-
（
1
章）
6
从
52
张扑克随机抽出两张牌。如果已知两张的花
色不同，则他们都是
A
的条件概率是多少？
解：设第一次取出
A
的事件为
A1
，第二
次取出不同花色
A
的事件为
A2,
则
p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1)
因为
p(A1)=4/52=1/13
p(A2/A1)=3/52-13=3/39=1/13,
所以
p(A1A2)=1/169
7
若
A,B
独立，证明下列事件也独立：
a)A
和
B^c
b)A^c
和
B^c
证明：
a)
因为
p
（
B
）
+p(B^c)=
1,p(B/A)+P(B^c/A)=1,
所以
p(B^cA
)=p(A)xp(B^c/A)=p(A)[1-p(B/A)]=p(A)
-p(A)p(B)=p(A)[1-p(B)]=p(A)p(B^c),
所以
A
和
B^c
独立
b)p
(A^c)p(B^c)=p(B^c)p(A^c/B^c)=p(B^c)[1-p(A/B^c)=p(B
^c)-p(B^c)p(A/B^c)=p(B^c)-p(A^cB^
c)=p(B^c)-p(A)P(B^c)=p(B^c)[1-p(A)]=p(B^c
)p(A^c),
所以
A^c
和
B^c
独立。
9<
/p>
四辆公共汽车载着
152
位学生从同一学
校出发去足球场。四辆车分别载乘
39,33,46,34
位学
生。如果
从
152
< br>位学生中任意选取一位，
记
X
为
被选中的学生所乘坐的汽车里的学生数。
四辆公共汽车的司机也随
机选取一位，令
Y
为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。
a)
你认为
E
（
X
）和
E
（
Y
）哪一个大？
b)
求出
E(X)
和
E(Y)
解：
a)E(X)<
/p>
大。
b)
由题意知
X
可取
39,33,46,34
。
Y
可取
39,33,46,34
。所以
X=39,p(x)=39/152,
x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152,
x=34,p(x)=34/152,
同理
p(Y=39)=1/4
P(Y=33)=1/4,
P(Y=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,
所以
E
（
X
）
=39
x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/152=38.
697
E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=38
10
两位选手比赛兵兵球，
当一个选手赢了两
局时比赛结束。
设每位选手赢每一局概率相等，
且每一局的结果
都是独立的。求比赛总局数的期望值和方差。
解：设
x
为比赛的总局数，则
x
可取
2,3
，则
p(x=2
)=1/2x1/2x2=1/2, p(x=)=1/2x1/2+1/2x1/2=1/2
E(X)=2x1/2+3x1/2=5/2, x^2=4,9 ,
p(x^2=4)=1/2,p(x^2=9)=1/2,E(x^2)=4x1/2+9x1/2=13/2
所以<
/p>
var(x)=E(x^2)-[E(x)]^2=13/2-(5/2)^2=1/4.
11.
证明
Var
(
X
)
?
E
[
X
]
?<
/p>
(
E
[
X
])
证明：
2
2
Var
(
X
)
?
E
[(
X
?
E
[
X
])
2
?
E
[
X
2
?
2
< br>XE
[
X
]
?
(
E
[
X
])
2
]
?
E
[
X
2
]
?
2
(
E
[
X
])
2
?
(
E
[
X
])
2
< br>?
E
[
X
2
]
?
(
E
[
X
])
2<
/p>
12
一位律师要决定收取固定费用
5000
美元，还是收取胜诉酬金
2500
0
美元（输掉则一无所获）。他估计打
赢的概率为
0.3
，求他收取的费用的均值和方差，如果
a)<
/p>
收取固定费用
b)
收取胜诉酬金费用。<
/p>
x)]^2=0,
所以
s=0.
b)
由题
意知
x=0,25000,
则
p(x=
0)=1-0.3=0.7, p(x=25000)=0.3,E(x)=0.7x0+
S=
根号下
var(x)=11456.439
14.
证明：
Cov
(
x
,
y
)
?
E
[
xy
]
?
E
[
x
]
E
[
y
]
证明：
Cov
(
x
,
y
)
?
E
[(
x<
/p>
?
E
(
x
)(
y
?
E
(
y
)]
?
E
[
xy
?
xE
(
y
)
?
yE
(
x
< br>)
?
E
(
x
)
E
(
y
)]
18
设
任意给定的时间内，
某股票价格只能等概率的增加
1
或减少
1
，
且不同时期股
票变化是独立的。
记
X
为
股票在第一时间段内增加
1
或减少
< br>1
的数量，
Y
为前三段时间内累
计上升的数量，求
X,Y
相关性。
解：<
/p>
E
（
X
）
=0, E(X^2)=1,var(x)=E(X^2)-[E(X)]^2=1
E(Y
)=0,E(Y^2)=3,var(y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=3
E(XY)=1,Cov(X,Y
)=E(X,Y)-E(X)E(Y)=1,
?
(
X
,
Y
)
< br>?
正相关。
（
2
章）
4
设
< br>x
为正态随机变量，均值为
u
，
方差为
&^2,y=a+bx,
如果
y
和
x
服从相同的分布，求
a
和
b
的值
（
a
不等于
0
），并求出
Cov(x,y).
解：因为
E(X)=u,var(x
)=&^2,y=a+bx,
所以
E(Y)=a+bu,var
(y)=b^2u^2,
又因为
x
和<
/p>
y
服从相同的分布，所以
a+bu=u,
&^2=b^2&^2,
因为
a
不等于
0
，所以<
/p>
b=-1,a=2u,
即
y=2u-x,
Cov(x,y)=cov(x,
a+bx)=cov(x,a)+bCov(x,x)=
-&^2.
Cov
(
X
,
Y
)
1
3
?
?
?
0
所以
X,Y
呈
3
Var
(
x
)
Var
(
y
)
3
5
成
年男子的血液收缩压服从均值为
127.7
，标准差为
19.2
的正态分布，求：
a)68%
的成年男子血液收缩压的
取值范围。
b)95%
的成年男子血液收缩压的取值范围。
c)99.9%
成年男子血液收缩压的取值范围。
解：
a)
设
陈年男子血液收缩压为
X, E
为对应的正态随机变量，即
E=
（
X-127
）
/19.2
u=127.7,&=19.2,
所
以
|&|<=19=0.682,
所以
-1<=(E-127.7)/19.2<=1,
即
108.5
<=E,
所以取值范围为
[108.5,146.9]
b)
由表
可得
p{|E|<=2}=0.9544,
即
< br>-2<=(E-127.7)/19.2<=2,89.3<=E<=166.1,
所以取值范围
[89.3,166.1]
c) p{|E|<=3}=0.9974,
即
-3<=(E-127.7)/19.2<=3,
解
得
70.1<=E<=185.3,
所以取值范围
[70.1,185.3].
第
4
章
1
若
10%
的名义
利率分别为：
a)
半年计息一次的复利
b)
每季度计息一次的复利
c)
连续复利
其对应的有效利率分别是多少？
解：
a)reff=(1+r/2)^2-1=10.25%
b)reff=(1+r/4)^4-1=10.38%
c)e^r-1=10.52
2<
/p>
将钱存入银行，银行支付的名义利率为
10%
。如果利率是连续复利利率，多久存入的钱是原来的两倍？
解：
pe^rt=2p
e^10%t=2
t=6.93
需要
7<
/p>
年才能变为原来的两倍
3
如果利率为
5%,
每年计息一次，
< br>那么大约要多少年才能使你的钱变为原来的
4
倍？如果利
率变为
4%
又要多
少年？
解：
p(1+r)^n=4p
< br>当
r=5%
时，（
1+0.05
)^n=4,n=28.41
。当然
r=4%
< br>，
(1+0.04)^n=4,n=35.35
4
如果利率为年复利利率
r,
请给出一个公式
，用它来估计多少年使你的钱变为原来的
3
倍。
解：由
lim p(1+r/n)^nt=pe^rt
pe^rt=3p,e^rt=3
t=lin3/r
5
假设年名义利率
固定在
6%
，每月计息一次。在未来
6
0
个月中，每月需要投资多少钱，才能在
60
< br>个月后得
到
100000
美元？
解：
p[(1+r/12)+(1+
r/12)^2+
…
+
（
1+r/12)^60]=100000
pX1+r/12[1-(1+r/12)^60]/1-(1+r/12)=100000
pX1.005(1-1.35)/-0.05=100000
p=1
00000/70.37=1421.46,
所以每月需要投资
1421.46
美元。
6
一个投资的年现金流：
-1000
，
-1200,800,900,800.
年利率为
6
%
。对于一个既可以借款也可以存款的的人，
这是否是一个值得
的投资？
解：现值
=-1000+-1200/(1+60%)+800/(1+60%)^2
+900/(1+60%)^3+800/(1+60%)^4
=-1000+(-1132.08)+712+755.6
6+633.67=-30.75<0,
所以不值得投资。
<
/p>
8
一个五年期、面值为
10000
美元、具有
10%
票息率的债权，价值为
10000
美元。在今后五年中，每六个月
支付给持有者
500
美元，并且将在这十次支付末再支付本金<
/p>
10000
美元。如果每月计息一次的利率为：
< br>a)6%
b)10%
c)12%
求出其现值。
解：（
1
）
当
r=6%
时，
B=1/(1+0.6
)=0.94
pv(a)=500x(0.94)^6+500x(0.94)^12+500x(0.94)^18
+
…
+500x(0.94)^60+500x(0.94)^
100=1085+244=1329
(2)
当
r
=10%
时，
B=1/(1+0.1)=0.91
PV(
a)=500x0.91^6+500x0.91^12+
…
+
500x0.91^60+10000x0.91^60=653+34=687
(3)
当
r=12%,
B=1/(1+0.12)=0.89 pv(a)=500
x0.89^6+500x0.89^12+
…
+500x0.
89^60+10000x0.89^60=493+9=502
9
< br>一个朋友购买了一套新的价值
4200
美元的音响系统。
他同意预付定金
1000
美元，并在一个月后开始每月
支付
160
美元，共支付
24
个月。那么所支付的有效利率是多少？
解：设每个月支付的利率为
r,
所以
B=1/(1+r)
所以
160(B+B^2+
…
+B^24)+1000=4200
160XB(1-B^24)/(1-B)=3200
B(1-B^24)/(1-B)=20
因为
r=1-B/B
所以
1/
1+r[1-(1/1+r)^24]/(1-1/1+r)=20
所以
reff=1+r-1=r=1.5%
< br>12
假设向银行贷款
120000
美元，银行收取两个百分点的费用。报价利率为每月
0.5%
，仅需要在随后的
36
个月中，每月支付累计利息，并在最后支
付本金
120000
美元。那么这个贷款的有效利率是多少？<
/p>
解：每月支付利息
120000x0.5%=600
< br>美元，则
600/(1+r)+600/(1+r)^2+600/(1+r)^
3+
…
+600/(1+r)^36+
120
000/(1+r)^36=120000x98%,
得
r=0
.6%
13
以下面两张方式偿还贷款：一种是现在一次还清所
有的欠款
6000
美元，另一种是现在还
10000
美元，并
在十年后还
10
000.
对于下面的名义连续复利利率，哪一种还款方式更可取：
a)2%
b)5%
c)10%
解：<
/p>
r=2%
时，
10000e^-2%x1
0=10000e^0.2=8187.3>6000, r=5%
时，
10000e^-rt=10000e^-5%x10=6065.3>
6000, r=10%
时，
10000e^-rt=10000e^-10%x10=3678
.8<6000
23
考虑下面两个现金流，其中每一个现金流
都是在
i
年后得到第
i
次支付：
100,140,131,
和
90,160
，
120
如果不知道利率，能够说出哪一个现金流更可取？
解：设
利率为
r
，则
[100/(1+r)+
140/(1+r)^2+131/(1+r)^3]-[90/(1+r)+160/(1+r)^2+120
/(1+r)^3]=11/(1+r)^3
-20/(1+r)^2+10/(1+r),
令
t=1/(1+r),0
则原式
=t(11t^2-20t+10)=f(t),@=400-4x11x10<0,
所以
f(t)>0
即第一种更可取。
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