(
x
?
5
)
2
?
1
< br>
y
?
x
2
?
2
x
?
3
2
、二次函数的增减性以
分界
.
（
1
）当
a
＞
0<
/p>
，在对称轴的左侧，曲线从左往右
而
；
在对称轴的右侧，曲线从左往右
而
. <
/p>
（
2
）当
a
＜
0
，在对称轴的左侧，曲线从左往右
而
；
在对称轴的右侧，曲线从左往右
而
.
3
、二次函数的最值在
处取得
.
（
1
）当
a
＞
0
时，抛物线开口向上，顶点是最
点，
因而
y
有
值；
（
2<
/p>
）当
a
＜
0
时，抛物线开口向下，顶点是最
点，
因而
y
有
值；
练一练：
（
1
）二次函数
y
?
?
2
(
x
?
5
)
?
1<
/p>
，当
x
＝
时，
y
有最
值为
；
当
x
时，
y
随
x
的增大而
；
当
x
时，
y<
/p>
随
x
的增大而
。
（
2
）抛物线
y<
/p>
?
x
2
?
x
?
2
上三点（－<
/p>
2
，
a
）
、
(
－
1
，
b)
，
（
3
，
c
）
< br>，则
a
、
b
、
c
的大小关系是
（
）
A
、
a
＞
b
＞
c B
b
＞
a
＞
c
C
c
＞
a
＞
b
D
无法比较大小
5
2
4<
/p>
、二次函数的平移规律：平方内
，
。
（
1
）
把抛物线
y<
/p>
?
?
2
x
?
1
向左平移
2
个，
再向上平移
3
个单位，
所得的函数关系式是
（
）
A
、
y
?
?
2(
x
?
2)
2
?
4
B
、
y
?
?
2(
x
?
2)
2
?
2
< br>C
、
y
?
?
2(
x
?
2)
2
?
4
D
、
2
y
?
?
2(
x
?
2)
2
?
6
（
2
）将抛物线
y
?
x
2
?
2
x
?
5
先向下平移
1
个，再向左平移
4
个单位，则平移后的函数式是
：
练一练：
已知抛物线的解析式为
y
?
?
(
x
?
1
)
?
4
，请按下列要求作答：
（
1
）开口向
_______
，顶点坐标是
_________
，对称轴是
_______
__
，
（
2
）在右边空白处画出它的大致图像；
（
3
）观察图像，当
x
时，
y
随
x
的增大而
，
当
x
时，
y
随
x
的增大而
，
当
x
=_______
时，
y
< br>有最
______
值
=
________
。
（
4
）图像与
x
轴的交点是：
，与
y
轴的交点是：
。
（
5
）当
时，
y
>
0
；当
时
,
y
<
0
。
（
6<
/p>
）抛物线
y
?
?
(
x
?
1
)
?
4
可以看作是
由抛物线
y
＝
- x
2
向
平移
个单位，
再向
平移
个单位得到的
.
知识点三、
二次函数的顶点坐标的求法：
1
、
法
2
、
法、
3
、
法
1
、说出
下列二次函数的顶点坐标和对称轴
1
（
1
）
y
＝<
/p>
2 (x
＋
1)
2
－
3
（
2
）
y
＝－
<
/p>
(x
-5
)
2<
/p>
－
4
（
3
）
y
＝－
3 (x
＋
4)
2
＋
1
（
4
）
y
＝
(x
－
2)
2
＋
3
2
一般地，二次函数
y
＝
a(
x-h)
＋
k
，
其顶点坐标为
2
、用简
捷的方法求出下列二次函数的顶点坐标
（
1
）
y
?
x
?
2
x
?<
/p>
1
（
1
）
y
?
3
、已知抛物线
y
?
?
x
2
?
2
x
?
2
．
（
1
）该抛物线的对称轴
是
，顶点坐标
；
（
2
）列表、描点、连线，得函数图象；
y<
/p>
2
2
2
2
1
2
6
?
3
x
x
?
8
x
?
10
< br>（
3
）
y
?
60
x
?
1
.
5
x
2<
/p>
（
4
）
y
?
?
x
3
2
x
y
…
…
…
…
1
-
5
-
4
-
3
-
2
-
1
O
1
2
< br>3
4
5
-
1
x
（
3
）
若该抛物线上两点
A
（
x
1
，
y
1
< br>）
，
B
（
x
2
，
y
2
）的
横坐标满足
x
1
＞
x
2
＞
1
，试比较
y
1
与
y
2
的大小．
6
知识点四、二次函数的顶点坐标及其运用
（顶点坐标公式：
h
＝
，
k
＝
）
1
．对于二次函数
y
?
x
2
?
2
x
?
m
，当
x=
时，
y
有最小值．
2
．若抛物线
y
?
1
2
x
?
mx
?
3
的对称轴是直线
x
=4
，则
m
的值为
。
2
3
．已知二次函数
y
?
a
(
x
?
1
)
2
?
b
有最小值
–<
/p>
1
，则
a
与
b
之间的大小关系是
（
）
A
．
a
＜
b B
．
a=b
C
．
a
＞
b
D
．不能确定
4
．抛物线
y
＝
3x
+6x
＋
c
的顶点是（－
1
，
2
）
，则
c
＝
5
．抛物线
y
＝
4x
2
－
2
x
＋
m
的顶点在
x
轴上，则
m
＝
__________
．
2
6
．已知二次函数
y
?
2
x
?
b
x
?
c
顶点坐标为（
< br>2
，
?
3
）
，则
b
?
，
c
?
。
2
7
．已知二次函数
y
＝
x
＋（
m
－
1
）
x
＋
1<
/p>
，当
x
＞
1
时，
y
随
x
的增大而增大，而
m
的取值范围
是（
）
A
、
m
＝－
1
B
、
< br>m
＝
3
C
、
m
≤－
1
D
、
m
≥－
1
知识点五、二次函数的轴对称性及其运用：
关于抛物线的对称点，
（
1
）
．从图象上看，
的两个点为对称点；
（
2
）
．从数值来看，
的两个点为对称点；
（
3
）
．
中点坐标公式：<
/p>
x
轴上两点
x
1
、
x
2
的中点
坐标
x
＝
.
练一练：
1
．观察下列图形，利用二次函数图象的轴对称性，回答以下问题：
（
1
）如下图
1
< br>点
A
的坐标为（
，
）
；
（
2
）如下图
2
抛物线的对称轴是
.
图
1
图
2
图
3
2
．小
颖用几何画板软件探索方程
ax
?
bx
?
c
?
0
的实数根，作出了如上图
3
所示的图象，<
/p>
观察得一个近似根为
x
1
?
?
4.5
，则方程的另一个
近似根为
.
3
．
已知二次函数
y
?
ax
?
bx
?
c
中，其函数
y
与自变量
x
之间的部分对应值如下表所示：
2
2
2
x
y
…
…
0
4
1
1
2
0
3
1
4
4
…
…
点
A
（
x
1
，
y
1
）
、
B
（
x
2
< br>，
y
2
）在函数的图象上，则当
1
?
x
1
?
2,
3
?
x
2
?
4
时，
y
1
与
y
2
< br>的大小关系正确的是（
）
A
．
y
1
?
y
2
B
．
y
1
?
y
2
C
．
y
1<
/p>
?
y
2
D
．
y
1<
/p>
?
y
2
4
．用中点法求二次函数
y
< br>?
(
x
?
30
)(
100
?
< br>2
x
)
的最值。
7
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：四字以上成语
下一篇：关于国家的成语大全四字成语