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A Translation for Quaternion
一篇对四元数的翻译
a.
这是一篇讲解四元数原理的论文翻译，原文参见
这里
。
b.
在此之前在网络上找过很多资料，但基本都是结论性的介绍，并未对
”
为什么
“
进行深入全面
的解释。因此在看完本文并消化理解了以后，
我决定将其翻译出来，一方
面作为知识总结，
一方
面为相似境遇的朋友提供帮助。
c.
但并不是说这篇翻译就没什么错误。尤
其是在介绍四元数历史的那节，由于缺少必要的数学
涵养，我不自信是否翻得正确，还请
各位朋友帮忙校准。
另外由于英文水准有限，许多地方翻得
比较
生硬，望请诸位海涵。
d.
文中
(
注
:
...
)
的部分，是我根据上下文
自己进行的推理，不代表作者观点（实际上作者在
那些地方什么都没有说，有时候你得自
己推一推才能弄明白）。
e.
由于
精力和时间关系，我没有翻译全文，只是节选了重要的章节。但相信已经覆盖了必要的
四
元数的知识，足以支持你完成一个相机系统
(Camera System)
f.
之所以说
”
足以
“
，是因为我已经用这些理论写完了一个以四元数为支
撑的相机。
g.
从开始有想法对它
一探究竟，到一步步实现功能，再到总结性地翻译本文，每晚见缝插针挤
出约
2
小时，总共历时近三个月完成。时间之久，身心俱疲。
< br>Snake is Old...
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四元数
Ken Shoemake
Department of
Computer and Information Science
University of Pennsylvania
Philadelphia, PA 19104
概要
凡是
图形学所涉及到的数学知识，
大多数都有详尽完备的介绍，
但四
元数却是一个例外。
本文因
此而写。这篇教程介绍了诸如
“
什么是四元数
”
、
“
为何它如此有用
”
< br>、
“
怎么用、用在哪里
”
，以及
“
使用时机
”
等话题。
介绍
在
图形学领域，四元数一般用来表达旋转和朝向的概念。
在
198
5
年的
SIGGRAPH
会议上，
四
元数曲线
(quaternion
curve)
方法第一次被引入到图形学中，意图使旋转动画
(rotation
animation)
计算变得更加方便
。虽然这只是一个相当特殊的案例，但由于四元数出色的表现，
令它无论与主流的矩阵表
示法相比，还是与小众的欧拉角（
Euler angles
）
表示法相比，都不
输分毫。
<
/p>
四元数由此声名大噪，
开始作为一种新技术被应用到曲线方法以及
众多领域中，
如基于物理的建
模技术，约束系统（
constraint
system
）以及用户界面（
user interface
）上。四元数之所以
能被广泛应用，是因为就实现而言，与其他
同类技术相比，它不仅更加简洁，成本更低，而且更
加优雅。不过，研究者和开发者想要
掌握它，必须要学习一些新的数学知识，
但一般的数学课或
者科
学课程却都不教授四元数。总之不管怎么说，无论是站在齐次坐标（
homogeneo
us
coordinates
）的角度看，还是从一个更宽泛
的角度看，四元数都不单单是我们所熟知的四维齐
次坐标（
fo
ur-component homogeneous
coordinates
）的复杂升级版本。
四元数定义
四元数有好几种定义的方
式，
这些方式的形态也许有所不同，
但实质却彼此等价。
了解这些形态
是必要的，因为每一种形态对我们都非常有用。历史上，
Hamilton
首次将四元数定义为形如
< br>广义复数的形式：
w+
i
x+
j
y+
k
z
，
其中，
i
2
=
j
2
=
k
2
= -1,
ij
=
k
=
-ji
，并且，
i,j,k
为
虚数，而
w,x
,y,z
为实数，（数学家为了纪念
Hamilton
，用
H
表示四元数）。四元数的运算
中有一个非常特例：乘法的不可交换性。其余的运算性质则与实数的大同小异。
Hamilton
就曾
意识到可以用这种
< br>“
相似性
”
来抽象四元数的特性
，
具体说就是将四元数简单地看作一个由四个实
数组成的集合<
/p>
[x, y, z, w]
，
并适当地为
其定义加法和乘法。
然而适逢当时复数的出现，
Hamilto
n
就将
(x,y,z)“
打包
”
成虚部（
Imaginary part
），并以术语
“
向量
”
（
vector
）称之，而实数部
分
(Real part)
他就称为
“
标量
”
（
sc
alar
）
。
随后的研究者们
（主要是
Gibbs
）
直接借用了
Hamilton
发明的这些术语，并从四元数那脏
兮兮、但却很常规的运算法则中提炼出一套更
“
干净
”
的法则
（
extrac
ted from the clean operations of quaternion
arithmetic the somewhat
messier?
but more
general?
operations of vector arithmetic
）：即现在的教学课程里都
会教授的点积
(dot products)
与叉积
(cross pro
ducts)
运算。对今天的我们而言，我们可以很
容易逆观历
史，用现代的点积、叉积等概念来描述当时的四元数。
基于以
上观点，我们现在来给出一些事实：首先我们一般会这样定义四元数：
[
v
, w]
，
其中
v
是一个向量且等于（
x, y, z),
而
w
是一个实数。假设一个实数
s
，
如果用四元数形式描述的
话，它就等于
[
0
, s]
，而一个纯向
量
v
，如果用四元数描述的话，则是
[
v
,0]
。
接下来我们给出
四元数的一些基本运算法则：
< br>
注意
N(q)
是一个标量，
所以
q
的倒数定义很清晰
（
so the description of q-1 is well-def
ined
）
。
另外，乘法的不可交换性
导致了一些运算需要换用更加清晰的形式来表达（
Otherwise,
the non-commutativity of multiplication
requires explicit expressions
）
，
例如要用
pq
-1
来代替
p/q
。
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