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人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结
一、相关概念及定义
b
，
c
是常数，
a
?
0
）
的函数，
1
二次函数的概念：
一般地，
形如
y
?
< br>ax
2
?
bx
< br>?
c
（
a
，
c
叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二
次项系数
a
?
0
，而
b
，
可以为零．二次函数的定义
域是全体实数．
2
二次函数
y
?
ax
2
?
bx
?
c
的结构特征：
（
1
）等号左边是函数，右边是关于自变量
x<
/p>
的二次式，
x
的最高次数是
2
．
b
< br>，
c
是常数，
a
是二次项系数，
b
是一次项系数，
c
是常数项．
（
2
）
a
，
二、二次函数各种形式之间的变换
2
1
二次函数
y
?
< br>ax
2
?
bx
< br>?
c
用配方法可化成：
y
?
a
?
x
?
h
?
?
k
的形式，其中
b
4
ac
?
b
2
h
?
?
，
k
?
.
2
< br>a
4
a
2
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①
y
?
ax
2
；②
y
?
ax
2
?
k
；
< br>③
y
?
a
?
x
?
h
?
；④
y
?
a<
/p>
?
x
?
h
?
?
k
；⑤
y
?
ax
2
?
bx
?
c
.
三、二次函数解析式的表示方法
1
一般式：
y
?
ax
2
?
bx
?
c
（<
/p>
a
，
b
，
c
为常数，
a
?
0
）
；
2
顶点式：
y
?
a
(
x<
/p>
?
h
)
2
?
k
（
a
，
h
，
k
为常数，
a
?
0
）
；
3
两根式：
y
?
a
(
x<
/p>
?
x
1
)(
x
?
x
2
)
（
a
?
0
，
x
1
< br>，
x
2
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标）
.
4
注意：任何二次函数的解析式都可
以化成一般式或顶点式，但并非所有的二
次函数都可以写成交点式，只有抛物线与
x
轴有交点，即
b
2
?
4
ac
?<
/p>
0
时，抛物
线的解析式才可以用交点式表
示．二次函数解析式的这三种形式可以互化
.
四、二次函数<
/p>
y
?
ax
2
?
bx
?
c
图象的画法
1
五
点绘图法：利用配方法将二次函数
y
?
ax
2
?
bx
?
c
化为顶点式
y
?
a
(
x
?
h
)
2
?<
/p>
k
，
确定其开口方向、
< br>对称轴及顶点坐标，
然后在对称轴两侧，
左右对称地描点
画图
.
c
?
、
以及
?
0
，<
/p>
c
?
关于对称轴对称
一般我们选取的五点为：顶点、
与
y
轴的交点
?
0
，
2
2
0
?
，
?
x
2
，<
/p>
0
?
（若与
x<
/p>
轴没有交点，则取两组关于
的点
?
2
h
，
c
?
、与
x
轴的交点
?
x
1
，
对称轴对称的点）
.
2
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
x
轴
的交点，与
y
轴
的交点
.
五、二次函数
y
?
ax
2
的性质
a
的符号
开口方
向
向上
顶点坐
标
对称
轴
y
轴
性质
x
?<
/p>
0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
?
0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
?
0
时，
y
< br>有最小
a
?
0
< br>
?
0
，
0
?
?
0
，
0
?
a
?
0
向下
y
轴
值
0
．
x
?
0
时，
y
随
x
的增大而减小
；
x
?
0
时，
y
随
x
的增大
而增大；
x
?
0
时，
y
有最大
值
0
．
六、二次函数
y
?
ax
2
?
c
的性质
a
的符号
开口方
向
顶点坐
标
对称
轴
性质
x
?<
/p>
0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
?
0
时，
a
?
0
向上
?
0
，
c
?
y
轴
y
随
x
的增大而减小；
x
?
0
时，
y
有最小
值
c
．
x
?
0<
/p>
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
?
0
时，
a
?
0
向下
?
0
，
c
?
y
轴
y
随
x
的增大而增大；
x
?
0
时，<
/p>
y
有最大
值
c<
/p>
．
七、二次函数
y
?
a
?
x
?
h
?
的性质
：
a
的符号
2
开口方
向
顶点坐
标
对称
轴
性质
x
?<
/p>
h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
?
h
时，
a
?
0
向上
?
h
，
0
?
X=h
y<
/p>
随
x
的增大而减小；
x
?
h
时，
y
有最小
值
0
．
x
?
h
时，
y
随
x<
/p>
的增大而减小；
x
?
h
时，
a
?
0
向下
?
h
，
0
?<
/p>
X=h
y
随
x
的增大而增大；
x
< br>?
h
时，
y
有最大
值
0
．
八、二次函数
y
?
a
?
x
?
< br>h
?
?
k
的性质
a
的符号
2
开口方
向
顶点坐
标
对称
轴
性质
x
?<
/p>
h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x
?
h
时，
a
?
0
向上
?
h
，
k
?
X=h
y<
/p>
随
x
的增大而减小；
x
?
h
时，
y
有最小
值
k
．
x
?
h
时，
y
随
x<
/p>
的增大而减小；
x
?
h
时，
a
?
0
向下
?
h
，
k
?<
/p>
X=h
y
随
x
的增大而增大；
x
< br>?
h
时，
y
有最大
值
k
．
九、抛物线
y
?
ax
2
?
bx
?
c
的三要素：开口方向、对称轴、顶点
.
1
a
的符号决定抛物
线的开口方向：当
a
?
0
时，开口向上；当
a
?
0<
/p>
时，开口向
下；
a
相等，抛物线的开口大小、形状相同
.
< br>2
对称轴：
平行于
y
轴
（或重合）
的直线记作
x
?
?
b
.<
/p>
特别地，
y
轴记作直线
< br>x
?
0
.
2
a
b
4
ac
?
b
2
（
?
，
）
3
顶点坐标：
2
a
4
a
4
顶点决
定抛物线的位置
.
几个不同的二次函数，如果二次项系数
a
相同，那么抛
物线的开口方向、开口大小完
全相同，只是顶点的位置不同
.
十、抛物线
< br>y
?
ax
2
?
bx
?
c
中，
a
,
b
,
c
与函数图像的关系
1
二次项系数
a
二次函数
y
?
ax
< br>2
?
bx
?
c
中，
a
作为二次项系数，显然<
/p>
a
?
0
．
⑴
当
a
?
0
时，抛物线开口向上，
a
越大，开口越小，反之
a
的
值越小，开口越
大；
⑵
当
a
?
0
时，抛物线
开口向下，
a
越小，开口越小，反之
a
的值越大，开口越
大．
总结起来，
a
决定了抛物线开口的大小和方向，
a
的正负决定开口方向，
a
的
大小决定开口的大小．
2
一次项系数
b
在二次项系数
a
确定的前提下，
b<
/p>
决定了抛物线的对称轴．
⑴
在
a
?
0
的前提下，
b
?
0
，即抛
物线的对称轴在
y
轴左侧；
2
a
b
当
b
?
0
时，
?
?
0
，即抛物线的对称轴就
是
y
轴；
2
a
b
当
b
?
0
时，
?
?
0
，即抛物线对称轴在
y
轴的右侧．
2
a
⑵
在
a
?
0
的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当
b
?
0
时，
?
?
0
，即抛物线的对称轴在
y
轴右侧；
< br>
2
a
b
当
b
?
0
时
，
?
?
0
，即
抛物线的对称轴就是
y
轴；
2
a
b
当
b
?
0
时，
?
?
0
，即抛物线对称轴在<
/p>
y
轴的左侧．
2
a
总结起来，在
a
< br>确定的前提下，
b
决定了抛物线对称轴的位置．
当
b
?
0
时，
?
总结：
3
常数项
c
⑴
当
c
?
0
时，抛物线
与
y
轴的交点在
x
轴上方，即抛物线与
y
轴交点的纵
坐标为正；
⑵
当
c
?
0
时，抛物线与
y
轴的交点为坐标原点，即抛物线与
y
轴交点的纵
坐标为
0
；
⑶
当
c
?
0
时，抛物线与
y
轴的交点在
x
轴下方，即抛物线与
y
轴交点的
纵
坐标为负．
总结起来，
c
决定了抛物线与
y
轴交点的位置．
总之，只要
a
，
b
，
c
都确定，那么这条抛物线就是唯一
确定的．
十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法