-
单元检测：
第二十二章
二次函数
一．选择题
1
．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（
）
A
．
y
＝
3
x
﹣
1
B
．
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
C
．
y
＝
3
x
2
﹣
2
x
+1
D
．
y
＝
x<
/p>
2
+
2
．抛物线
y
＝﹣
x<
/p>
2
+2
x
+6<
/p>
的对称轴是（
）
A
．直线
x
＝
1
B<
/p>
．直线
x
＝﹣
1
C
．直线
x
＝
﹣
2
D
．直线
x
＝
2
3
．在平面直角坐标系中，对于二次函数
y
＝（
< br>x
﹣
2
）
2
+1
，下列说法中错误的是（
）
A
．
y
的最小值为
1
B
．图象顶点坐标为（
2
，
1
）
< br>，对称轴为直线
x
＝
2
C
．当
x<
/p>
＜
2
时，
y
的值随
x
值的增大而增大，当
x
≥
2
时，
y
的值随
x
值的增大
而减小
D
．
它的图
象可以由
y
＝<
/p>
x
2
的图象向右平移
2
个单位长度，
再向上平移
1
个单位长度得到
4
．二次函数
y
＝﹣
x
2
+
mx
，对称轴为直线
x
＝
3
，若关于<
/p>
x
的一元二次方程﹣
x
< br>2
+
mx
﹣
t
＝
0
（
t
为实数）在
2
＜
x
＜
7
的范围内有解，则
t
的取值范围是（
）
A
．
t
＞﹣
7
B
．﹣
7
＜
t
＜
8
C
．
8
＜
t
≤
9
D
．﹣
7
＜
t
≤
9
5
．若正比例函数
y
＝
mx
（
m
≠
0
）
，
y
随
x
的增大而减小，则它和二次函数
y
＝
mx
2
< br>+
m
的图象大
致是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
6
．把抛物线
y
＝﹣
2
x
2
向上平移
1
个单位，再向右平移
1
个单位，得
到的抛物线是（
）
A
．
y
＝﹣
2
（
x
+1
）
2
+1
C
．
y
＝﹣
2
（
x
﹣
1
）
2
﹣
1
B
．
< br>y
＝﹣
2
（
x
﹣
1
）
2
+1
D
．
y
＝﹣
2
（
x
+1
）
2<
/p>
﹣
1
7
．
如图，
排球运动员站在点
O
处练习发球，
将球从
O
点正上
方
2
m
的
A<
/p>
处发出，
把球看成点，
其运行的高度
y
（
m
）与运行的
水平距离
x
（
m
）满足关系式
y
＝
a
（
x
﹣
k
）
2
+
h
．已知球与
O
点的水平距离为
6
m
时，达到最高
2.6
m
，球网与
O
点的水平距离为
9
m
．高度为
2.4
3
m
，
球场的边界距
< br>O
点的水平距离为
18
m
，则下列判断正确的是（
）
A
．球不会过网
C
．球会过球网并会出界
B
．球会过球网但不会出界
D
．无法确定
无解，
8
．若函数
y
＝（
a
﹣
2
< br>）
x
2
﹣
2
ax
+
a
﹣
与
x
轴有交点，且关于
x
的不等式组
则符合条件的整数
a
的值有（
）个
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
9
．在平面直角坐标系中，二次函数
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠
0
）的图象如图所
示，现给以下结论：
①
abc
＜
0
；
②
c
+2
a
＜
0
；
③
< br>9
a
﹣
3
b
+
c
＝
0
；
④
a
﹣
b
≥
m
（
am
+
b
）
（
m
为实数）
；
⑤
4
ac
﹣
b
2
＜
0
．
其中错误结论的个数有（
）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
< br>个
D
．
4
个
10
．如图，抛物线
y
＝
a
（
x
+1
）
< br>（
x
﹣
3
）的图象与
x
轴交于
A
，
B
两点（点
A
在点
B
的左边）
，
与
y
轴正半轴交于点
C
，
点
D
为抛
物线的顶点．
点
P
为线段
BC
上的动点，
以
AC
，
AP
为邻
边构造
?
APEC
，连结
BE
．若△
ACP
的面积与△
BEP
的面积之比为
1
：
2
时，
ED
⊥
BD
，则
a
的值为（
）
A
．﹣
1
二．填空题
B
．﹣
C
．﹣
D
．﹣
2
1
1
．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（
2
，
3
）
，那么这个二
次函数的解析式
可以是
．
12
．某
斜拉索大桥主索塔呈抛物线，主索塔底部在水面部分的宽度
AB
＝
50
米，主索塔的最
高点
E
距水面的垂直距离为
100
米，
桥面
CD
距水面的咨度为
36
米，
桥的宽度
CD
米．
13
．
某二次函数的图象过点
（﹣
3
，
m
）
和
（
7
，
m
< br>）
，
则此二次函数的图象的对称轴为
．
< br>14
．抛物线
y
＝﹣
x
2
+
bx
+
c
的部分图象如图所示，已知关于
x
的一元二次方程﹣
x
2
+
bx
+
c
＝
0
的一个解为
x<
/p>
1
＝
1
，则该方
程的另一个解为
x
2
＝
．
15
．抛物线
y
＝
3
x
2
﹣
6
x
+
a
与坐标轴只有一个公共点，则
a
取值范围为
．
16
．已
知二次函数
y
＝
x
2
+4
x
+3
的顶点为
A
，与
y
轴交于点
B
，作它关于以
P<
/p>
（
1
，
0
）为中心
的中心对称的图象顶点为
C
，交
y
轴于点
D
，则四边形
ABCD
面积为
< br>
．
三．解答题
17
．如图，已知抛物线
y
＝
x
2
+
bx
+
c
与
x
轴交于点
A
，
B
，
AB
＝
2
，与
y
轴交于点
C
，对称轴为
直线
x
＝
2<
/p>
．
（
1
）求抛物线的函数表达式；
（
2
）设
D
为抛物线的顶点，连接
DA
、
DB
，试判断△
ABD
的形状，并说明
理由；
（
3
）设
P
为对称轴上一动点，要使
PC<
/p>
﹣
PB
的值最大，求出
< br>P
点的坐标．
18
．如图，已知抛物线
y
＝﹣
x
2
+
bx
+
c
的顶点
C
的坐标为（﹣
3
，
2
< br>）
，此抛物线交
x
轴于点
A
，
B
两点，交
y
轴于点
D
，点<
/p>
P
为直线
AD
上
方抛物线上一点，过点
P
作
PE
⊥
x
轴垂足为
E
，交直线
AD
于点
N
，连接
AP
，
PD
．
（
1
）求抛物线和直线
AD
的解析式；<
/p>
（
2
）求线段
PN
的最大值；
（
3
）当△
APD
的面积是△
ABC
的面积的
时
，求点
P
的坐标．
19
．已知抛物线
< br>y
＝
ax
2
+
bx
+
c
（
a
、
b
、
c
是常数，
a
≠
0
）的对称轴为直线
x
＝﹣
1
．
（
1
）
b
＝
；
< br>（用含
a
的代数式表示）
（
2
）当
a
＝﹣
1
时，若关于
x
的方程
ax
2
+
bx
+
c
＝
0
在﹣
4
＜<
/p>
x
＜
1
的范围内
有解，求
c
的取
值范围；
（
3
）
< br>若抛物线过点
（﹣
1
，
﹣
1
）
，
当
0
≤
x
< br>≤
1
时，
抛物线上的点到
x
轴距离的最大值为
4
，
求
a
的值．
20
．如图，一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边
围成的，隧道宽
BC
＝
10
米，矩形
部分高
AB
＝<
/p>
3
米，抛物线型的最高点
E
离地面
OE
＝
6
米，按如图建立一个以
BC
为
x
轴，
OE
为
y
轴的直角坐标系．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）如果该隧道内设有双车道，现有一辆货运卡车高
4.5
米，宽
3
米
，这辆货运卡车能
顺利通过隧道吗？
21
．某服装超市购进单价为
30
元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件
30
元，不高于每件
60
元．销售一
段时间后发现：当销售单价为
60
元时，平均每月销售
量
为
80
件，
而当销售单价每降低
10
元时，
平均每
月能多售出
20
件．
同时，
在销售过程中，
每月还要支付其他费用
450
元．设销售单价为
x
元，平均月销售量为<
/p>
y
件．
（
1
）求出
y
与
x
的函数关系式，并写出自变量
x
的取值范围．
（
2<
/p>
）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利
1800
元？
（
3
）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
22
．如图，抛物线
y
＝﹣
x
2
﹣
x
+
c
与
x
轴交于
A
，
B
两点，且点
B
的坐标为
（
3
，
0
）<
/p>
，与
y
轴交于点
C
，
连接
AC
，
BC
，
点
P
是抛物线上在第二象限内的一个动点，
点
P
的横坐标为
a
，
< br>过点
P
作
x
轴的垂线，交
AC
于点
Q
．
（
1
）求
A
，
C
两点的坐标．
（
2
）请用含
a
的代数式表示线段
< br>PQ
的长，并求出
a
为何值时<
/p>
PQ
取得最大值．
（
3
）试探究在点
P
运动的过程中，是否存在这样的点
Q
，使得以
B
，
C
，
Q
为顶点的三角
形是等腰三角形？若存在，请写出
此时点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
23
．在平面直角坐标系中，
如果某点的横坐标与纵坐标的和为
10
，则称此点为“合适点<
/p>
”
例如，点（
1
，
9
）
，
（﹣
2019
，
2029
< br>）…都是“合适点”
．
（
1
）求函数
y
＝<
/p>
2
x
+1
的图象
上的“合适点”的坐标；
（
2
）求二次函数
y
＝
x
2
﹣
5
x
﹣
2
的图象上的两个“合适点”
A
，
B
之间线段的长；<
/p>
（
3
）若二次
函数
y
＝
ax
2
+4
x
+
c
的图象上有且只有一个合适点”
，其坐标为（
< br>4
，
6
）
，求二
次函数
y
＝
< br>ax
2
+4
x
< br>+
c
的表达式；
（
4
）我们将抛物线
y
＝
2
（
x
﹣
n
）
2
﹣
3
在
x
< br>轴下方的图象记为
G
1
，在
x
轴及
x
轴上方图
象记为
G
2
，
现将
G
1
沿
x
轴向上翻折得到
G
3
< br>，图象
G
2
和图象
G
3
两部分组成的记为
G<
/p>
，当图
象
G
上恰
有两个“合适点”时，直接写出
n
的取值范围．
参考答案
一．选择题
1
．解：
A
、是一次函数，故此选项错误；
B
、当
a
＝
0
时，
y
＝
ax
2
+
b
x
+
c
不是二次函数，故此选项错误；
C
、是二次函数，故此选项正确；
<
/p>
D
、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
< br>
故选：
C
．
2
．解：∵抛物线
y
< br>＝﹣
x
2
+2
< br>x
+6
＝﹣（
x
﹣
1
）
2
+7
，
∴该抛物线的对称轴是直
线
x
＝
1
，<
/p>
故选：
A
．
3
．解：二次函数
y
< br>＝（
x
﹣
2
）
2
+1
，
a
＝
1
＞
0
，
∴该函数的图象开口向上，对称轴
为直线
x
＝
2
，顶点为（
2
，
1
）
，当
x
＝
2
时，
y
有最小
值
1
，
当
x
＞
2
时，
y
的值随
x
值的增大而增大，
当
x
＜
2
时，
y
的值随
x
值的增大而减小；
故选项
A
、
B
的说法正确，
< br>C
的说法错误；
根据平移的规
律，
y
＝
x
2
的图象向右平移
2
个单位长度得到
y
＝（
x
﹣
2
）
2
，再向上平移
1
个单位长度得到
y
< br>＝（
x
﹣
2
）
2
+1
；
故选项
D
的说法正确，
故选：
C
．
4
．解：∵抛物线
y
< br>＝﹣
x
2
+
mx
的对称轴为直线
x
＝
3
，
∴﹣
解得
m
＝
6
，
∴抛物线解析式为
y<
/p>
＝﹣
x
2
+6<
/p>
x
＝﹣（
x
﹣<
/p>
3
）
2
+9
，
抛物线的顶点坐标为（
3
，
9
）
，
当
x
＝
2
时，
y
＝
﹣
x
2
+6
x
＝
8
；当
x<
/p>
＝
7
时，
y
＝﹣
x
2
+6
x
＝﹣
7
，
∵关于
x
的一元二
次方程﹣
x
2
+
mx
﹣
t
＝
0
（
t
为实数）在
2
＜
x
＜
7
的范围内有解，
∴抛物线
y
＝﹣
x
2
+6
x
与直线
y
＝
t
在
2
＜
x
＜
7
< br>的范围内有公共点，
∴﹣
7<
/p>
＜
t
＜
8
．
故选：
B
．
＝
3
，
5
．解：∵
y
＝<
/p>
mx
（
m
≠
0
）
，
y
随
x
的增大而减小，
∴
m
＜
0
，
∴二次函数
y
＝
mx
2
+<
/p>
m
的图象的开口向下，与
y
则交于负半轴上，
故选：
A
．
6
．解：∵函数
y
＝﹣
2
x
2
的顶点为（
0
，
0
< br>）
，
∴向上平移
1
个单位，再向右平移
1
个
单位的顶点为（
1
，
1
）
，
∴将函数
y
＝﹣
2
x
2
的图象向上平移
1
个单位，
再向右平移
1
个单位，得到抛物线的解析
式为
y
＝﹣
2
（
x
﹣
1
）
2
+1
，
故选：
B
．
7
．解：∵球与
O
点的水平距离为
6
m
时，达到最高
2.6
m
，
∴抛物线为
y
＝
a
（
x
﹣
6
）
2
+2.6
过点，
∵抛物线
y
< br>＝
a
（
x
﹣
6
）
2
+
2.6
过点（
0
，
2
）
，
∴
2
＝
a
（<
/p>
0
﹣
6
）
2
+2.6
，
解得：
a
＝﹣
，<
/p>
（
x
﹣
6
）
2
+2.6
，
故
y
与
x
的关系式为：
y<
/p>
＝﹣
当
x
＝
9
时，
y
＝﹣
所以球能过球网；
当
y
＝
0
时，﹣
解得：
x
1
＝
6+2
故会出界．
故选：
C
．
8
．解：
，
（
x
﹣
6
）
2
+2.6
＝<
/p>
2.45
＞
2.43
，
（
x
﹣
6
）
2
+2
.6
＝
0
，
＞
18
，
x<
/p>
2
＝
6
﹣
2
（舍去）
解不等
式①得：
x
≤
a
，
解不等式②得：
x
＞
5
，
< br>∵关于
x
的不等式组
∴
a
≤
5
．
无解，
①当二次函数<
/p>
y
＝（
a
﹣
2
）
x
2
﹣
2
ax
+
a
﹣
与
x
轴有交点时，
方程（
a
﹣
2
）
x
2
﹣
2
ax
+
a
﹣
＝
0
的△＝（﹣
2
a
）
2
﹣
4
（
a
﹣
2
）
（
a
﹣
）≥
0
，
解
得：
a
≥
，
∴
≤
a
≤
5
．
又∵
a
≠
2
，
整数有
1
，
3
，
4
，
5
，共
4
个．
②当函数
y
＝（
a
﹣
2
）
x
2
﹣
2
ax
+
a
﹣
是一次函数时，
a
﹣
2
＝
0
，此时
a
＝
2
．
< br>综上所述，整数有
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，共
5
个．
故选：
C
．
9
．解：①由抛物线可知：
a
＞
0
，
c
＜
0
，
< br>对称轴
x
＝﹣
∴
b
＞
0
，
∴
abc
＜
0
，故①正确；
②由对称轴可知：﹣
∴
b
＝
2
a
，
∵
x
＝
1
时，
y
＝
a
+
b
+
c
＝
0
，
∴
c
+3
a
＝
0
，
∴
c
+2
a
＝﹣
3
a
+2
a<
/p>
＝﹣
a
＜
0
，故②正确；
③（
1
，
0
）
关于
x
＝﹣
1
的对称点为（﹣
3
，
0
）
，
∴
x
＝﹣
3
时，
y
＝
9
a
﹣
3
b
+
c<
/p>
＝
0
，故③正确；
④当
x
＝﹣
1
时，
y
的最小值为
a
﹣
b
+
c
，
∴
x
＝
m
时，
y
＝
am
2
+<
/p>
bm
+
c
，
∴
am
2
+
bm
+
c
≥
a
﹣
b
+
c
，
< br>即
a
﹣
b
≤
m
（
am
+
b
）
，故④错误；
< br>
＝﹣
1
，
＜
0
，
⑤抛物线与
x
轴有两个交点，
∴△＞
0
，
即
b
2
﹣
4
ac
＞
0
，
∴
4
ac
﹣
b
2
＜
0
，故⑤正确；
故选：
A
．
10
．解：在
y
＝
a
（
x
+1
）
（
x<
/p>
﹣
3
）中，令
x
＝
0
，得
x<
/p>
＝﹣
1
或
3 <
/p>
∴
A
（﹣
1
，
0
）
，
B
（
3
，
0
）
令
< br>x
＝
0
，得
y
＝﹣
3
a
∴
C
（
0
，﹣
3
a
）<
/p>
，
∵
y
＝
a
（
x
+1
）
（
x
﹣
3
）＝
a
（
x
﹣
1
）
2
﹣
4
a
∴
D
（<
/p>
1
，﹣
4
a
）
，
∵四边形<
/p>
APEC
是平行四边形
∴
AP
∥
CE
，
AP
＝
CE
，
S
△
ACP
＝
S
△
EPC
∵△
ACP
的面积与△
BEP
的面积之比为
1
：
2
∴
＝
∴
＝
∴
P
（
1
，﹣
2
a
）
∴
E
（
2
，﹣
5
a
）
< br>，如图，连接
BD
，则∠
BDE
＝
90
°
<
/p>
∴
BD
2
+
DE
2
＝
BE
2
∴（
3
﹣
1
）
2
+
（
4
a
）
2
+
（
1
﹣
2
）
2
+
（﹣
4
a
+5
a
）
2<
/p>
＝（
3
﹣
2
）
2
+
（
5
a
）
2
，
解得：
a
＝±
∵
a
＜
0
，
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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