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2011
——
2016
年河南中考数学第
22
题解析
22.
（
10
分）
（
2016
河南）<
/p>
（
1
）问题如图
1
，点
A
为线段
BC
外一动点，
A
且
BC=a,AB=b
。
填空
：当点
A
位于
<
/p>
时线段
AC
的长取得最大值，且最大值为
a
（用含
< br>a
，
b
的式子表示）
（
2
）应用
B
图
1
b
点
A
为线段
B
除外一动点，且
BC=3,AB=1.
如图
2
所示，分别以
AB
< br>，
AC
为边，作等边三角形
AB
D
和等边三角形
ACE
，连接
CD,BE.
①请找出图中与
BE
相等的线段，并说明理由
②直接写出线段
BE
长的最大值
.
A
（
3
）拓展
D
如图
3
，在平面直角坐标系中，点
A
的坐标为（
2
，
0
），点
B
的坐标
0
为（
5
，
0
），点
P
为线段
AB
外一动点，且
PA=2
，
PM=PB
，∠
BPM=90
.
B
请直接写出线段
AM
长的最大值及此时点
P
的坐标。
图
2
C
E
C
y
M
A
O
< br>P
图
3
B
x
y
A
O
备
用图
B
x
解：（
1
）
C
B
的延长线上，
a+b
；………………
………………………
2
分
（
2
）①
DC=BE,<
/p>
理由如下
∵
△
ABD
和△
ACE
< br>都是等边三角形，
0
∴
AD=AB,AC=AE,
∠
BAD=
∠
CAE=60
,
∴∠
BAD+
∠
BAC=
∠
CAE+
∠
BAC,
即∠
CAD=
∠
E
AB,
……………
5
分
∴△
CAD
≌△
EAB
（
SAS
）
,
∴
DC=BE
………………………………
6
分
②
BE
长的最大值是
4.
…………………………………………………
8
分
（
3
）
AM
的最大值为
3+
2
2
，点
P
的坐标为（
2-
2
，
2
）……
10
分
【提示】如图
3
< br>，构造△
BNP
≌△
MAP,<
/p>
则
NB=AM,
由（
1
）知，
当点
N
< br>在
BA
的延长线上时，
NB
有最大值（如
备用图）。易得△
APN
是等腰直角三角形，
AP=2
，∴
AN=
2
2
，∴
AM=NB=AB+AN=3+
2
2
;
过点
P
作
PE
⊥
x
轴于点
E
，
PE=AE=
2
,
又
A
（
2
，
0
）∴
P
（
2-
2
，
2
）
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y
M
A
O
P
N
图
3
M
y
B
x
< br>P
N
O
E
A
备用图
B
x
0
2
2.
（
10
分）
（
2015
河南）
）如图
1
，在
Rt
△
ABC
中，∠
B=90
，
BC=2AB=8,
点
D,E
分别是边
BC
，
AC<
/p>
的中
点，连
DE
，将△
EDC
绕点
C
< br>按顺时针方向旋转，记旋转角为
α
.
< br>（
1
）问题发现
AE
AE
0
0
①当
α
=0
时，
BD
=
；②当
< br>α
=180
时，
BD
= .
（
2
）拓展探究
AE
0
0
试判断：当
0
≤
α
≤
360
时，
BD
的大小有无变化？请仅就图
2
的情形给出证明
.
(3)
解决问题
当△
EDC
旋转至
A,D,E
三点
共线时，直接写出线段
BD
的长
. <
/p>
A
E
B
D
C
A
B
E
D
A
图
1
图
2
谷瑞林制图
C
B
备用图
C
5
解：（
1
）①
2
…………………………………………
1
分
5
②
2
…………………………………………………
2
分
2
2
8
?
4
提示：①当
α
=0<
/p>
时，在
Rt
△
A
BC
中，
BC=2AB=8,
∴
AB=4
；
AC=
=
4
5
0
又点
D,E
分别是边
BC
< br>，
AC
的中点，∴
CE
∥
AB,
AE
CE
CA
4
5
5<
/p>
?
?
?
8
=
2
∴
BD
CD
CB
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/p>
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②当
α
=180
时，∴
CE
∥<
/p>
AB,
∴
AE=4
5
+2
5
=6
5
∵
BC=8;CD=4
；∴
BD=8+4=12
0
A
AE
6
5
< br>5
?
12
=
2
∴
BD
（
2
）无变化。（若误判断，但后续证明正确，不扣
分）…………………………
3
分
在图
1
中，∵点
D,E
分别是边
BC
，<
/p>
AC
的中点，∴
CE
∥
AB,
B
图
< br>3
C
D
E
CE
CD
?
CA
CB
,
∠
EDC=
∠
B=90
0
;
∴
如图
2
，∵△
EDC
在旋转过程中形状大小不变，
CE
CD
?
CA
CB
仍然成立。…………………………………………………………
4
分
∴
又∵∠
ACE=
∠
BC
D=
α
；∴△
ACE
< br>∽△
BCD
，∴
AE
AC
?
BD
BC
………………………
6
分
在
Rt
△
ABC
中，
AC=
8
< br>?
4
=4
5
，
2
2
A
D
E
5
AE
AC
4
5
?<
/p>
∴
BD
BC
=<
/p>
8
=
2
。
B
AE
∴
BD
的大小不变。………………………
8
分
12
5
（
3
）
4
5
或
5
………………………
10
分
提示
：如图
4
，当△
EDC
在
BC
上方，
且
A
、
D
< br>、
E
三点共线时，四边形
ABC
D
是矩形，
∴
BD=AC=4
5
；
如图
5
，当△
EDC
在
BC
下方，且
A<
/p>
、
D
、
E
三点共线时，△
ADC
是直角三角形，
由勾股定理得，
AD=8,
∴
AE=6,
A
图
4
C
E
B
D
图
5
E<
/p>
D
C
AE
5
12
5
?
2
,
得
BD=
5
根据
BD
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22.
（
10
分）
（
2014
河南）
（
1
）问题发现
如图
1
，△
ACB
和△
DCE
均为等边三角形，点
< br>A
、
D
、
E
在同一直线上，连接
BE
填空：
（
1
）∠
AEB
的度数为
；（
2
）线段
AD
、
< br>BE
之间的数量关系
是
。
（
2
）拓展探究
0
如
图
2
，△
ACB
和△
DCE
均为等腰三角形，∠
AC
B=
∠
DCE=90
,
点
A
、
D
< br>、
E
在同一直
线上，
CM
为△
DCE
中
DE
边上的高，连接
BE
。请判断∠
AEB
的度数及线段
C
M
、
AE
、
B
E
之间的数量关系，
并说明理由。
<
/p>
（
3
）解决
问题
如图
3
，<
/p>
在正方形
ABCD
中，
< br>CD=
2
。
若点
P
满足
PD=1,
且∠
BPD=90
，请直接写出点
A
到
BP
的距离。
22.
（
1
）①
60
；②
AD=BE.
…………………………………………………
…………
2
分
0
（
2
）∠
< br>AEB
＝
90
；
AE=2CM+BE.
………………………………………………
4
分
（注：若未给出本判
断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）
0
理由：∵△
ACB
和△
DC
E
均为等腰直角三角形，∠
ACB
=
∠
DCE= 90
,
∴
AC=BC, CD=CE, <
/p>
∠
ACB=
∠
D
CB=
∠
DCE
－∠
< br>DCB,
即∠
ACD=
∠
BCE
∴△
ACD
≌△
BCE.
………………
………………………………………………
6
分
< br>
0
∴
AD = BE,
∠
BEC=
∠
AD
C=135
.
0
0
0
∴∠
AEB=
∠
B
EC
－∠
CED=135
－
45
=90
．…………………………………
7
分
在等腰直角
三角形
DCE
中，
CM
为斜边
DE
上的高，
∴
CM= DM=
ME,
∴
DE=2CM.
∴
AE=DE+AD=2CM+BE
……………………………………………
…………
8
分
(3)
0
3
?
1
3
?
1
或
…………………………………………………………
10
分
2
2
0
【提示】
PD
=1
，∠
BPD=90
,
∴
BP
是以点
D
为圆心、以
1
为半径的
OD
的切线，点
P<
/p>
为切点．
/
第一种情况：如图①，过点
A
作
AP
的垂线，交
BP
于点
P
，
/
/
可证
△
APD
≌△
AP
B,PD=P
B=1,
CD=
2
,
∴
BD=2,BP=
3
,
∴
AM=
1
/
1
3
?
1
/
PP
< br>=
(PB-BP
)=
2
2
2
第
二
种
情
况
如
图
②
，
可
得
AM
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1
/
1
3
?<
/p>
1
/
PP
=
(PB+BP
)=
2
2
2