-
壹、
立體圖形教材分布
一年級
立體圖形
1.
從實物中
，
分辨出類似長方體
、
圓柱體
、
球體、
角錐等模型的形體
< br>，並觀察實物的面，
分辨平
面與非平面
< br>，進而認識三角形、
四邊形與圓形
1.
利用各種積木
< br>，
堆積造形並數出各積木的數量
2.
利用相同數量
< br>，全等的積木，
堆積不同的形體
3.
利用不同數，全等的積木，比較形體的大小
1.
透過製作盒子及其骨架的活動<
/p>
，
瞭解長方體和
正方體的構成要素：面、
邊、頂點及其個數；
並認識其
透視圖和展開圖（圖形變換）
1.
球的初步概念
1.
觀察長方體
、正方體中，
邊與面的平行與垂直
關係
1.
透過實物與圖片
，辨認角柱、
角錐與圓柱圓錐
2.
認識體積與容積
二年級
三年級
四年級
五年級
六年級
貳、
分段能力指標
立體圖形
階段
第一階段
（一～三年級）
第二階段
（四、五年級）
第三階段
（六年級）
能力指標
S-1-01
能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。
S-1-02
能描繪或仿製簡單幾何形體。
S-2-01
能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分類。
S-2-02
能理解垂直與平行的意義。
S-2-07
能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。
S-3-01
能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。
S-3-05
能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。
S-3-06
能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。
參、
立體圖形
一、
數學結構
（一）
柱體與錐體
1.
柱體的一般性定義
設Ｃ為平面
E
上一條簡單（不交叉）封閉曲線。從<
/p>
C
上每點做
一條一長度的線段與已知直線
?
平行，（
?
不可與
E
平行）。這些
互相平行的線段
圍成一個柱體。其中一個平面在
E
上，平行諸線段
的另一端點形成另一個底面。兩底面互相閏行。兩底面區域為全等
平面圖形。
若
C
為圓，
則所得柱體叫圓柱（體）。
若Ｃ為多邊形，則所得柱體叫角柱（體）
。可依其邊數ｎ，稱為
ｎ角柱。
三角柱
四角柱
……..
五角柱
六角柱
2.
錐體的一般性定義
設Ｃ為平面
E
上一條簡單封閉曲線。
P
為
E
外一點。將
C
上每
一點均與
P
相連，。則這些共交於
P
點的線段圍成一個錐
體，它只
有一個在
E
上的底面，即
C
所圍成之平面。
若Ｃ為圓，且Ｃ的圓心與Ｐ垂直於平面Ｅ，則稱此為正圓錐。
或Ｃ為多邊形，則所得錐體稱為角錐。
或Ｃ為正多邊形，且其中心與Ｐ的連線垂直於平面Ｅ，則稱此
為正角錐。
正角錐可依底面為正
n
邊
形，稱為正
n
角錐。
正三角錐
正四角錐
正五角錐
正六角錐
（二）正方體與長方體
(
皆為四角柱體
)
正方體
長方體
特性
全等的面
頂點
邊
邊長
對應平行邊
體積
正方體
6
個全等的面
8
個
12
個
每一邊皆相等
三組
長
×<
/p>
寬
×
高
長方體
3
對全等的面
8
個
12
個
三組
(
長、寬、高
)
不同
邊長，每一組各四個邊
三組
長
×<
/p>
寬
×
高
（三）球體
1.
球面
?
(x-a)
+(y-b)
+(z-c)
=r
<
/p>
2
2
2
2
a
r
r
球面是
指一種三維閉曲面，其上每一點到給定點
（球心）的距
離都是相
等的，它的方程是
（按笛卡兒坐標系）式中，
r
為半徑，而（
a,b,c
）
為球心。球
2
的表面積為
4
π
r
。由上述面圍成的立體圖形，或被球面包圍的
空
3
間其體積為
4/3
π
r
。這種曲面的全曲率在每一點都是常數且是正
的。位於此曲面上的直線與平行公設不一致，所以在這種曲面上的
幾
何是非歐幾何的其中一種。
2.
球體積
西元
510
年祖
沖之
< br>兒子
提出
「冪
勢既
同
，則
積不
容異」
，即
二個
立體
在
等
高
處
的
截
面
積
相
等
，
則
體
積
相
等
。
1100
年
後
直
到
十
七
世
紀
的
西
方，這個
定
理才
由
義
大
利
數學
家、物
理學
家
伽
利略
的學
生
卡
瓦
列里
提
出。
上圖
裡，
球的
半
徑是
r
，圓
柱體
的底
圓半
徑是
r
，圓
柱
體
高
是
2r
。
並將
圓柱
體挖
去兩
個
頂圓
半徑
< br>是
r
，高
是
r
的
圓錐
體。
由上
圖知
道它
< br>們等
高
處的
截面
積相
等。右
邊立
體體
積等
於圓
柱
體體
積
減去
圓錐
體體
積的
2
倍，即
(Π
r
2
×
2r)-
2×Πr
2
×
r×
< br>=
徑為
r
的
球體
體積
是
。
。因
此左
邊，半
（四）體積
1.
三維空間的量：體積代表三維空間的量，含有長、寬、厚、高等在空
間佔
有量的大小。
2.
物體佔空間的大小：體積表示物體佔空間的大小，不論是否為實心或
空心物件，
均可透過視覺觀察外部的大小，如：大象比老虎大、籃球
比棒球大，此均代表著前面所佔
的空間較後者為大，一般又稱為外體
積。
3.
Linda,
Margaret & Olwen
（
1984
）則認為體積應包含下列四個不同層
面的意義：
（
1
）
外體積（
external
volu
me
）
——
即透過視覺，知覺到的物體
占空間的
大小，不論其為實心或空心，如：皮球、積木或冰箱等。
（
2
）
內體積
（
internal volu
em
）
——
即物件內部空間大小，此乃
指空心物件
的內部容積，一般指的是裝載固體的小個物，如：盒子內可裝８個白
色小積木，表示盒子的容積是８立方公分。
（
3
）
排他性體積（
displace
vo
lume
）
——
即物件體積的大小是透
過排出的
液量表示原物件的體積，如：石頭的體積，可透過將其擲入滿水位的
水缸內，流出的液體體積即表示石頭的體積。
（
4
）
液積與容量（
liquid volume and capa
city
）
——
液積表示液體所佔有空
間的量，代表液體體積又稱液量。容量則是容器的最大裝載量，一般
表示裝載液體的量。
二、認知結構
（一）柱體、錐體與球體
1.
建築中的圓柱、三角柱、四角柱甚多，透過對其建造過程的觀察和
模擬
，可以掌握
柱體
的特性，及每個平行截面都是全等的，和它的<
/p>
上下底是平行的。
2.
觀察並使用直尺、量角器，可以認識
柱體
的側面是長方
形；可知邊垂
直於上下底面，所以上下底面是平行的。相鄰的側邊是平行的，但
是不相鄰的側邊也是平行的性質則較難理解。如果能夠先察覺垂直
同一平
面的直線均平行，則可由此推論得知。
3.
< br>錐體
在日常生活中不如柱體常見
，
因此只能用實本模型和由紙制的展
開圖折好粘成。但印地安帳篷和金字塔予人印象深刻
，皆為錐體，
木匠空孔所用之利器之形大致亦為錐，可以見識一下。道路上使用
的橘紅色圓錐形警示器可以視作圓錐體。
4.
若按照
柱體
的高等數學定義，即係以線
段平行地沿著
C
走一圈生成
的，則學生
勢必無法領會。因此我們選擇一個等價性質作為教學的
切入點。就是「用平行於上下底面
去截柱體
,
可以得到與上下底面全
等的
平面圓形」。
5.
此一法則也運用在
球體
的教學上。由於球心不易感覺到，因此若是將
球體定義為球體表面上任一點到球心的距離相等，兒童較難體會。
如果將球體
定義為半圓形以直徑為軸，旋轉一周，並以可折疊的低
采球為實例，就好得多。並可以指
導兒童利用球形物體，切開觀察
其截面圖，讓兒童發現球形的每一個截面是圓形的，且發
覺當位置
愈中間時，截面會愈大。
【
注意以下的相同及差異
】
（
5
）
長方體即四角柱。
（
6
）
標準的金字塔形，其側面需為正三角形，即為正八面體之半。其
底面
為正方形。但一般的正四角錐亦稱為金字塔。
（
7
）
正四面體為正三角錐的一種。
（
8
）
斜圓錐的側面展開圓不是扇形。
【<
/p>
辨識角柱與角錐
】
（
1
）
角柱是指上下兩個底面全等且平行、側面都是長方形且分別和底
面垂
直的立體圖形，依底面的形狀不同有三角形角柱、四邊形角
柱、五邊形角柱
..
等等角柱。如果底面是正多邊形時，角柱的側面
則是全等的長方形。
（
2
）
如果底面只有一個，另一端是頂點的立體圖形，則是角錐。角錐
依其
底面來決定是幾角錐。底面如果是三角形是三角錐，四邊形
是四角錐，五邊形是五角錐<
/p>
..
等等角錐。當底面是正多邊形時，角
錐的側面則是等腰三角形。
（
3
）
在辨識角柱與角錐的教學活動中，師生應準備各種不同的角柱與
角錐
立體模型
(
實際操作
)
。引導學生討論，如哪些立體圖形有尖
點，哪些沒有。觀察它們的側面是什麼形
狀，底面是什麼形狀
…
等問題，經由分類與命名，引導學生如何
去辨識角柱與角錐。
【
角柱和角錐的
構成要素與垂直平分關係
】
角柱與角錐
角柱
角錐
（
1
）
角柱和角錐的命名，都是以其
底面的形狀
來
稱之。例如：三角柱、四
角錐、六角柱
...
< br>等等。
（
2
）
在角柱中，和底面垂直的每一個邊都一樣長，這些邊長就是角柱的～
高
。
（
3<
/p>
）畫角柱、角錐的視圖時，通常看不見的邊，可以用～
虛線
來表示。
形狀
頂點
個數
邊
個數
形狀
底
特點
面
角柱
底面邊數
×
２
底面邊數
×
３
多邊形
1
、兩個底面互相平行且全等
角錐
底面邊數＋１
底面邊數
×
２
正多邊形
沒有垂直或平行的面
１個
等腰三角形
側面上的邊有共同的頂點
底面邊數
底面邊數＋１
2
、底面和側面互相垂直
面
個數
２個
形狀
長方形
側
特點
底面和側面互相垂直
面
個數
底面邊數
面的總數
底面邊數＋２
圓柱與圓錐
圓柱
圓錐
圓柱體兩個底面之間的距離，就是圓柱體的高
形狀
頂點
個數
邊
個數
形狀
底
特點
面
圓柱體
０個
２條
圓形
1
、兩個底面互相平行且全等
圓錐體
１個
１條
圓形
沒有垂直或平行的面
１個
展開後為扇形
曲面
１個
２個
2
、底面和側面互相垂直
面
個數
２個
形狀
展開後為長方形
側
特點
曲面
面
個數
１個
面的總數
３個
圓柱體展開圖
圓錐體展開圖
展開後底面
（圓形）
的周長＝側面
（長
方形）的長
展開後底面（圓形）的周長＝
圓柱體
的高＝展開後側面
（長方形）
的
側面（
扇形）的弧長
寬
圓柱體
展開後側面長方形的長
半徑
×
２
×
３
.
１４
體積
半徑
×
半徑
×
３
.<
/p>
１４
×
圓柱高
底面積
×
２
＋側面積
＝圓面積
×
２＋圓周長
×
圓柱高
表面積
＝
半徑
×<
/p>
半徑
×
３
.
１４
×
２
＋半徑
半
徑
×
２
×
３<
/p>
.
１４
×
圓柱高
圓錐體
展開後側面的弧長
半徑
×
２
×
３
< br>.
１４
底面積＋側面積
表面積
＝半徑
×
半徑
×
３
.
１４＋扇形半徑
×
扇形
半徑
×
３
.
１４
×
扇形角
÷
３６０
°
【
註
】：以圓的兩半徑及其所截的弧圍成的部分，稱
為
【扇形】
。扇形兩半徑所夾
的角，<
/p>
稱為
【扇形角】。
此扇形通常小於半圓，其實也就是屬於
【部份圓】
的一
種。
【
扇形的面積】＝半徑
×
半徑
×
３
.
１４
×
扇形角
÷
３６０
°
【扇形的周長】＝半徑
×
２
×
３
.
１４
×
扇形角<
/p>
÷
３６０
°
＋半
徑
×
２